高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念與運算（講義）（原卷版+解析）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念與運算

目錄

目錄在點P處切線

過點P的切線

公切線

已知切線求參數(shù)問題

切線的條數(shù)問題

切線平行、垂直、重合問題

最值問題

牛頓迭代法

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).容、頻率、題型、難度均變化不大.重

(2)通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)點考查導(dǎo)數(shù)的計算、四則運算法則的應(yīng)

2022年/卷第15題，5分

數(shù)的幾何意義.用和求切線方程為主.

2021年甲卷第13題，5分

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)

2021年/卷第7題，5分

的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)

數(shù).

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、概念

函數(shù)f(x)在X=X。處瞬時變化率是lim^=螞"%+受—2,我們稱它為函數(shù)y="X)在X=X。

處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(%)或.

知識點詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ax與0之間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當Axf0時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

竺=/(X。+Ar)一/(Xo)無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即/U)=5包=—"+.

-。Ax以一。Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/(x)在彳=/處的導(dǎo)數(shù)尸(不)的幾何意義即為函數(shù)y=/(x)在點尸(七,%)處的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s(f)在點務(wù)處的導(dǎo)數(shù)s&)是物體在%時刻的瞬時速度v,即v=s'(t0)；v=v(Z)在點tQ的導(dǎo)數(shù)

M4)是物體在t0時刻的瞬時加速度a,即a=M4).

知識點二：導(dǎo)數(shù)的運算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))JV)=o

f(x)=(aeQ)r（x）=辦j

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axina

f(x)=log。x(a>0,aw1)

fW-.

xlna

/(尤)=e*尸(x)=e*

/(x)=lnx

f'M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosxfr(x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則："（X）±g（x）］'=f\x）+g\x）;

（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則："（x）g（x）］=/，（x）g（x）+/（尤）g，（無）；

（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g（x）wO,則［3］=/（x）gS）.

g（x）g（無）

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)丁=/1g（尤）］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=y（"）,〃=g（x）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為=y,'u'：

【解題方法總結(jié)】

1、在點的切線方程

切線方程y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）的計算：函數(shù)y=/（.x）在點A5,/（%））處的切線方程為

%=/(%)

y-f（x）=f'（x）（x-x）,抓住關(guān)鍵

000k=1國)

2、過點的切線方程

設(shè)切點為P（x。，%）,則斜率左=（（尤0）,過切點的切線方程為：＞-%=（（龍0）（尤-尤0）,

又因為切線方程過點〃），所以〃-%=/'（無。）（根-尤0）然后解出/的值.（%有幾個值，就有幾條

切線）

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

.提升?必考題型歸納

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】（2023峻國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)為y=/'（x）,

則（）

A.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B./,(3)</\2)</(3)-/(2)

C.r(2)</(3)-/(2)<r(3)D.r(3)</(3)-/(2)<r(2)

【對點訓(xùn)練1】（2023?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且

容器內(nèi)液體的高度人（單位：cm）與時間單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為/7=g「+/，當/=%時，液體上升高

度的瞬時變化率為3cm/s,則當”/Q+1時，液體上升高度的瞬時變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【對點訓(xùn)練21（2023河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)是尸⑺，若r（x0）=2,

mH/（與+1心）-/（%）（）

川lim---------Z-----------------=1）

-Ax

A.1B.1C.2D.4

Ax

【對點訓(xùn)練3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)“X）在與處可導(dǎo)，且1而”“。+2則

Ar->02Ax

/'（%）=（）

A.1B.-1C.2D.；

【對點訓(xùn)練4】（2023?高三課時練習(xí)）若〃x）在％處可導(dǎo)，則/'（不）可以等于（）.

xA

A.lim/（o）-/（o-MB］汕了1+盤）一/。。一盤）

-->oAx-Ax

「/（x+2M_/（xo-Mn/（x+M_/（%o-2M

*?milo?rmilo

AxfOAxAx

【解題方法總結(jié)】

對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)/(x)=(-2x+l)2；

⑵〃x)=ln(4x-l)；

(3)/(X)=23?2

(4)〃x)=J5x+4；

【對點訓(xùn)練5】(2023?高三課時練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)y=(3x?+2x+l)cosx；

,一、3x2+x>Jx-5y/x+l

(2)y=----------『----------；

(3)y=xiS+sinx-lnx；

X

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

【對點訓(xùn)練6】(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在等比數(shù)列｛〃“｝中，%=2,函數(shù)

"x)=g_r(x-aJ(x-a2)L(x-%)，則/'(。)=.

【對點訓(xùn)練7】(2023?遼寧大連?育明高中?？家荒?已知可導(dǎo)函數(shù)〃x),g(x)定義域均為R,對任意x

滿足〃x)+2x2gCd=x-l,且"1)=1,求尸⑴+g'&，.

【對點訓(xùn)練8】(2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且='⑴+x+2,

貝Ur(i)=.

【對點訓(xùn)練9】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)J（x）=r（0）e2,-已，，則/（0）=.

【解題方法總結(jié)】

對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1,在點尸處切線

【例3】（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）曲線y=（2x-以在點（1,1）處的切線方程為.

【對點訓(xùn)練10X2023?全國?高三專題練習(xí)）曲線/（x）=ln（尤+2）+；在點（0,〃0））處的切線方程為

【對點訓(xùn)練11］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)“xxgV+bxZ+cos停xj,-（x）為“尤）的導(dǎo)函

數(shù).若尸⑴的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則曲線y=〃x）在點（2,/（2））處的切線方程為

【對點訓(xùn)練12］（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)/（"=〃3+（2-2）*（X€2是奇函數(shù)，則曲線

、=/（“在點（4〃幾））處的切線方程為.

方向2、過點尸的切線

【對點訓(xùn)練13］（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知過原點的直線與曲線y=相切，則該直線的方程是

【對點訓(xùn)練14］（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=V-依+1,過點P（2,0）存在3條直線

與曲線y=/（x）相切，則實數(shù)。的取值范圍是.

【對點訓(xùn)練15】（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點，jo］作曲線y=d的切線，寫出一條切線方程：

【對點訓(xùn)練16】（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過x軸上一點尸&0）作曲線C：y=（x+3）e，的切線,

若這樣的切線不存在，則整數(shù)r的一個可能值為.

【對點訓(xùn)練171（2023?全國?模擬預(yù)測）過坐標原點作曲線y=（x+2）e”的切線，則切點的橫坐標為

【對點訓(xùn)練18］（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測）若過點尸（1M）（Q￡R）有〃條直線與函數(shù)

〃%）=（X-2）^的圖象相切，則當〃取最大值時，〃的取值范圍為.

【對點訓(xùn)練19］（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/⑺=；/+/，⑴/+1,其導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，則曲線了⑴

過點尸（3,1）的切線方程為.

方向3、公切線

【對點訓(xùn)練20】（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）若函數(shù)〃x）=41nx+l與函數(shù)8（同=：/一2.。>0）的圖象

存在公切線，則實數(shù)。的取值范圍為（）

1

A.B.—,+00

°43

C.D.11

353

【對點訓(xùn)練21］（2023?寧夏銀川?銀川一中?？级＃┤糁本€丫=匕（尤+1）-1與曲線y=e，相切,直線

y=&（尤+1）-1與曲線y=Inx相切，則左網(wǎng)的值為.

【對點訓(xùn)練22］（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）若曲線y=e，與圓（x-a>+y2=2有三條公切線，則。的取值

范圍是?

【對點訓(xùn)練23］（2023?湖南長沙?湖南師大附中?？寄M預(yù)測）若曲線G"（x）=f+a和曲線

G：g（x）=21nx恰好存在兩條公切線，則實數(shù)。的取值范圍為.

【對點訓(xùn)練24］（2023?江蘇南京?南京師大附中校考模擬預(yù)測）已知曲線C1：/（x）=/與曲線

x+1

C2:g（x）=?e（fl>0）有且只有一條公切線，則。.

【對點訓(xùn)練25］（2023?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線y=〃lnx和曲線y=f有唯一公共點，且這兩

條曲線在該公共點處有相同的切線I,貝心的方程為.

方向4、已知切線求參數(shù)問題

【對點訓(xùn)練26】（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線y=有兩條過（e,°）的切線，則。的范圍是.

【對點訓(xùn)練27】（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）若直線丁=1+匕與曲線y=e"-依相切，貝”的最大值為

（）

A.0B.1C.2D.e

【對點訓(xùn)練28】（2023?重慶?統(tǒng)考三模）已知直線〃與曲線y=%+0相切，則實數(shù)〃=（）

x

143

A.0B.3C.-D.-

252

【對點訓(xùn)練29】（2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)/（%）=（〃-l）f—3桁+c-d-1在點處

的切線方程為無+y+i=o,則一=（）

c-d

A.-1B.0C.1D.2

【對點訓(xùn)練30]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知”是曲線丫=缶》+；/+6上的任一點，若曲線在〃點

處的切線的傾斜角均是不小于7T;的銳角，則實數(shù)。的取值范圍是（）

4

A.[2,-H?）B.C.（-co,2]D.（-oo,-l]

【對點訓(xùn)練3。（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知相>0,n>0,直線y根+1與曲線y=lnx-〃+2

e

相切，則工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

方向5、切線的條數(shù)問題

【對點訓(xùn)練321（2023?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點（九⑶可以作曲線>=log2龍的兩條切線，則（）

A.m>log2nB.n>log2mC.<log2nD.n<log2m

【對點訓(xùn)練33】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若過點（久切可以作曲線y=lnx的兩條切線，則（）

A.a<lnbB.b<lnaC.lnZ?<aD.}na<b

【對點訓(xùn)練34]（2023?湖南?校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點（。力）可以且僅可以作曲線，=1皿的一條切線，則下

列選項正確的是（）

A.a<0B.b=lnaC.a=lnbD.aVO或8=Ina

方向6、切線平行、垂直、重合問題

【對點訓(xùn)練35］（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)f（x）=lnx+x與g（x）=H；的圖象有一條公共切

無一1

線，且該公共切線與直線y=2x+i平行，則實數(shù)加=（）

【對點訓(xùn)練36】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知直線》-9廣8=0與曲線C:y=/-p/+3丈相交于A,'

且曲線C在A,8處的切線平行，則實數(shù)P的值為（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

【對點訓(xùn)練37］（2023?江西撫州?高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）已知曲線〃尤）=卜'-1|（尤>-1）在點

4&,/（耳））,3（%"（9?優(yōu)<々）處的切線44互相垂直，且切線4,4與V軸分別交于點。,石，記點E的縱

坐標與點。的縱坐標之差為乙則（）

2

A.—2<Z<0B.2—2e</<0

e

2

C.t<—2D.Z>2e—2

e

【對點訓(xùn)練38】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=?x+sin龍的圖象上存在兩條相互垂直的切線,

則實數(shù)。的值是（）

A.2B.1C.0D.-1

【對點訓(xùn)練39］（2023?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)校考期末）若函數(shù)y=/（x）的圖像上存在兩個不同

的點P,。，使得在這兩點處的切線重合，則稱/（x）為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的

為（）

A.y=x4-x2+1B.y=sinx

C.y=x+cosxD.y=x2+sinx

【對點訓(xùn)練40】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知A,8是函數(shù)〃x）=圖象上不同的兩

Ixmx-a,x>0

點，若函數(shù)y=〃x）在點A、8處的切線重合，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.卜°°,不]B.--,+oojC.(0,+oo)D.-,+℃j

方向7、最值問題

【對點訓(xùn)練41】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點P在曲線y=ez上，點。在曲線y=-l+lnx上，貝

最小值為()

A.72B.20

C.A/2(1+Z?2)D.JI(1一例2)

【對點訓(xùn)練42](2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點尸在曲線y=e2,上，點。在曲線y=；lnx上，則|尸。|的

最小值為()

A.爭1一ln2)B.72(1-In2)

C.72(1+In2)D.^-(1+ln2)

【對點訓(xùn)練43】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)點尸在曲線y=2e￡上，點。在曲線y=lnx-ln2上，則|PQ|

的最小值為()

A.l-ln2B.72(1-In2)

C.2(1+In2)D,V2(l+ln2)

【對點訓(xùn)練44](2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)。，b,C,〃滿足|ln(a-l)-b|+|c-d+2|=0,則

(a-c)2+(6-d)2的最小值為()

A.272B.8C.4D.16

【對點訓(xùn)練45】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=a-a)2+4(lnx-a)2,其中x>0,aeR.若存在

正數(shù)與，使得八％工[成立，則實數(shù)〃的值是()

A.-B.—C.-D.1

552

【對點訓(xùn)練46](2023?寧夏銀川?銀川二中校考一模)已知實數(shù)彳4滿足2/-51nx-y=0,meR,則

y/x1+y2—2mx+2my+2m2的最小值為()

9B.還V2

A.rD.

2222-

【對點訓(xùn)練47】（2023?四川成都?川大附中?？级＃┤酎c。是曲線y=lnx-/上任意一點，則點尸到直

線/：無+y_4=0距離的最小值為（）

A.豐B.&C.2夜D.4A/2

方向8、牛頓迭代法

【對點訓(xùn)練481（2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀給出一種求方程近似根的方

法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)廠是/（尤）=。的根，選取％作為r的初始近似

值，過點（%,/（%））做曲線y=的切線/：y-八％）=八%）（%7。），貝卜與九軸交點的橫坐標為

士=%-需斗（尸（%）*°），稱%是「的一次近似值；重復(fù)以上過程，得『的近似值序列，其中

J）

稱％是『的”+1次近似值.運用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點

大小，則函數(shù)〃x）=hx+x-3的零點一次近似值為（）（精確到小數(shù)點后3位，參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

【對點訓(xùn)練49】（多選題）（2023?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)

方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)『是函數(shù)＞=/（"的一個零點，任意選取』作為「的初始近似值，過點

&/（%））作曲線y=“X）的切線4，設(shè)4與X軸交點的橫坐標為耳，并稱不為『的1次近似值;過點（X"（不））

作曲線y=/（x）的切線4,設(shè)4與X軸交點的橫坐標為巧，稱演為『的2次近似值.一般地，過點卜工心））

（〃eN*）作曲線y=/（x）的切線/向，記心與X軸交點的橫坐標為尤用，并稱X用為『的”+1次近似值.對于

方程彳3_尤+1=0,記方程的根為乙取初始近似值為%=-1,下列說法正確的是（）

A.re（-2,-1）B.切線4：23x-4y+31=0

【對點訓(xùn)練50】（多選題）（2023?全國?模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一

種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個起始點飛,如圖，在x=x°處作/?（“圖象的切線，切線與x軸的交點

橫坐標記作4：用占替代為重復(fù)上面的過程可得演；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)%,占，巧，…，

…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當三一x"（〃eN*）近似值相等時，該值即作為函數(shù)/（X）的一

個零點『.若要求正的近似值r（精確到0.1）,我們可以先構(gòu)造函數(shù)〃力=丁-6,再用“牛頓法”求得零點的

近似值乙即為正的近似值，則下列說法正確的是（）

22

B.若Xo^Q，且毛。。，則對任意〃cN*,Xn=~Xn-\+~r~

JXn-\

C.當X。=2時，需要作2條切線即可確定『的值

D.無論與在（2,3）上取任何有理數(shù)都有r=1.8

【對點訓(xùn)練511（2023?全國?高三專題練習(xí)）牛頓迭代法（NewtoHsmethod）又稱牛頓-拉夫遜方法（Newton—

Raphsonmethod）,是牛頓在17世紀提出的一種近似求方程根的方法.如圖，設(shè)廠是〃力二0的根，選取與作

為「初始近似值，過點（X。,/（%））作曲線y=f（x）的切線/,/與X軸的交點的橫坐標％=X。-點^

（尸（無。片0）,稱王是廠的一次近似值，過點（外,〃M））作曲線產(chǎn)/＞（X）的切線，則該切線與x軸的交點的橫

坐標為馬，稱％是『的二次近似值.重復(fù)以上過程，直到「的近似值足夠小，即把當作為f（x）=O的近似解.設(shè)

天，/，X3,L,%構(gòu)成數(shù)列｛七｝.對于下列結(jié)論：

X

=n-\/(Vi)(M>2)；

"%)〃x,).

/'(%)/'(工2)/'(%)'

Xn=x/(元2)

?'~4^\(n>2).

J㈤/'(%)

其中正確結(jié)論的序號為

【解題方法總結(jié)】

函數(shù)y=/（X）在點/處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線>=/（無）在點尸（%,/（%））處的切線的斜率.這里要注意曲線

在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.（1）已知/（無）在點（/"（無。））處的切線方程為

丁-%=/'（%0）（%-X0）?（2）若求曲線y=/（%）過點（〃,。）的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點坐標為（/JO。）），由

丁-%=/'（%0）（%-％0）過點（〃力），求得與的值，從而求得切線方程?另外，要注意切點既在曲線上又在切線

上.

1.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）若過點（。力）可以作曲線y=e、的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）若直線/與曲線y=&和尤2+y=g都相切，貝心的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+^-C.y=gx+lD.y=^-x+—

3.（2020.全國.統(tǒng)考高考真題）函數(shù)/（%）=/_2/的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

第01講導(dǎo)數(shù)的概念與運算

目錄

一導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

-導(dǎo)數(shù)的運算

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

目錄在點P處切線

提升?必考題型突破

過點P的切線

公切線

已知切線求參數(shù)問題

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

切線的條數(shù)問題

切線平行、垂直、重合問題

最值問題

牛頓迭代法

真題感悟

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)了解導(dǎo)數(shù)的概念、高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考

掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變

數(shù).化不大.重點考查導(dǎo)數(shù)的計算、

(2)通過函數(shù)圖象，理2022年/卷第15題，5分四則運算法則的應(yīng)用和求切線方

解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2021年甲卷第13題，5分程為主.

(3)能夠用導(dǎo)數(shù)公式和2021年/卷第7題，5分

導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

知識點一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、概念

x

函數(shù)/(尤)在x=處瞬時變化率是lim=lim/(o+Ar)-f(xo),我們稱它為函數(shù)

小AxAx

y=/(x)在尤=不處的導(dǎo)數(shù)，記作了'(尤0)或.

知識點詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ax與0之間

距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當AxfO時，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在

一個常數(shù)與

電=/(Xo+Ax)-。5)無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是

位移在這一時

/(Xo+Ar)/(o)

刻的瞬間變化率，即f'(.x0)=lim"=lim-^.

"、U/A“sA一一AvSA一一

2、幾何意義

函數(shù)y=/(x)在尤=不處的導(dǎo)數(shù)((%)的幾何意義即為函數(shù)y=/(x)在點P(%,%)處

的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s(f)在點t0處的導(dǎo)數(shù)S&)是物體在4時刻的瞬時速度V，即v=s'(t0)；V=v(t)在

點九的導(dǎo)數(shù)丫'(幻是物體在/(,時刻的瞬時加速度。，即a=v'(r0).

知識點二：導(dǎo)數(shù)的運算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=O

f(x)=xa(aeQ)/'(x)=axa~x

/(x)=a"(a>0,aw1)/'(x)=axIna

/(x)=logax(a>0,aw1)尸(無)=--

xlna

f(x)=ex廣(x)=，

/(x)=lnx

/(w=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/\x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則：[/(X)±g(x)]'=f'(x)+g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]'=廣(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)wO,則[幺砂]=-(x)g(x)-/(x)g'(x).

g(x)g(尤)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)>=/(〃)，〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為y*=y?ux：

【解題方法總結(jié)】

1、在點的切線方程

切線方程的計算：函數(shù)y=/(x)在點A5,/(%))處的切線方

程為了-/(>0)=/'(>0)食-龍0)，抓住關(guān)鍵.

[k=f(x0)

2、過點的切線方程

z

設(shè)切點為尸（不，為）,則斜率左=/'（%o）,過切點的切線方程為：y-y0=/（x0）（x-x0）,

又因為切線方程過點ri）,所以〃-%=/（%0）（根-%0）然后解出冗o的值.（/有幾

個值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

一提升?必考題型歸納

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，函數(shù)y=/（x）的

導(dǎo)數(shù)為y=/'"）,則（）

B.r(3)<r(2)</(3)-/(2)

C./,(2)</(3)-/(2)</,(3^D.r(3)</(3)-/(2)<r(2)

【答案】D

【解析】由圖象可知/（3）＜*3）一/（2）＜以2）,

2—1

即/（3）＜/（3）7（2）＜”2）.

故選：D

【對點訓(xùn)練1】（2023?云南楚雄-高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器

內(nèi)注入液體,且容器內(nèi)液體的高度雙單位:cm）與時間/（單位:s）的函數(shù)關(guān)系式為h=：/+/,

當公。時，液體上升高度的瞬時變化率為3cm/s,則當方=%+1時，液體上升高度的瞬時變

化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【答案】C

【解析】由介=gp+/，求導(dǎo)得：萬，=產(chǎn)+2l

當f=/（）時，h'=+2/0=3,解得fo=la（）=-3舍去）.

故當f=%+1=2時，液體上升高度的瞬時變化率為22+2x2=8cm/s.

故選：C

【對點訓(xùn)練2】(2023?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末)已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)是((%),

若/(%)=2,則/(Xo+；Ax)-/(%)_()

11m—

—一°Ax

A.1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】因為/'(x0)=2

/(x0+^-Ax)-/(x0)[/(x0+^Ax)-f(x0).

所以lim-------------------------=—lim------2----------=-尸(無。)=1

以一°Ax2攝一°

—Ax

2

故選：B

【對點訓(xùn)練3】(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)在與處可導(dǎo)，且

i.mf(x0+2Ar)-f(x0)=b則/，(%)=()

2Axv7

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】由導(dǎo)數(shù)定義可得lim“％+23-〃％)=/,(),

D2Axv7

所以/'(x°)=l.

故選：A.

【對點訓(xùn)練4】(2023?高三課時練習(xí))若“X)在不處可導(dǎo)，則/'(%)可以等于().

x

A.lim/(o)-/U-MB1汕/伉+醺)一/(/一小)

心-°Ax-°Ax

CUM“XO+ZAXAAXO-AX)口lim〃Xo+Ax)-〃Xo-2Ax)

Ar->0Axkf。Ax

【答案】A

由導(dǎo)數(shù)定義r(.)=業(yè)外/+弋-J*。),

【解析】

小戶/"-…),人滿足；

對于A,

Ax-ox0-(x0-Ax)—。Ax

〃Xo+Ax)-Ar)〃—+―)-/伉—一)

對于

B,/(一…。(x0+Ax)-(x0-Ax)-。。2Ar，

r(x0)=-lim小。+")一/伍3),B不滿足；

''"2』。Ax

7?(■Xo+2Ar)-/(Xo-Ax)

對于C,尸?。?螞弋;黑二“40=螞

3Ax

r（x。）.螞△&+2旬〃&"C不滿足;

Ax

/(尤0+")-〃/-2〃)二./(尤0+")一/($-2&)

對于D,/，(^o)=lim

'/Ax-?O

(x0+Ar)-(x0-2z\x)LO3Ax

;伉）三螞)(.%+-)-/伍-2心),D不滿足.

Ax

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接

寫出.

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（D/（x）=（-2x+l）2；

⑵f(x)=ln(4x—l)；

(3)/(X)=23-2

(4)〃x)=J5X+4；

【解析】(1)因為〃尤)=(一2x+iy=4f-4x+l,所以尸(x)=8x—4.

(2)因為/(x)=ln(4x—1),所以廣(無)=了*.

(3)因為〃x)=23A2,所以廣(x)=3x23，+21n2

(4)因為/(司=后*,所以/'(X)=L=￡M

【對點訓(xùn)練5】(2023?高三課時練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y+2x+l)cosx；

2

小、3x+%Vx—5A/X+1

(2)尸--------7=----------；

7x

(3)y=工18+sin%-In%；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

(5)y=ysinx-3log3x；

(6)y=excosx+tan%.

【解析】(1)yr=(3x2+2x+1)cosx+(3—+2%+1).(cosx)'

=(6x+2)cosx-(3x2+2x+l