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文檔簡介
遼寧省葫蘆島錦化高中2024屆高三4月調研測試(二診)數學試題理試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況,抽取了一個容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在(單位:元)的同學有34人,則的值為()A.100 B.1000 C.90 D.902.已知定義在上的函數滿足,且當時,.設在上的最大值為(),且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.3.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數稱為“D函數”,下列函數是“D函數”的個數為()①②③④⑤A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.已知集合則()A. B. C. D.5.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.6.復數,若復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.7.已知數列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.788.已知,則下列關系正確的是()A. B. C. D.9.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進行亮化,沿其側棱和底邊布設單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.10.若,則函數在區(qū)間內單調遞增的概率是()A.B.C.D.11.點在曲線上,過作軸垂線,設與曲線交于點,,且點的縱坐標始終為0,則稱點為曲線上的“水平黃金點”,則曲線上的“水平黃金點”的個數為()A.0 B.1 C.2 D.312.已知函數是偶函數,當時,函數單調遞減,設,,,則的大小關系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若的展開式中的系數比x的系數大30,則______.14.若橢圓:的一個焦點坐標為,則的長軸長為_______.15.已知三棱錐的四個頂點在球的球面上,,是邊長為2的正三角形,,則球的體積為__________.16.若滿足,則目標函數的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(均異于橢圓的左、右頂點).當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時,四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標準方程;(2)設直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點;②若直線過橢圓的右焦點,試判斷是否為定值,并說明理由.18.(12分)唐詩是中國文學的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數,得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數100645599917318500含“山”字的篇數5148216948304271含“簾”字的篇數2120073538含“花”字的篇數606141732283160(1)根據上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關系,則“某字”為“某類別”的關鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關鍵字,則由其對應列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數不含“花”的篇數總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63519.(12分)已知橢圓的左,右焦點分別為,,,M是橢圓E上的一個動點,且的面積的最大值為.(1)求橢圓E的標準方程,(2)若,,四邊形ABCD內接于橢圓E,,記直線AD,BC的斜率分別為,,求證:為定值.20.(12分)如圖,正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設置如下:先直行綠燈30秒,再左轉綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉不受紅綠燈影響,這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據每條可能的路線中等紅綠燈的次數的均值,為小明設計一條最佳的上學路線,且應盡量避開哪條路線?21.(12分)已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于,兩點,點為橢圓的左焦點.(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.22.(10分)已知函數.(1)求不等式的解集;(2)若函數的最大值為,且,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率,再結合支出在(單位:元)的同學有34人,即得解【詳解】由題意,支出在(單位:元)的同學有34人由頻率分布直方圖可知,支出在的同學的頻率為.故選:A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用,考查了學生概念理解,數據處理,數學運算的能力,屬于基礎題.2、C【解析】
由已知先求出,即,進一步可得,再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立,設,只需找到數列的最大值即可.【詳解】當時,則,,所以,,顯然當時,,故,,若對于任意正整數不等式恒成立,即對于任意正整數恒成立,即對于任意正整數恒成立,設,,令,解得,令,解得,考慮到,故有當時,單調遞增,當時,有單調遞減,故數列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識,是一道較為綜合的數列題.3、B【解析】
滿足(1)(2)的函數是偶函數且值域關于原點對稱,分別對所給函數進行驗證.【詳解】滿足(1)(2)的函數是偶函數且值域關于原點對稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【點睛】本題考查新定義函數的問題,涉及到函數的性質,考查學生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.4、B【解析】
解對數不等式可得集合A,由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得,故選:B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算,對數不等式解法,屬于基礎題.5、D【解析】
利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據二次函數的性質,求得,由取得最小值為,求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設,圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數的最小值,屬于中檔題目.6、A【解析】
先通過復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,得到,再利用復數的除法求解.【詳解】因為復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱,且復數,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數的基本運算和幾何意義,屬于基礎題.7、D【解析】
先分為奇數和偶數兩種情況計算出的值,可進一步得到數列的通項公式,然后代入轉化計算,再根據等差數列求和公式計算出結果.【詳解】解:由題意得,當為奇數時,,當為偶數時,所以當為奇數時,;當為偶數時,,所以故選:D【點睛】此題考查數列與三角函數的綜合問題,以及數列求和,考查了正弦函數的性質應用,等差數列的求和公式,屬于中檔題.8、A【解析】
首先判斷和1的大小關系,再由換底公式和對數函數的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為,,,所以,綜上可得.故選:A【點睛】本題考查了換底公式和對數函數的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.9、D【解析】
設胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.10、B【解析】函數在區(qū)間內單調遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數在區(qū)間內單調遞增的概率是,故選B.11、C【解析】
設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調遞減;當時,,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.12、A【解析】
根據圖象關于軸對稱可知關于對稱,從而得到在上單調遞增且;再根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系.【詳解】為偶函數圖象關于軸對稱圖象關于對稱時,單調遞減時,單調遞增又且,即本題正確選項:【點睛】本題考查利用函數奇偶性、對稱性和單調性比較函數值的大小關系問題,關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數的單調性,通過自變量的大小關系求得結果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
利用二項展開式的通項公式,二項式系數的性質,求得的值.【詳解】展開式通項為:且的展開式中的系數比的系數大,即:解得:(舍去)或本題正確結果:【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數的性質,屬于基礎題.14、【解析】
由焦點坐標得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因為一個焦點坐標為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略,從而未對的兩個值進行取舍.15、【解析】
由題意可得三棱錐的三條側棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,求出正方體的對角線的長,就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因為,為正三角形,所以,因為,所以三棱錐的三條側棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球,因為正方體的對角線長為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計算能力,屬于中檔題.16、-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標函數為,由圖可得,當直線過點時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值,屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數,最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①證明見解析;②【解析】
(1)由題意焦距為2,設點,代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標準方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導出,,,,由此猜想:直線過定點,從而能證明,,三點共線,直線過定點.②由題意設,,,,直線,代入橢圓標準方程:,得,推導出,,由此推導出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設點,代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標準方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過定點,下證之:,,,,三點共線,直線過定點.②為定值,理由如下:由題意設,,,,直線,代入橢圓標準方程:,得,,,,(定值).【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法,考查直線過定點的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達定理等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于中檔題.18、(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關鍵字,且排序為“花”,“簾”【解析】
(1)根據統(tǒng)計圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據統(tǒng)計圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計含“花”的篇數60100160不含“花”的篇數40300340共計100400500計算得:;因為,,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關鍵字,而“山”不是;又因為,故選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關鍵字,且排序為“花”,“簾”.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖表、頻率與概率的關系、用樣本估計總體、獨立性檢驗等知識點.考查了學生對統(tǒng)計圖表的識讀與計算能力,考查了學生的數據分析、數學運算等核心素養(yǎng).19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)設橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當M為橢圓E的上頂點或下頂點時,的面積取得最大值,求出,即可得答案;(2)根據題意可知,,因為,所以可設直線CD的方程為,將直線代入曲線的方程,利用韋達定理得到的關系,再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】(1)設橢圓E的半焦距為c,由題意可知,當M為橢圓E的上頂點或下頂點時,的面積取得最大值.所以,所以,,故橢圓E的標準方程為.(2)根據題意可知,,因為,所以可設直線CD的方程為.由,消去y可得,所以,即.直線AD的斜率,直線BC的斜率,所以,故為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、橢圓中的定值問題,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意坐標法的運用.20、(1)6種;(2);(3).【解析】
(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經過處,共有4條路線,即,,,,分別對4條路線進行分析計算概率
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