重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期名校聯(lián)盟診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題 含解析

2023年名校聯(lián)盟診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）2023年2月注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，再利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由化成對(duì)數(shù)式，可得，則.故選：D.2.已知命題．若命題P是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式計(jì)算的最小值，再根據(jù)命題的真假計(jì)算即可.【詳解】易知，因?yàn)槊}P假命題，所以.故選：C3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則（）A.60 B.32 C.15 D.20【答案】A【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由兩個(gè)等式求得，再利用等比數(shù)列部分和的特征，將拆項(xiàng)分組求和.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為.由，可得，因，解得.則.故選：A.4.已知圓臺(tái)的上、下底面中心分別為，，過(guò)直線的截面是上、下底邊邊長(zhǎng)分別為2和4，且高為的等腰梯形，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求得母線長(zhǎng)，利用側(cè)面積公式計(jì)算可求出答案．【詳解】由題意，圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，且截面等腰梯形的腰是該圓臺(tái)的母線，則母線長(zhǎng)=2，則該圓臺(tái)的側(cè)面積.故選C【點(diǎn)睛】本小題考查圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，在四邊形中，，為線段中點(diǎn)，，則（）A. B.15 C.18 D.9【答案】D【解析】【分析】在中，由余弦定理求出長(zhǎng)，由勾股定理可得直角三形，由求出長(zhǎng)，再利用數(shù)量積定義即可求.【詳解】在中，已知，由余弦定理可得，則.由，可得.故在中，為線段中點(diǎn)，則，又，則，且.故.故選：D.6.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究治療某種疾病的新藥能否有助于7天內(nèi)治愈該疾病病人，在已患病的500例病人中，隨機(jī)分為兩組，實(shí)驗(yàn)組服用該新藥，對(duì)照組不服用該藥，在其他治療措施相同的情況下，統(tǒng)計(jì)7天內(nèi)痊愈病例數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：7天內(nèi)未痊愈7天內(nèi)痊愈對(duì)照組30170實(shí)驗(yàn)組20280根據(jù)表格數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.100.0100.0012.7066.63510.828A.在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下，可以認(rèn)為服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人無(wú)關(guān)B.在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下，可以認(rèn)為服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人無(wú)關(guān)C.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人有關(guān)D.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人有關(guān)【答案】C【解析】【分析】求出卡方值，和6.635，10.828比較即可根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷.【詳解】，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分證據(jù)推斷服用該新藥對(duì)7天內(nèi)治愈病人有影響，因此在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下，可以推斷服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人有關(guān)，故C正確，A錯(cuò)誤.，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷服用該新藥對(duì)7天內(nèi)治愈病人有關(guān)，因此在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下，不可以推斷服用該新藥與7天內(nèi)治愈病人有關(guān)，故BD錯(cuò)誤.故選：C.7.定義在R上的函數(shù)滿足：①是奇函數(shù)；②與有且僅有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】分別求出函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，得出自變量及函數(shù)值的和即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，可得，所以fx關(guān)于對(duì)稱，直線也關(guān)于對(duì)稱，所以三個(gè)不同的公共點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，則，且,所以.故選：A.8.如圖所示，棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)邊長(zhǎng)建系設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)到面的距離得出三棱錐的高，進(jìn)而得出三棱錐的體積，最后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得出體積的最大值.【詳解】設(shè)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，又，則，即，令x=1，則，所以，又，到平面的距離，，令單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法得到所求體積的表達(dá)式，從而得解.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（）A.是純虛數(shù) B.C.的虛部為 D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AB【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及幾何意義一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由純虛數(shù)的概念，易知A正確；由共軛復(fù)數(shù)的概念，易知，即B正確；由，虛部為，故C錯(cuò)誤；其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知圓與圓交于兩點(diǎn)，P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.直線的方程是 B.線段中垂線方程為C.線段的長(zhǎng)度是 D.點(diǎn)P到直線的距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，兩圓方程相減即可得解；對(duì)于B，先由垂直得線段中垂線方程，接著由線段中垂線過(guò)圓心即可求解方程；對(duì)于C，先由點(diǎn)到直線距離公式得圓心到直線的距離，求出圓半徑為，再由計(jì)算即可得解；對(duì)于D，求出圓心到直線的距離和圓半徑即可得解.【詳解】對(duì)于A，由，所以直線的方程是，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€的方程是，所以線段中垂線方程可設(shè)為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以由圓的對(duì)稱性可知線段中垂線過(guò)圓心，故，所以線段中垂線方程為，故B正確；對(duì)于C，圓心到直線的距離是，又圓，故圓半徑為，所以線段的長(zhǎng)度是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式得，所以圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離是，所以圓上的點(diǎn)P到到直線的距離的最大值為，故D正確.故選：ABD.11.某人買(mǎi)一輛15萬(wàn)元的新車(chē)，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天支付3萬(wàn)元首付，剩余向銀行貸款，月利率，分12個(gè)月還清（每月購(gòu)買(mǎi)車(chē)的那一天分期還款）．有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率：等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額的本息和，利息以復(fù)利計(jì)算．下列說(shuō)法正確的是（）（參考：：計(jì)算結(jié)果精確到分）A.等額本息方案，每月還款金額為10196.07元B.等額本金方案，最后一個(gè)月還款金額為10030元C.等額本金方案，所有的利息和為2340元D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于BC，根據(jù)等額本金的還款方案分析結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可，對(duì)于A，等額本息的還款方案分析結(jié)合等比數(shù)列的判定及求和公式計(jì)算判斷，對(duì)于D，通過(guò)比較兩種還款方案的優(yōu)劣進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)第個(gè)月貸款利息為，償還本金為，則，，則，，則，同理得，，……，，所以數(shù)列是以為公比的遞增等比數(shù)列，則有，得，所以每月還款的本息和為，所以A正確;對(duì)于B，倒數(shù)第二個(gè)月還款后，剩余本金10000，一個(gè)月利息為30元，本息和應(yīng)為10030元，故B正確；對(duì)于C，利息和為（元），故C正確；對(duì)于D，由A知等額本息還款利息和為，兩種貸款方案各有優(yōu)劣，比等額本金高，但等額本金方案起初還款金額高，還款壓力大，還款金額逐年遞減；等額本息每月還款金額相同，低于等額本金方案前半段時(shí)間還款額，高于后半段時(shí)間還款額；還有通貨膨脹等諸多經(jīng)濟(jì)因素影響兩種方案的收益，故不能簡(jiǎn)單認(rèn)為某種貸款方案優(yōu)于另一種方案，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，比較大小進(jìn)而求解即可.【詳解】，設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以時(shí)，，所以，即，所以，所以,A正確；令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，,B錯(cuò)誤；令，則,單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減,,即，,C正確；令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，,D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問(wèn)題，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，第16題第一空2分，第二空3分，共20分．13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______．【答案】9【解析】【分析】由，根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】，的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.故答案為：9.14.已知點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn)，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義式求得角的正余弦，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式化簡(jiǎn)所求式，代入計(jì)算即得.【詳解】由題意，，因.故答案為：.15.已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F和A，連接并延長(zhǎng)交橢圓C于B，若，則橢圓C的離心率為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)面積比例關(guān)系得出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，點(diǎn)在直線AF上得出B的坐標(biāo)，最后應(yīng)用點(diǎn)B在橢圓上得出得出離心率.【詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)B在橢圓上，可得，所以，即得.故答案為:.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，是邊上的點(diǎn)，，則_______，的面積為_(kāi)______．【答案】①.②.##【解析】【分析】先由正弦定理化邊為角求得角，在幾個(gè)三角形中分別利用余弦定理建立求解關(guān)于的方程組，然后由三角形面積即可求.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，化?jiǎn)得，由，，得，由，則；在中，由余弦定理可得，且，則，化簡(jiǎn)得，在中，由余弦定理可得，且，則①，同理，在中，可得②由，得，①②得，，與聯(lián)立解得，故的面積為.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，其中．（1）求在上的值域；（2）若對(duì)恒成立，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化簡(jiǎn)解析式，利用整體法并結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出值域即可；（2）先求出得右移個(gè)單位后函數(shù)的解析式，再分析得為的最大值，再結(jié)合正弦函數(shù)的最值得到方程，解出即可.【小問(wèn)1詳解】∵當(dāng)，，所以則值域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】由題意得，因?yàn)閷?duì)恒成立，則為的最大值，則，，則，，∵，∴.18.已知數(shù)列和等比數(shù)列，，若的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是中的和的值．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到數(shù)列an的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，解出，可得等比數(shù)列bn（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】由題意，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知，所以數(shù)列an中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，所以，即，所以等比數(shù)列bn的公比，所以【小問(wèn)2詳解】，，，兩式相減得：，故.19.某綜藝節(jié)目，5位嘉賓輪流參與抽獎(jiǎng)．四個(gè)一模一樣的箱子，只有一個(gè)箱子有獎(jiǎng)品．抽獎(jiǎng)規(guī)則為主持人請(qǐng)嘉賓在四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由嘉賓獲得．前一位嘉賓抽獎(jiǎng)結(jié)束后，主持人重新布置箱子，邀請(qǐng)下一位嘉賓抽獎(jiǎng)．（1）記X為5位嘉賓中的中獎(jiǎng)人數(shù)，求X的分布列，均值和方差；（2）主持人宣布游戲升級(jí)，新的抽獎(jiǎng)規(guī)則是：當(dāng)嘉賓選好一個(gè)箱子后，主持人（他知道哪個(gè)箱子有獎(jiǎng)品）會(huì)打開(kāi)一個(gè)嘉賓沒(méi)有選擇的空箱子給嘉賓看，此后嘉賓可以選擇換一個(gè)箱子或者不換．嘉賓做出選擇后，主持人再打開(kāi)嘉賓最終選中的箱子，揭曉嘉賓是否中獎(jiǎng)．嘉賓的哪種決策會(huì)有更大可能抽中獎(jiǎng)品？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，均值為，方差為；（2）嘉賓換箱子會(huì)有更大可能抽中獎(jiǎng)品，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題意可知服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差即可；（2）先求出嘉賓不換箱子的中獎(jiǎng)概率，再求出箱子的中獎(jiǎng)概率，比大小，即可下結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意知，每位嘉賓中獎(jiǎng)的概率為，不中獎(jiǎng)的概率為，則服從二項(xiàng)分布，所以，，，所以的分布列為：012345數(shù)學(xué)期望為，方差為；【小問(wèn)2詳解】不換箱子時(shí)中獎(jiǎng)概率：嘉賓第一次選擇箱子時(shí)，中獎(jiǎng)概率為；換箱子時(shí)中獎(jiǎng)概率：設(shè)4個(gè)箱子分別為，有獎(jiǎng)品的箱子為，當(dāng)嘉賓先選箱，主持人會(huì)在箱中打開(kāi)一個(gè)空箱子，此時(shí)嘉賓換箱子后，就選不中獎(jiǎng)品，其概率為0；當(dāng)嘉賓先選或或箱子，概率為，此時(shí)主持人打開(kāi)另一個(gè)空箱子，嘉賓換箱子后一定能選中有獎(jiǎng)品的箱，其概率為，所以換箱子的中獎(jiǎng)概率為.所以，故嘉賓換箱子會(huì)有更大可能抽中獎(jiǎng)品.20.已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為Q，且Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．（1）求拋物線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線E相交于兩點(diǎn)，B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線必過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由雙曲線求其漸近線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求拋物線方程；（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)韋達(dá)定理求出，求出直線的方程并令，求出x并逐步化簡(jiǎn)可得，則直線【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，即，設(shè)Ax1,y1因?yàn)辄c(diǎn)A、B在第一象限，所以，故，設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為，令得：．直線過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：聯(lián)立直線的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，，根據(jù)韋達(dá)定理求出，求出直線的方程并令，求出x并逐步化簡(jiǎn)可得，則直線21.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）若直線與線段交于M點(diǎn)，于點(diǎn)H，求線段長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面關(guān)系即可；（2）利用空間向量研究線面夾角，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最大值即可；（3）設(shè)，利用空間向量基本定理及三點(diǎn)共線的充要條件得出，利用向量模長(zhǎng)公式及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.【小問(wèn)1詳解】由于四邊形是菱形，且，取中點(diǎn)，則，又平面，