江蘇省揚州市邗江區(qū)公道中學2025屆高二上數(shù)學期末考試試題含解析

江蘇省揚州市邗江區(qū)公道中學2025屆高二上數(shù)學期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，交其準線于點，若，且，則的值為（）A. B.C. D.2．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點坐標為B.拋物線的準線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對稱3．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點移動至點，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點5．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切6．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A.月收入的最大值為90萬元，最小值為30萬元 B.這一年的總利潤超過400萬元C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤最大7．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.8．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.9．已知點在橢圓上，與關(guān)于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.10．已知圓與圓沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，若，若AB的中點到準線的距離為3，則AF的中點到準線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.412．雙曲線的左、右焦點分別為、，P為雙曲線C的右支上一點．以O(shè)為圓心a為半徑的圓與相切于點M，且，則該雙曲線的漸近線為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個邊長為4的正方形二維碼,為了測算圖中黑色部分的面積,在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲1600個點,其中落入白色部分的有700個點,據(jù)此可估計黑色部分的面積為______________14．記為等差數(shù)列的前n項和.若，則_________.15．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點，動點在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若，則點形成的軌跡的長度為______16．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，其中，.（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）如圖1，已知正方形的邊長為，分別為的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點在線段上（含端點）運動，連接（1）若為的中點，直線與平面交于點，確定點位置，求線段的長；（2）若折成二面角大小為，是否存在點M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點的位置；若不存在，請說明理由20．（12分）已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當時，過點的直線與的另一個交點為，與的另一個交點為，若恰好是的中點，求直線的方程.22．（10分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式及其前n項和；（2）記，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義以及直角三角形的性質(zhì)可求得，結(jié)合已知條件求得，分析出為的中點，進而可得出，即可得解.【詳解】如圖，分別過點、作準線的垂線，垂足分別為點、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，因為，則，從而得，所以，，則為的中點，從而.故選：B.2、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，故A錯誤；拋物線的準線方程為，故B錯誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對稱，故C正確，D錯誤；故選：C.3、A【解析】將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬中檔題.4、A【解析】由導函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A5、D【解析】根據(jù)題意，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關(guān)系即可【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標準方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.6、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個月的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬元)，故B錯誤；C：這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤最大，為60萬元，故D正確.故選：B7、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B8、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設(shè)∵點P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.9、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.10、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒有公共點，則有或，即或，又，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B11、C【解析】結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得線段的中點到準線的距離【詳解】拋物線方程為，則，由于中點到準線的距離為3，結(jié)合拋物線的定義可知，即，所以線段的中點到準線的距離為.故選：C12、A【解析】連接、，利用中位線定理和雙曲線定義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，即求得漸近線方程.【詳解】如圖，連接、，∵M是的中點，∴是的中位線，∴，且，根據(jù)雙曲線的定義，得，∴，∵與以原點為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用和漸近線的求法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】先根據(jù)點數(shù)求解概率,再結(jié)合幾何概型求解黑色部分的面積【詳解】由題設(shè)可估計落入黑色部分概率設(shè)黑色部分的面積為,由幾何概型計算公式可得解得故答案為:914、5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：5.15、【解析】建立空間直角坐標系設(shè)，，，，于是，，因為，所以，從而，，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為16、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進一步將方程化為標準方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當時，方程可變?yōu)椋海藭r雙曲線焦距為，當時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時，，∴；當斜率存在時，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達定理求解.18、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）當時，，求出函數(shù)的導函數(shù)，再求出，，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再對參數(shù)分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）當時，，所以，所以，，所以切線方程為：，即：（2）函數(shù)定義域為，，因為，①當時，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）是的延長線與延長線的交點，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過延長、以及全等三角形確定點的位置并求得線段的長.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法判斷符合題意的點是否存在.【小問1詳解】延長，連接并延長，交的延長線于，由于，所以，所以.所以是的延長線與延長線的交點，且.【小問2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標系，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于直線與平面所成的角為，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直線與平面所成的角為，且.20、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列通項公式列出方程組，可求解，，從而寫出；（2）化簡數(shù)列，裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小問2詳解】∵，∴∴∴21、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關(guān)系，在雙曲線中方程是非標準的方程，注意套公式時容易出錯.（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點的橫坐標，利用中點坐標公式即可