寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題含解析

寧夏銀川市興慶區(qū)長慶高中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.2．拋物線的準線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.3．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤54．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“至少有1個白球”和“都是紅球”B.“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”C.“恰有1個白球”和“恰有2個白球”D.“至多有1個白球”和“都是紅球”5．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.6．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.77．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)8．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.9．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.10．中國古代有一道數(shù)學題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文11．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)12．如圖在中，，，在內(nèi)作射線與邊交于點，則使得的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.14．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，與其準線交于點C，若，則直線l的斜率為______.15．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.16．已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，平面，，，，，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點A，B是橢圓C的上，下頂點，點P是直線上的動點，直線PA與橢圓C的另一交點為E，直線PB與橢圓C的另一交點為F．證明：直線EF過定點19．（12分）設數(shù)列的前項和為，，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)，有.20．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大?。唬?）設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是菱形，E為的中點（1）證明：（2）已知，求二面角的余弦值22．（10分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點，不符合題意；對于C,當時，，當且僅當時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域為，不符合題意；本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項2、C【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準線方程是y＝﹣故答案為C【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程和簡單性質(zhì)．屬基礎題3、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應為的真子集，由選擇項不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項可知C符合題意.故選：C4、C【解析】結(jié)合互斥事件與對立事件的概念,對選項逐個分析可選出答案.【詳解】對于選項A,“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項B,“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的,而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球,或者2個都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項C,“恰有1個白球”表示取出2個球1個紅球1個白球,與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事件,符合題意;對于選項D,“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球,或者2個都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運用,考查了學生對知識的理解和掌握,屬于基礎題.5、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.6、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B7、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點：四種命題8、C【解析】由題意分析可得，當時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上，設外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.9、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.10、C【解析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.11、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D12、C【解析】由題意可得，根據(jù)三角形中“大邊對大角，小邊對小角”的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為求的概率，又因為，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因為，，則的概率是故選：C【點睛】本題考查幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】由題設可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數(shù)列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數(shù)列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.14、【解析】由拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，設直線為，、，即可得到的坐標，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，表示出、的坐標，根據(jù)得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：拋物線方程為，則焦點，準線為，設直線為，、，則，由，消去得，所以，，則，，因為，所以，所以，所以，解得，所以，即直線為，所以直線的斜率為；故答案為：15、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.16、【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得即可推理作答.(2)由已知條件，以點A作原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關(guān)系的向量證明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，因分別是的中點，則，因平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在四棱錐中，平面，，以點A為原點，射線AB，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，而且，則，，設平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小問3詳解】由(2)知，，令直線與平面所成角為，則有，所以直線與平面所成角的正弦值.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過解方程組，即可求出答案.（2）法一：設，，；當時，根據(jù)點的坐標寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點的坐標；同理可求出點的坐標，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過定點.法二：首先根據(jù)時直線EF的方程為，可判斷出直線EF過的定點M必在y軸上，設為；然后同方法一，求出點，的坐標，根據(jù)，即可求出的值.【小問1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】法一：設，，，當時，直線PA的方程為，由，得解得，所以．所以同理可得所以直線EF的斜率為，所以直線EF的方程為，整理得，所以直線EF過定點當時，點E，F(xiàn)在y軸上，EF的方程為，顯然過點綜上，直線EF過定點法二：當點P在y軸上時，E，F(xiàn)分別與B，A重合，直線EF的方程為，若直線EF過定點M，則M必在y軸上，可設當點P不在y軸上時，設，，，則直線PA的方程為，由，得，解得，所以，所以，同理可得，所以，因為E，F(xiàn)，M三點共線，所以，所以，整理得，因為，所以，解得，即所以直線EF過定點19、（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）利用關(guān)系可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義易知為等比數(shù)列，進而寫出的通項公式；（2）由，將不等式左側(cè)放縮，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當時，，，兩式相減得：，整理可得：，而，所以是首項為2，公比為1的等比數(shù)列，故，即，.【小問2詳解】，..20、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進而求其大小.（3）設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的