河北省廊坊市省級示范高中聯(lián)合體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

河北省廊坊市省級示范高中聯(lián)合體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是（）A. B.C. D.2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.3．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件4．若數(shù)列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.205．已知直線過點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的兩點(diǎn)，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.9．已知拋物線上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.210．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B.C. D.12．已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則______14．知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.15．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________16．已知，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個領(lǐng)域，是能夠影響一個國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.（1）求C的方程：（2）過C上一動點(diǎn)P作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足；正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為，求的最大值.20．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個公共點(diǎn)（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓M的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知橢圓，其焦點(diǎn)為，，離心率為，若點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心滿足：，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選：D2、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計(jì)算其輸出值即可.【詳解】運(yùn)行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項(xiàng)求和可得：.故選：C.【點(diǎn)睛】識別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證3、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.4、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D5、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C6、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項(xiàng)A.故選：A.7、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題目.8、C【解析】作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，作于，因?yàn)?，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.9、B【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得則故選：B10、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D11、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為可知，拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).12、C【解析】分析可知圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，由圓的圓心坐標(biāo)為，是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，有，由圓的幾何性質(zhì)可得，又由，可得的最小值為故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，則拋物線：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的分布，進(jìn)而求m的范圍.【詳解】由解析式知：在上為增函數(shù)且，在上，時(shí)為單調(diào)函數(shù)，時(shí)無零點(diǎn)，故要使有兩個不同的零點(diǎn)，即兩側(cè)各有一個零點(diǎn)，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：15、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：16、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計(jì)算即可(2)代入回歸直線計(jì)算即可小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測值為億元18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，求出p即可；(2)設(shè)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式求出，根據(jù)四邊形PAMB的面積得到關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)镃的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由題意得，即，因此.【小問2詳解】圓M的圓心為，半徑為1.由條件可知，，且，于是.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)等號成立，所以四邊形PAMB面積的最小值為.19、（1），（2）8【解析】（1）利用已知的關(guān)系把替換成，再把兩式作差后整理即得通項(xiàng)公式，的通項(xiàng)公式可由已知條件建立基本量的方程求解.（2）由的通項(xiàng)公式可判斷，，，當(dāng)時(shí)，所有正項(xiàng)的和即為的最大項(xiàng)的值.小問1詳解】，，兩式相減得所以，又也滿足，故；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，即，因?yàn)?，即，，（?fù)值舍去），所以【小問2詳解】由題意，，則，，，且當(dāng)時(shí)，所以的最大值是.20、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，從而，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍【小問1詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得；【小問2詳解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，有上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是21、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可用表示，從而可求的值.【小問1詳解】據(jù)題意，得，∴，∴所求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】據(jù)（1）求解知，點(diǎn)F坐標(biāo)為若直線的斜率存在，且不等于0，設(shè)直線據(jù)得設(shè)，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時(shí)存滿足題設(shè)；若直線的斜率不存在，則；若直線的斜率為0，則，此時(shí)若，則綜上，存在實(shí)數(shù)，且使22、（1）（2）【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意