天津市和平區(qū)2025屆新高考數(shù)學適應性訓練試題二含解析

PAGE20-天津市和平區(qū)2025屆新高考數(shù)學適應性訓練試題（二）（含解析）（時間：2小時滿分：150分)第I卷（選擇題，滿分45分)一、單選題（每題5分，滿分45分，每題有且僅有一個正確答案）1.已知全集U=R，集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因為集合選B2.設均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：先對模平方，將等價轉(zhuǎn)化為0，再依據(jù)向量垂直時數(shù)量積為零得充要關系.詳解：，因為均為單位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要條件.選C.點睛：充分、必要條件的三種推斷方法．1．定義法：干脆推斷“若則”、“若則”的真假．并留意和圖示相結合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從其次個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：依據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠推斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的推斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上全部點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需依據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C．【點睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關鍵是求出函數(shù)．5.已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可依據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線的準線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴．故選D．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關鍵是求出AB的長度．6.甲、乙倆人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為.則甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】記甲恰好比乙多擊中目標2次為事務，分析可得包括兩個事務，①甲擊中2次而乙擊中0次，②甲擊中3次而乙擊中1次，由獨立事務的概率乘法公式計算可得兩個事務的概率，進而由互斥事務概率的加法公式，將其相加即可得答案．【詳解】記甲恰好比乙多擊中目標2次為事務，分析可得包括兩個事務:①甲擊中2次而乙擊中0次，記為事務，②甲擊中3次而乙擊中1次，記為事務，則.故選：A.【點睛】本題考查互斥事務、相互獨立重復事務的概率計算，運用到二項分布求概率，屬于基礎題.7.已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的有，，，

，，，

，A.0個 B.1個 C.2個 D.3【答案】B【解析】分析：由線面垂直的幾何特征，及線面垂直的其次判定定理，可推斷A的真假；依據(jù)面面平行的幾何特征及線線位置關系的定義，可推斷B的真假；依據(jù)線面垂直及線線垂直的幾何特征，及線面平行的判定方法，可推斷C的真假；依據(jù)面面平行的判定定理，可以推斷D的真假．詳解：由m?α，n?α，m∥β，n∥β，若a，b相交，則可得α∥β，若a∥b，則α與β可能平行也可能相交，故（1）錯誤；若m∥n，n⊥α依據(jù)線面垂直的其次判定定理可得m⊥α，故（2）正確；若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故（3）錯誤；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故（4）錯誤；故選B．點睛：本題以命題的真假判定為載體考查了空間線面關系的判定，嫻熟駕馭空間線面位置關系的判定，性質(zhì)及幾何特征是解答的關鍵．對于這種題目的推斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進行解除，推斷；還可以畫出樣圖進行推斷，利用常見的立體圖形，將點線面放入特別圖形，進行直觀推斷.8.已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)在上是增函數(shù)可得為偶函數(shù)且在上為增函數(shù)，從而可推斷的大小.【詳解】的定義域為.，故為偶函數(shù).因為為上的奇函數(shù)，故，當時，因為為上的增函數(shù)，故.設隨意，則，故，故，故為上的增函數(shù)，所以，而，故，所以.故選C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇函數(shù)、單調(diào)性以及指對數(shù)的大小比較，留意奇函數(shù)與奇函數(shù)的乘積、偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積都是偶函數(shù)，指數(shù)對數(shù)的大小比較應利用中間數(shù)和對應函數(shù)的單調(diào)性來考慮.9.已知函數(shù)設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式為(*)，當時，(*)式即為，，又（時取等號），（時取等號），所以，當時，(*)式為，，又（當時取等號），（當時取等號），所以，綜上．故選A．【考點】不等式、恒成立問題【名師點睛】首先滿意轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同狀況進行探討，針對每種狀況依據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應的的范圍.第II卷（非選擇題，滿分105分)二、填空題（每題5分，共計30分）10.已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位），若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在實軸上，則a=．【答案】1【解析】z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在復平面內(nèi)對應的點在實軸上，∴a－1＝0，從而a＝1.11.的綻開式中的系數(shù)為________用數(shù)字作答【答案】-8【解析】【分析】利用二項式定理綻開即可得出．【詳解】解：，項的系數(shù)為：．故答案為：-8．【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理實力與計算實力．12.數(shù)列滿意，，.則數(shù)列的通項公式為_____【答案】【解析】【分析】通過對變形可知，進而可知數(shù)列是以為首項、為公差的等差數(shù)列，可知，利用累加法計算解即得結論.【詳解】證明：因，所以，又因為，所以是以為首項、為公差的等差數(shù)列，得，因而有：，，，，累加后得：所以，所以數(shù)列的通項公式.【點睛】本題考查由遞推關系證明等差數(shù)列，還考查等差數(shù)列的通項公式及利用累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中等題.13.設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準線相交于點，，則與的面積之比__________．【答案】【解析】設F到直線AB的距離為d，則設AB：代入中易得，從而可得.14.已知，且，則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得的值，然后結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果，留意等號成立的條件.【詳解】由可知，且：，因為對于隨意，恒成立，結合均值不等式的結論可得：.當且僅當，即時等號成立.綜上可得的最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽視了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．15.在中，，，.若，，且，則的值為______________.【答案】【解析】,則.【考點】向量的數(shù)量積【名師點睛】依據(jù)平面對量的基本定理，利用表示平面對量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數(shù)量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數(shù)量積.三、解答題（解答過程須要有必要的文職說明和推理步驟，共計75分）16.設.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）面積的最大值為【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）首先由結合（Ⅰ）的結果，確定角A的值，然后結合余弦定理求出三角形面積的最大值.試題解析：解：（Ⅰ）由題意知由可得由可得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）由得由題意知為銳角，所以由余弦定理：可得：即：當且僅當時等號成立.因此所以面積的最大值為考點：1、誘導公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點在線段上，平面，，．（1）求證：為的中點；（2）求二面角的大??；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）設，的交點為，由線面平行性質(zhì)定理得，再依據(jù)三角形中位線性質(zhì)得為的中點．（2）先依據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角大小（3）先依據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解各面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)線面角與向量夾角互余關系求線面角大小【詳解】（1）設，的交點為，連接．因為平面，平面平面，所以．因為是正方形，所以為的中點，所以為的中點．（2）取的中點，連接，．因為，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因為平面，所以．因為是正方形，所以．如圖，建立空間直角坐標系，則，，，所以，．設平面的法向量為，則，即．令，則，，于是．平面的法向量為，所以．由題知二面角為銳角，所以它的大小為．（3）由題意知，，．設直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿意，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.（3）設數(shù)列的前n項和為，求證：對隨意正整數(shù)n，都有成立.【答案】（1）；（2）；（3）看解析.【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知，求出，即可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，，利用錯位相減法即可得出，代入不等式對一切恒成立，對分類探討即可得出的取值范圍；（3）當時，結論明顯成立；當時，，化簡證明即可.【詳解】（1）已知等差數(shù)列中，，設公差為，由已知，則，所以，得的通項公式為：即：.（2）由（1）可得，，則兩式相減得：解得：.所以不等式化為對一切恒成立，若為偶數(shù)，則，即；若為奇數(shù)，則，即；綜上可得：.（3）證明：當時，結論明顯成立；當時，由（2）知，.所以，對隨意正整數(shù)n，都有成立.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和利用錯位相減法求數(shù)列的前項和，同時考查數(shù)列和不等式的恒成立問題求參數(shù)的范圍，還考查學生的轉(zhuǎn)化思想和運算實力.19.已知橢圓的離心率為，直線與橢圓的兩交點間距離為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設是橢圓上的一動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，若直線的斜率均存在，并分別記為，求證：為定值.（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）為定值；（3）為定值，定值為25．【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率公式求得，由橢圓過點，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）利用點到直線距離公式，同理求得：，則，是方程的兩個不相等的實根，依據(jù)韋達定理即可求得為定值；（3）將直線和的方程，代入橢圓方程，即可求得和點坐標，依據(jù)兩點之間的距離公式，由，即可求得為定值．【詳解】解：（1）由橢圓的離心率，則，由直線過點，代入，解得：，則，橢圓的標準方程：；（2）證明：由直線，直線，由直線為圓的切線，，，同理可得：，，是方程的兩個不相等的實根，由，△，則，由，在橢圓上，即，，為定值；（3）經(jīng)推斷為定值，設，，，，聯(lián)立，解得，，同理，得，由，得，，，，為定值，定值為25．【點睛】本題考查了橢圓的定義標準方程、直線與圓相切的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了分類探討方法、推理實力與計算實力，屬于難題．20.設函數(shù).（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；（2）探討函數(shù)零點個數(shù)；（3）若對隨意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）2；（2）當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3）.【解析】試題分析：（1）當m=e時，＞0，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的微小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，則h（1）=，h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）-零點的個數(shù)；（3）（理）當b＞a＞0時，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍試題解析：（1）由題設，當時，易得函數(shù)的定義域為當時，，此時在上單調(diào)遞減；當時，，此時在