安徽省淮北市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

安徽省淮北市一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.3．已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.4．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.5．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，在軸上的投影恰好是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.6．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.37．過點(diǎn)且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條8．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是（）A.4 B.6C. D.9．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，令.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.10．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－211．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.412．與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從正方體的8個頂點(diǎn)中選取4個作為項(xiàng)點(diǎn)，可得到四面體的概率為________14．在等比數(shù)列中，，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為________15．已知經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為1，則a的值為___________.16．已知點(diǎn)，圓：.若過點(diǎn)的圓的切線只有一條，求這條切線方程____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高三年級學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，將其成績分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績在內(nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.18．（12分）設(shè)命題方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線；命題，，若“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項(xiàng)和(其中)（1）求；（2）求和：20．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.21．（12分）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，且，，點(diǎn)E在棱AB上移動.（1）證明：；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求直線AC與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，，，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.2、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D3、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.4、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時，，不符；B.當(dāng)時，，不符；C.當(dāng)時，，不符；D.當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合.故選：D.5、D【解析】根據(jù)題意的到，，代入到雙曲線方程，解得，即，則，即，即，求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點(diǎn)為，∵直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)在軸上的投影恰好是，∴，且，∴，將代入到雙曲線方程，可得，解得，即，則，即，即，解得（舍負(fù)），故.故選:D.6、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因?yàn)?，所以，所以切線的斜率為.故選：D.7、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點(diǎn)，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當(dāng)時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點(diǎn).故滿足題意的直線有2條.故選：B8、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時周長最小，為故選：C9、D【解析】由已知條件推導(dǎo)出，．由此利用裂項(xiàng)求和法能求出【詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過時，在軸上的截距最大，最小，此時，故選：D11、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B12、C【解析】由直線平行及直線所過的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】計(jì)算出正方體的8個頂點(diǎn)中選取4個作為項(xiàng)點(diǎn)的取法和分從上底面取一個點(diǎn)下底面取三個點(diǎn)、從上底面取二個點(diǎn)下底面取二個點(diǎn)、從上底面取三個點(diǎn)下底面取一個點(diǎn)可得到四面體的取法，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】正方體的8個頂點(diǎn)中選取4個作為項(xiàng)點(diǎn)，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個點(diǎn)下底面取三個點(diǎn)有種；從上底面取二個點(diǎn)下底面取二個點(diǎn)有種，其中當(dāng)上底面和下底面取的四個點(diǎn)在同一平面時共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個點(diǎn)下底面取一個點(diǎn)有種；一個有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.14、【解析】求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：.15、6【解析】根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率計(jì)算公式即可求的參數(shù)a﹒【詳解】由題意可知，解得故答案為：616、或【解析】由題設(shè)知A在圓上，代入圓的方程求出參數(shù)a，結(jié)合切線的性質(zhì)及點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)檫^的圓的切線只有一條，則在圓上，所以，則，且切線斜率，即，所以切線方程或，整理得或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計(jì)算即得.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計(jì)算即得.(3)求出成績在內(nèi)的學(xué)生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，解得，所以圖中值是0.020.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.【小問3詳解】數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，記名男生分別為，，名女生分別為，，，從數(shù)學(xué)成績在內(nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析的基本事件為：，共個不同結(jié)果，它們等可能，其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結(jié)果，所以人中恰有名女生的概率為為.18、【解析】求出當(dāng)命題、分別為真命題時實(shí)數(shù)的取值范圍，分析可知、中一真一假，分真假、假真兩種情況討論，求出對應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則，即，解得，若為真命題，則，解得，因?yàn)椤啊睘榧倜}，“”為真命題，則、中一真一假，若真假，則，可得，若假真，則，此時.綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍為.19、（1）12（2）18【解析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項(xiàng)公式，要求前12項(xiàng)絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項(xiàng)為正項(xiàng)，后6項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)，因此在算和的時候，后6項(xiàng)和可以取原通項(xiàng)公式的相反數(shù)即可計(jì)算，即為，然后再加上前6項(xiàng)和，即為要求的前12項(xiàng)絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項(xiàng)和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，所以即20、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：設(shè)，，，，；【小問2詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：22、（1）證明見解析（2）【解析