2024-2025學年湖北省荊門市某中學高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年湖北省荊門市龍泉中學高三(上)第一次月考數(shù)學試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如果集合S={K|X-3n+l,nEN},T={x\x=3k—2,kEZ],貝!]()

A.S=rB.TQSC.S=TD.S生T

2.已知下列四個命題：

U

①命題"v*e的否定是3X0E夫,>就+1<1”；

②若△4BC為銳角三角形，則sinA+sinB>cosA+cosB；

③若/'(久o)=0,則％=久0是函數(shù)/Q)的極值點；

④命題P：若a2-b2>0,則a3-/)3>0；命題q：若aKb,則a2+62>2ab；可知"p或q"為真命題.

其中真命題的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.已知x€(0,兀)，sin(^|^-x)-cos2(|+^)=0,則tan(x+3=()

A.-3—2^/2B.-2^/2C.3—2^/2D.-3

4.已知函數(shù)/(x)=久(乂-1)0—2)(無一3)(*-4)(%-5),求/''(2)=()

A.0B,-12C,-120D.120

5.克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p(0<p<1),她擲了k次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設隨機變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P(X=10)最大的N值估計N的取值并計算E(X).(若有多個N使P(X=10)最大，則取其中的最小N值).

下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E(X)與10的大小無法確定

6.已知函數(shù)/O)=3，-2，，xER,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.存在aGR,使得函數(shù)y=%為奇函數(shù)

C.任意久€R,f(%)>—1

D.函數(shù)g(X)=/(%)+%有且僅有2個零點

第1頁，共10頁

7.已知無窮等比數(shù)列｛a｝的公比為q,前n項和為S”且limS=S,下列條件中，使得2s<S(neN*)恒成

n九T8nn

立的是()

A.%>0,0.6<Q<0,7B,由<0,-0.7<q<—0.6

C.fli>0,0.7<q<0,8D,at<0,-0,8<q<-0,7

8.已知橢圓-今+^=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,過F2的直線[與橢圓設目交于力，B兩

點，與y軸相交于點C,連接％C,F14若。為坐標原點，%C1F14SACOF2=2SAAF1F2,則橢圓廠的離心

率為()

AB在CD—

A-5-51010

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的是()

A.已知隨機變量X?B(n,p),若E(X)=30,O(X)=10,則p

1

B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是微

C.已知闋=C)則九=8

D.從一批含有10件正品、4件次品的產(chǎn)品中任取3件，則取得2件次品的概率為部

10.已知圓錐S。的底面半徑r=看母線長1=2,SA,S8是兩條母線，P是SB的中點，貝)

A.圓錐S。的體積為喑

B.圓錐S。的側(cè)面展開圖的圓心角為:

C.當aSAB為軸截面時，圓錐表面上點4到點P的最短距離為押記區(qū)

D./sSAB面積的最大值為2

11.已知橢圓E：+l(cz>b>0)的左、右焦點分別為鼻,尸2，左、右頂點分別為4B,P是E上異

于4B的一個動點.若3|4川=出％],則下列說法正確的有()

A,橢圓E的離心率為方

B.若PF1IFF2，貝hos/PFzFi建

C.直線P4的斜率與直線PB的斜率之積等于一楙

D.符合條件比-布=0的點P有且僅有2個

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z滿足|z|=1,則|z-3+4i|的取值范圍是.

13.近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風景線.某外賣小哥每

天來往于4個外賣店(外賣店的編號分別為1,2,3,4),約定：每天他首先從1號外賣店取單，叫做第1次

取單，之后，他等可能的前往其余3個外賣店中的任何一個店取單叫做第2次取單，依此類推.假設從第2次

取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個外賣店取單，設事件4=｛第k次取單恰好是從1號店取單

｝，P(40是事件4發(fā)生的概率，顯然PQ4i)=LP(X2)=0,貝〃G4n)=.

14.已知函數(shù)/'(久)在定義域(一方t)上為偶函數(shù)，并且xNO時，/■'(%)>/(x)tan%,若/'(9=2,則不等式

的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

222

在①sinAsinBsinC=-^-(sin7!+sinC—sinB)；②焉+焉=A：；￡SB；③設△"BC的面積為S,

且4Ps+3(/—a2)=302,這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上.并加以解答.

在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知,且b=28.

(1)若a+c=6,求△ABC的面積；

(2)若△ABC為銳角三角形，求羨的取值范圍.(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

16.(本小題15分)

某網(wǎng)游經(jīng)銷商在甲地區(qū)5個位置對“電信”和“網(wǎng)通”兩種類型的網(wǎng)絡在相同條件下進行游戲掉線測試，

得到數(shù)據(jù)如表：

ABCDE

電信438612

網(wǎng)通57943

(1)如果在測試中掉線次數(shù)超過5次，則網(wǎng)絡狀況為“糟糕”，否則為“良好”，那么在犯錯誤的概率不超

過0.15的前提下，能否說明游戲的網(wǎng)絡狀況與網(wǎng)絡的類型有關？

(2)若該游戲經(jīng)銷商要在上述接受測試的電信的5個地區(qū)中任選3個作為游戲推廣，求4、B兩個地區(qū)同時選

到的概率；

(3)在(2)的條件下，以X表示選中的掉線次數(shù)超過5個的位置的個數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.

nQad-bc}2

參考公式：笈=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

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P(K2>ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

kq0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

17.(本小題15分)

在三棱臺ABC-&BiCi中，底面△力8C是等邊三角形，側(cè)面4遇。的是等腰梯形，。是4C的中點，是兩

異面直線BiB和4C的公垂線，且48=94/1=24，BB、=2顯

(1)證明：側(cè)面483遇11平面BMC；

(2)若麗=瓦瓦且8/與平面R4C之間的距離為1,求二面角4-EC-/的正切值.

18.(本小題17分)

在xOy平面上，我們把與定點%(-。,0)、F2(a，0)(a>0)距離之積等于a2的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，

F1、&為該曲線的兩個焦點.已知曲線C：(/+y2)2=9Q2—y2)是一條伯努利雙紐線.

(1)求曲線C的焦點F1、尸2的坐標；

(2)判斷曲線C上是否存在兩個不同的點4、8(異于坐標原點。)，使得以4B為直徑的圓過坐標原點。.如果存

在，求點4、B坐標；如果不存在，請說明理由.

19.(本小題17分)

自然常數(shù)，符號e,為數(shù)學中的一個常數(shù)，是一個無限不循環(huán)小數(shù)，且為超越數(shù)，其值約為2.71828.它是自

然對數(shù)的底數(shù).有時稱它為歐拉數(shù)(E僅enunn屁r),以瑞士數(shù)學家歐拉命名；也有個較為少見的名字“納皮

爾常數(shù)”，以紀念蘇格蘭數(shù)學家約翰.納皮爾(/o/mNapier)引進對數(shù).它就像圓周率兀和虛數(shù)單位3是數(shù)學

中最重要的常數(shù)之一，它的其中一個定義是e=%78(1+$支.設數(shù)列｛?九｝的通項公式為。=(1+》九，

nEN*,

(1)寫出數(shù)列｛5｝的前三項ei，e2,e3.

(2)證明：2We.<3.

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參考答案

l.A

2.D

3.X

4.B

5.B

6.D

7.B

8.4

9.BC

1Q.BCD

11.7IC

12.[4,6]

13.W）x

id,7171.

14.（一布）

15.解：（1）選①，由題意利用正弦定理得acs譏B=岑（。2+02-

由余弦定理可得acsinB=^-X2accosB,

可得sinB=避cosB,

所以tcmB=4，

因為8e（0,兀），

,,71

故3=

又b=28，a+c=6,

由余弦定理可得12=小+c2—ac=（a+c）2-3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面積S=^acsinB=^x8x號=2平；

選②h因為tan4+tanB—~^3sinAcosB,

第5頁，共10頁

_sinBcosA+cosBsinA

sinAsinB

_sinC

sinAsinB

sinC

psinAcosB'

因為4Ce(0,7T),

所以sinCHO,sinAHO,

所以sinB=避cosB,

所以tcmB=避，

因為8e(0"),

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面積S=^acsinB8x^=2平；

選③，設△ZBC的面積為S,由題意可得4和xaacsiziB=3c2-3(Z?2-a2)=3(a2+c2-b2),

所以24acsinB=3x2accosB,

所以tcmB=避，

因為8e(0,兀)，

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a?+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△&8C的面積S=^acsinB=，x8x岑=2展

(2)由(1)可知8=pb=2避,

因為咪a1=*c?=^=*可得a=4s譏4c=4sinf,

所以？

_sinA

sinC

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^sin(^-C)

sinC

=^cosC+^sinC

sinC

_1

2tanC2，

TT

因為△4BC為銳角三角形，B=§,

■jl7T

所以0<C<5，五<B+C<7T,

解得"C<p

所以tanC>孚，可得。<焉(避，

所以義<品+9<2,

乙2tanCN

所以割取值范圍是6,2).

16.解：(1)根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下:

位置

糟糕良好合計

類型

電信325

網(wǎng)通235

合計5510

K2=口q=黑言=0.4<2.07,故在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，不能說明游戲的網(wǎng)絡狀

況與網(wǎng)絡的類型有關.

(2)依題意，所求概率P=￡=條

⑶隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=與召=高P(X=2)=%重=，；P(X=3)=]

1

~To,

故X的分布列為

X123

331

P

10510

331

???E(X)=lx京+2*>3x點=1.8.

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17.1?：（1）證明：:Bi。是異面直線BiB與AC的公垂線，

B\BJ_B10,B1。_LAC->

又△力BC是等邊三角形，。是力C的中點，AC1B。，

.-.AC1平面BiB。，

又u平面/BO,???ACISiS,

B]B_L平面BMC,

又B]Bu平面BiB44i，

?-?平面4B81&1平面Bp4C；

⑵???~B0=~B^E,：.四邊形B/OE是平行四邊形，

BrB//OE,且B/=OE,

由（1）知Bi。1平面E4C,

線段Bi。的長為直線B聲與平面△E4C的距離，即為0=1,

在平面E4C內(nèi)，過。作直線。F1EC于F,連BF，

則1EF,ABiF。為二面角4—EC—Bi的平面角，

???AB=2避，BB、=26,

：.0C=8，EC="產(chǎn)+0c2=J（2?2+（0）2=力,

tanzBiFO=翌==遐,

OF疝12

故所求二面角2-EC-%的正切值為里.

18.解：（1）設焦點%（-。,0）,尸2（。，。）（口>0），

曲線C:（X2+y2）2=9（%2—y2）與久軸正半軸交于點尸（3,0）,

由題意知IPF1IIP&I=（3+a）（3-a）=9-a2=a2,

于是F=3，a

因比%（一￥，0）？2（挈0）；

（2）假設曲線C上存在兩點4B,使得以48為直徑的圓過坐標原點。，即。41OB,

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由題意知直線。40B斜率均存在，

不妨設直線。4的方程為y=fcix,直線。8的方程為y=k2x,