2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)二十 導數(shù)的函數(shù)零點問題

二十導數(shù)的函數(shù)零點問題

(時間：45分鐘分值:40分)

_y-L[___

1.(10分)(2023?隴南聯(lián)考)已知函數(shù)加加￡R)討論作)的零點個數(shù)

e

【解題指南】令人x)=0,可得。W，令g(x)開，利用導數(shù)的方法研究其單調性

ee

及最值，從而討論。的取值范圍,進而得到函數(shù)零點的個數(shù).

【解析】令啟)上二-4=0彳導a-久：：

ee

設則gG)_e(、"一；,

e(e)e

當x>0時,g(x)<0,當x<0時,gG)>0,

所以g(x)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，所以g(x)<g(0)=l,

而當x>-l時,g(x)>0;當x<-l時,g(x)<0.

當》一-8時￡(%)--8；當》一+8時￡(%)—0,

所以g(%)的大致圖象如圖所示.

①當a>\時，方程g（x）=a無解，即兀r）沒有零點；

②當a=l時，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零點；

③當0<?<1時方程g（x）=a有兩解，即加）有兩個零點；

④當a<0時，方程g（x）=a有且只有一解，即/（%）有唯一的零點.

綜上，當a>\時4%）沒有零點；

當a=l或a<0時段）有唯一的零點；

當0<?<1時〃）有兩個零點.

【加練備選】

已知函數(shù)/（工尸cosx+xsinx.

⑴討論本）在［-2冗,2同上的單調性；

【解析】⑴因為X-x）=cos（-x）-xsin（-x）=cosx+xsinGR,所以｛x）是R上的

偶函數(shù)也是［-2匹2瓦］上的偶函數(shù)./Xx）=xcos%,當x引0,2冗］時，令人》>0得0<x<2或

會%<2冗;令人）<0得六所以｛x）在嗚］和吾,2汨上單調遞增在（鬻）上單調

遞減因為?。┦桥己瘮?shù)，所以當工引-2冗,0）時段）在［-2兀,子］和《0）上單調遞減，在

（*,->上單調遞增.

綜上所述西）在［-2冗,片］,［-*）和g多上單調遞減，在（片,-》，嗚］和停2兀］上單調

遞增.

1

⑵求函數(shù)g（%）=/a）-產(chǎn)-1零點的個數(shù).

1

【解析】(2)由⑴得g(-x)y-x)z(-x)2-1=g(x),所以g(x)是R上的偶函數(shù)

-TTRTT-TTKIT

①當X引0,2冗］時，令g(x)>0得0<%<目或可<%<2幾;令g(x)<0得§<%(手

所以g(x)在嗚)和4,2兀)上單調遞增，在(若)上單調遞減.

因為g(§)>g(。尸O,g(N)=^~X(-多匕X(7)2-r0,g(2兀)=-九2<0,

所以加￡(罌)，使得g?)尸0,

所以g(x)在［0,2冗］上有兩個零點.

②當％《(2冗,+8)時,g(x尸cosx+xsinx-^x2-l所以g(x)在(2TI,+OO)上沒有零

點

由①②及g(x)是偶函數(shù)可得g(x)在R上有三個零點.

2.(10分)已知函數(shù)"X)=2%3-3%2-12X+加.

⑴若加=1,求曲線MX)在(141))處的切線方程；

【解析】⑴由題意得/(%尸6%2-6%-12,

故八1尸-12,

又當加=1時41尸2-3-12+1=-12,

故所求的切線方程為y+12=-12(x-l),即尸12%.

(2)若函數(shù)1%)有3個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】(2)由題意彳導/(x尸6爐-6%-12=6(%2-%-2)=6(%+l)(x-2),

令/(%尸0得x=-l或％=2,

故當x￡(-8,-1)時/(x)>0;當X￡(-1,2)時/(%)<0;當工￡(2,+8)時/(%)>0,

故當x=-l時,函數(shù)加r)有極大值戶2x(-l)-3xl-12x(-l)+片加+7,

當x=2時，函數(shù)/(%)有極小值/(2)=2x8-3x4-12x2+加=冽-20.

若函數(shù)八%)有3個零點，則實數(shù)加滿足[胃十:二1解得-7<加<20,

IiL-乙U、U,

即實數(shù)m的取值范圍為(-7,20).

3.(10分X2024?太原模擬)已知函數(shù)?r)=x+/+lnx,aWR.

⑴若函數(shù)小)在尸1處取得極值，求實數(shù)。的值；

2

【解析】⑴因為函數(shù)段)在尸1處取得極值了(%)=1工+:^,所以八1尸0,即

XxX

[2[

下心=0,解得4=2,經(jīng)檢驗，當。=2時,函數(shù)小)在尸1處取得極小值，所以實數(shù)a

的值為2.

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點個數(shù).

【解析】(2)因為g(x)=f(x)-x,

所以g(%)=1-W+、X>0.

令g(%)=°得a~x3+x2+x,

令h(x)~x3+x2+x,x>Q,

則h'(x)=-3x2+2,x+1=-(3x+1)(x-1).

當x￡(0,1)時,/z3>0,3)在(0,1)上單調遞增；

當xW(1,+8)時,〃。)<0,3)在(1,+8)上單調遞減.

畫出函數(shù)3)的草圖，如圖所示,

易得貼)引⑴=1,

并且圖象無限靠近于原點，且當工一+8時,力(%)--8.故當a>\時，函數(shù)g(x)無零點;

當a=l或400時，函數(shù)g(x)只有一個零點;當0<a<l時，函數(shù)g(x)有兩個零點

4.(10分)(2021?全國甲卷)已知a>0且。聲1,函數(shù)兀T)=G(X>0).

a

⑴當a=2時，求人x)的單調區(qū)間;

2

【解析】⑴當a=2時於)。(%>0),

/(%)—x(I2-xln2)4>0),

2

令/(x)>0得0<x</此時函數(shù)於)單調遞增,

令/(x)<0得心總此時函數(shù)1x)單調遞減

77

所以函數(shù)小)的單調遞增區(qū)間為(0,臺，單調遞減區(qū)間為右,+8).

111乙111乙

(2)若曲線y=/(x)與直線產(chǎn)1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

【解析】(2)曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，

可轉化為方程k1,即廿=。'(%>0)有兩個不同的解，

a

即方程有兩個不同的解.

設g(x)T(x>0)則g'(%)上腎%>。)，

xx

1_]nY

令g'(x)=~L。彳導x=e,

X

當0<x<e時g(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增，

當x>e時,g(x)<0,函數(shù)g(x)單調遞減，

故g(%)max=g(e)=|,又g⑴=0,當x>e時,g(x)e(0,1),

所以。<?4,即g⑴<g(a)<g(e),結合g(x)的單調性可知l<a<e或a>e,

即。的取值范圍為(l,e)U(e,+oo).

【加練備選】

函數(shù)_A%)=ax+xlnx在％=1處取得極值.

⑴求八工)的單調區(qū)間；

【解析】(1處)的定義域為(0,+8)/(x)=a+lnx+1,由/(1)=a+1=0,解得a=-l,

則_A%)=-x+xlnx,

所以/V尸In%,令人>)>0,解得x>l;

令/(x)<0,解得0<x<l,

所以-)的單調遞增區(qū)間為(1,+8),單調遞減區(qū)間為(0,1).

(2)若加-1在定義域內有兩個不