2023-2024學(xué)年北京市九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷（含詳解）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期北京市九年級數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)試卷

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

1.將拋物線丁=/向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）-+1C.y=（x+2）2-1D.y=（x+2『+l

2.如圖，已知AB〃CD〃石尸，AD;AF=3:5,BC=6,CE的長為（）

A.2B.4C.3D.5

3.在VA3C中，/A和NC都是銳角，且sinA="，tanC=G，則VA3C的形狀是（）

2

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.不能確定

4.如圖，是。的直徑，C、。是。上兩點，NCDB=40。，則/ABC的度數(shù)是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

5.如圖，線段A3是。。的直徑，如果NC45=30°,那么NAOC的度數(shù)是（）

6.對于反比例函數(shù),=—,下列結(jié)論：①圖象分布在第一、三象限；②當(dāng)x<o時，y隨x的增大而減少；③圖象

X

經(jīng)過點（—3,-4）；④若點A（x-％）,B（X2,%）都在圖象上，且石<%，則%〉內(nèi)，其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

7.如圖,將VA3C繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a,得到AB'C',若點p恰好在線段BC的延長線上，且AB,C=40。，

則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為（）

C.80°D.100°

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，A3兩點同時從原點。出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿x軸的正方

向運動，點3以每秒1個單位長的速度沿丁軸的正方向運動，設(shè)運動時間為，秒，以AB為直徑作圓，圓心為點

P.在運動的過程中有如下5個結(jié)論：

①NABO的大小始終不變；

P始終經(jīng)過原點。；

③半徑AP的長是時間r的一次函數(shù)；

④圓心尸的運動軌跡是一條拋物線；

⑤AB始終平行于直線V=—；*■

C.②③⑤D.①②③⑤

二、填空題（共8個小題，每小題2分，共16分）

9.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色

外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是則盒子中棋子的總個數(shù)是________.

4

10.如圖，在VA3C中，AB>AC,點。在邊上，點E在AC邊上且只需添加一個條件即可證

明△ABC^Z\AED,這個條件可以是（寫出一個即可）.

H.某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價，每件售價由原來的100元上漲到了121元.設(shè)平均每次漲價的百分率為X,則x是

12.在一自助夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60。方向的C處，他先沿正東方向走了

200m到達(dá)8地，再沿北偏東30。方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距

13.如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2,以A為圓心，以A3為半徑作弧3E,則陰影部分的面積為（結(jié)

果保留萬）.

A

oCD

k

14.如圖，已知雙曲線y=—（左＞0）經(jīng)過直角三角形。16斜邊08中點。，與直角邊A3相交于點C，若

x

△03C的面積為6,貝|」左=—.

15.如圖，在.ABC中，AB=8cm,BC=16cm.動點尸從點A開始沿4B邊運動，速度為2cm/s；動點。從

點B開始沿邊運動，速度為4cm/s；如果P、。兩動點同時運動，那么經(jīng)過秒時與

16.如圖，拋物線y=-必+2,將該拋物線在x軸和x軸上方的部分記作G，將x軸下方的部分沿x軸翻折后記

作C”。和C?構(gòu)成的圖形記作C3.關(guān)于圖形G，給出如下四個結(jié)論：①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱；②圖形C3

有最小值，且最小值為0；③當(dāng)x>0時，圖形C3的函數(shù)值都是隨著X的增大而增大的；④當(dāng)-2KxK2時，圖

形C?恰好經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)，以上四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題(本題有10個題，共68分)

17.計算：4cos45°+(-l)°-V8+|2-V2|

18.如圖，己知反比例函數(shù)丁=與的圖像與一次函數(shù)y=-x+b的圖像交于點4(1,4),點3(4,〃).

k

(2)觀察圖像，不等式一〉-》+/;的解集為.

x

19.如圖，在中，ZACB=9Q°,。是邊AB的中點，BELCD,垂足為點E.已知

(1)求線段C￡>的長;

(2)求cosNDfiE的值.

20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：A：籃球，B-.足球，C：排球，D：羽毛球，￡：乒

乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的

兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

人數(shù)

(1)則該班總?cè)藬?shù)為人，其中學(xué)生選?！坝鹈颉彼谏刃蔚膱A心角的度數(shù)是_____度；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對體育

社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率.

21.如圖，48是。。的直徑，點C在。。上，垂直于過點C的切線，垂足為。.

(1)若/A4D=80°,求NZMC的度數(shù)；

(2)如果AZ)=6,A8=8,求AC的長.

(2)若BD=6,CE=4,求AABC的邊長.

23.一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿。的位置來調(diào)節(jié)躺椅

舒適度，假設(shè)A8所在的直線為地面，已知AE=120cm,當(dāng)把圖②中的支撐桿CD調(diào)節(jié)至圖③中的CD'的位置

時，NE4B由20。變?yōu)?5°.

①②③

(1)你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,

sin25°?0.42)

(2)已知點。為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點。到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適.請

你求出此時枕部E到地面的高度.

24.如圖，AB是：O直徑，是；。的弦，G。與AB交于點E，CE=ED,延長AB至點孔連接。尸，使

得NCD尸=2NC4E.

(2)已知BE=1,BF=2,求:。的半徑長.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸交于A、8兩點，8點的坐標(biāo)為(3,0),與

(2)連接尸O,PC,并將APOC沿y軸對折，得到四邊形POP'C.是否存在點P,使四邊形尸'。為菱形?

若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點尸運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時尸點的坐標(biāo)和四邊形A8PC的最大面積.

26.如圖1,RtAABC和RtAADE中,ZACB^ZADE^90°,ABC=NAED=a°.

圖1圖2備用圖1備用圖2

(1)當(dāng)a=30。時，

①當(dāng)點。，E分別落在邊AC,AB上，猜想BE和CD的數(shù)量關(guān)系是；

②當(dāng)△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(45°<ZCAZ)<90o).分別連接C￡),BE,則①的結(jié)論是否仍然成立？

若成立，請給出證明；若不成立.請說明理由.

(2)當(dāng)&=45°時，將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到/。4=90。，若AC=10,AD=25直接寫出線段。的長.

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期北京市九年級數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)試卷

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

1.將拋物線丁=/向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）-+1C.y=（x+2）2-1D.y=（x+2『+l

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減，上加下減）進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：原拋物線的頂點為（0,0）,向左平移2個單位，再向下平移1個單位，那么新拋物線的頂點為

（-2,-）

新拋物線為y=（x+2）2—1.

故選：C.

【點睛】本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律”左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的

函數(shù)解析式.

2.如圖，已知〃石尸，AD;AF=3:5,BC=6,CE的長為（）

A.2B.4C.3D.5

【答案】B

【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【詳解】:AD：AF=3：5,

.??AD：DF=3:2,

?：AB//CD//EF,

??—,p?p—,

DFCE2CE

解得，CE=4,

故選：B.

3.在VA3C中，/A和NC都是銳角，且sinA="，tanC=百，則VA3C的形狀是（）

2

A,直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.不能確定

【答案】C

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，等邊三角形判定，利用特殊角的三角函數(shù)值得出/A及NC的度數(shù)，繼

而可判斷VA3C的形狀.

【詳解】解：由題意得，sinA=無，tanC=g,

2

ZA=60°,ZC=60°,

即VA3C是等邊三角形.

故選：C.

4.如圖，是）。的直徑，C、D是.。上兩點，NCDB=40。，則/ABC的度數(shù)是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【答案】C

【分析】首先根據(jù)力B是直徑得出NAC5=90。，然后利用圓周角定理的推論得出NCAB=NC￡啰=40。，最

后利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案.

【詳解】解：TAB是。的直徑，

:.ZACB=90°.

VZCAB和NCDB都是所對的圓周角,

:.ZCAB=ZCDB^4O0,

ZABC=90°-ZCAB=50°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查圓周角定理的推論及三角形內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理及其推論的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，線段A3是。。的直徑，如果NC45=30°,那么NAOC的度數(shù)是（）

B.50°C.55°D.60°

【答案】D

【分析】連接3C，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出NACB=90°,從而求出NA3C的度數(shù)，最后利用同弧所

對的圓周角相等即可解答.

【詳解】解：如圖：連接5C,

AB是。的直徑，

:.ZACB=90°,

ZCAB=30°,

ZABC=90°-ZCAB=90°-30°=60°,

:.ZADC^ZABC=60°,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.

6.對于反比例函數(shù)丁=與，下列結(jié)論：①圖象分布在第一、三象限；②當(dāng)x<o時，y隨天的增大而減少；③圖象

X

經(jīng)過點（一3,-4）；④若點A（x-％）,B（X2,%）都在圖象上，且石<々，則%〉內(nèi)，其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)逐項分析，可得答案.

【詳解】解：對于反比例函數(shù)丁=9，

x

?：k=12>Q

圖象分布在第一、三象限，故①正確，

②當(dāng)尤<0時，y隨x的增大而減少，故②正確，

12

③當(dāng)％=-3時，y=—=-4,故③正確,

-3

④不確定王、%與0的大小關(guān)系，

；?不能確定點A、5所在的象限，故不能判斷%、%的大小關(guān)系，④不正確.

故選：A.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象性質(zhì).

7.如圖，將VA3C繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a,得到.A5'C',若點p恰好在線段BC的延長線上，且ABC=40°，

則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.80°D,100°

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得Ag=AB，再由等腰三角形的性質(zhì)可得N3=NA3'C=40。，最后根據(jù)三角形的

內(nèi)角和即可求解.

詳解】解：ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a,得到一AB'C',

NBAB'=a，

AB=AB<ZABC=40°，

NB=ZABC=40°，

ZBAB=180°-40°—40°=100°，

/.a=100°,

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A3兩點同時從原點。出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿x軸的正方

向運動，點8以每秒1個單位長的速度沿丁軸的正方向運動，設(shè)運動時間為/秒，以A3為直徑作圓，圓心為點

P.在運動的過程中有如下5個結(jié)論：

①NABO的大小始終不變；

②始終經(jīng)過原點O；

③半徑//的長是時間r的一次函數(shù)；

④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；

⑤AB始終平行于直線V=—；x■

其中正確的有（）

A.①②③④B.①②⑤C.②③⑤D.①②③⑤

【答案】D

0A1

【分析】根據(jù)tanB=—=2,即可判斷①，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出。。=—A3,即可判斷②,

OB2

根據(jù)題意求得好，即可判斷③④，待定系數(shù)法求得的解析式，即可判斷⑤，即可求解.

【詳解】解：依題意==

tanB==2,

OB

NABO的大小始終不變，故①正確；

AB=VOB2+OA2=y/5t>OP=^AB=^-t

P始終經(jīng)過原點。，故②正確

?/AP=-AB=—t

22

半徑心的長是時間r的一次函數(shù)，故③正確；

?：OP=-AB=-t

22

圓心尸的運動軌跡是一條直線；故④不正確

A（2t,0）,

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

2tk+b=0

貝叫7，

b-t

k=--

解得：2,

b=t

?,?直線AB的解析式為y=-^x+t

???A3始終平行于直線y=—gx,故⑤正確.

故選：D

【點睛】本題考查了求正切，，勾股定理，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的平移，點的軌跡，綜合運用以上知識是解

題的關(guān)鍵.

二、填空題（共8個小題，每小題2分，共16分）

9.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋子除顏色

外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是則盒子中棋子的總個數(shù)是_________.

4

【答案】12

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的數(shù)量除以對應(yīng)概率，即可算出棋子的總數(shù).

【詳解】解：3--=12,

4

...盒子中棋子的總個數(shù)是12.

故答案為：12.

【點睛】本題考查了簡單隨機(jī)事件概率的相關(guān)計算，事件出現(xiàn)的概率等于出現(xiàn)的情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

10.如圖，在VA3C中，AB>AC,點。在A3邊上，點E在AC邊上且AD<只需添加一個條件即可證

明這個條件可以是（寫出一個即可）.

【答案】Z1=ZC

【分析】由相似三角形的判定定理可求解.

【詳解】解:添加N1=NC,

又：NA=NA，

，AABC^AAED,

故答案為：Z1=ZC（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵.

11.某商品經(jīng)過兩次連續(xù)提價，每件售價由原來的100元上漲到了121元.設(shè)平均每次漲價的百分率為X,則x是

【答案】10%

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程，解方程即可得到

答案.

【詳解】解：設(shè)平均每次漲價的百分率為X,

由題意得：100（1+力2=121,

解得：X]=0.1=10%,%=一2.1（舍去，不符合題意），

故答案為：10%.

12.在一自助夏令營活動中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60。方向的C處，他先沿正東方向走了

200m到達(dá)2地，再沿北偏東30。方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距

【詳解】解：由已知得：ZABC=90°+30°=120°,ZBAC=90°-60°=30°,

ZACB=180°-ZABC-ZBAC=180°-120°-30°=30°,

ZACB=ZBAC,

：.BC=AB=2Q0.

13.如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2,以A為圓心，以為半徑作弧助，則陰影部分的面積為（結(jié)

果保留萬）.

A

:

CD

6兀

【答案】—

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出/A的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=（5—2）x180。=540°,

540°

:.ZA=^-=108°,

5

_108^22_6兀

扇形ABE-360—T

故答案為：.

【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是解答本

題的關(guān)鍵.

k

14.如圖，已知雙曲線y=—(左＞0)經(jīng)過直角三角形Q46斜邊03的中點。，與直角邊A3相交于點C，若

x

△03C的面積為6,貝|」左=—.

【答案】4

【分析】過。點作x軸的垂線交工軸于E點，可得到四邊形DS4E，和三角形的面積相等，通過面積轉(zhuǎn)化,

可求出左的值.

【詳解】解：過。點作了軸的垂線交x軸于E點，

,△0￡)￡的面積和4c的面積相等.

：._OBC的面積和四邊形DEAB的面積相等且為6.

設(shè)。點的橫坐標(biāo)為左,縱坐標(biāo)就為人，

X

D為OB中點.

-2k

:.EA=x,AB=—,

x

1k9k

..?四邊形DE鉆的面積可表示為：-(-+—)^=6

2xx

k=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是知道反比例函數(shù)圖象上的點和坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積的

特點以及根據(jù)面積轉(zhuǎn)化求出k的值.

15.如圖，在一ABC中，AB=8cm,BC=16cm.動點尸從點A開始沿邊運動，速度為2cm/s；動點。從

點2開始沿邊運動，速度為4cm/s；如果P、。兩動點同時運動，那么經(jīng)過秒時與

VABC相似.

【答案】0.8s或2s

【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分

析題意列出方程求解.

設(shè)經(jīng)過f秒時，與VA3C相似，貝i]AP=2fcm,3P=(8-2r)cm,BQ=4tcm,利用兩組對應(yīng)邊的比相

等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行分類討論：理=些時，_BPQS」BAC,即手=當(dāng)；當(dāng)

BABC816

”=些時，ABPQsABCA,即與馬=t，然后解方程即可求出答案.

BCBA168

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過r秒時，與VABC相似，

則AP=Item,BP=(S-2/)cm,BQ=4/cm,

ZPBQ=ZABC,

...當(dāng)竺=些時，-BPQsBAC,

BABC

門口8—214-t

即----=—,

816

解得：t=2；

當(dāng)竺■=也時，△BPQsABCA,

BCBA

8-2t4/

即nn----=—,

168

解得：%=0.8；

故答案為：0.8s或2s.

16.如圖，拋物線y=-d+2,將該拋物線在x軸和x軸上方的部分記作G，將x軸下方的部分沿x軸翻折后記

作C>G和C?構(gòu)成的圖形記作C3.關(guān)于圖形C3,給出如下四個結(jié)論：①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱；②圖形C3

有最小值，且最小值為。；③當(dāng)x>0時，圖形C3的函數(shù)值都是隨著龍的增大而增大的；④當(dāng)-2KxW2時，圖

形C?恰好經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)，以上四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是.

【分析】畫出圖象Cs，根據(jù)圖象即可判斷.

【詳解】解：如圖所示，

①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱，故正確；

②由圖象可知，圖形C3有最小值，且最小值為0；,故正確；

③當(dāng)X>0時，圖形C3與x軸交點的左側(cè)的函數(shù)值都是隨著x的增大而減小，圖形與x軸交點的右側(cè)的函數(shù)值都

是隨著x的增大而增大，故錯誤；

④當(dāng)-2WXW2時，圖形C3恰好經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點），故正確；

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題有10個題，共68分）

17.計算：4cos45+（-1）。-+12-

【答案】3-41

【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則和解三角函數(shù)即可得到結(jié)果.

【詳解】解：原式=4x曰+1-2夜+2-夜，

=2垃+1-2^2+2-金,

=3-72.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關(guān)鍵是熟練

掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)塞、零指數(shù)幕、二次根式、絕對值等考點的運算.

18.如圖，已知反比例函數(shù)丁=人圖像與一次函數(shù)y=-x+6的圖像交于點A。,4),點3(4,〃).

(1)求〃和的值；

k

(2)觀察圖像，不等式一〉-x+b的解集為.

x

【答案】(1)72=1；b=5

(2)0<尤<1或x>4

【分析】(1)直接將點的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；

k

(2)根據(jù)圖像可知A點左邊y軸右邊或8點右邊的圖像均有一〉-x+8,即可求解.

x

【小問1詳解】

把4(1,4)代入y=.導(dǎo)：左=4,

4

把3(4,〃)代入y=—,得：”=1

X

把4(1,4)代入得：b=5.

【小問2詳解】

k

不等式—>—x+b的解集為0<x<l或x>4.

X

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是會用待定系數(shù)法求出解析式中的字母，能根據(jù)圖

像得到不等式的解集.

19.如圖，在RtaABC中，ZACB=9Q°,。是邊AB的中點，BELCD,垂足為點E.已知

AC=6,cosA=—

5

A

(1)求線段C￡＞的長;

(2)求cosNDfiE的值.

【答案】(1)8=5；

24

(2)cosZDBE=—.

25

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)求出A3的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長即可；

(2)先運用勾股定理求出3C,再由于。為上的中點可得。。=。5=5,推出NDC8=NABC,利用正弦

函數(shù)求出3E,據(jù)此即可解答.

【小問1詳解】

3

解：AC=6,cosA=—,

,63

cosA=----=—,

AB5

AAB=10,

：VA3C為直角三角形，。是邊A3的中點，

CD=5；

【小問2詳解】

解：VAB=10,AC=6,

______3

BC=V102-62=8-sinZABC=cosZA=-)

???VA3C為直角三角形，。是邊A3的中點，

DC=DB=5，

：.ZDCB=ZABC,

3

sinZDCB=sinZABC=

5

:BELCD,

：.ZBEC=90°,

：.sinZDCB=——

CB

24

/.BE=—

5

BE24

cosZDBE=----

BD25

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決

問題.

20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：A：籃球，B-.足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒

乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的

兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)則該班的總?cè)藬?shù)為人，其中學(xué)生選?！坝鹈颉彼谏刃蔚膱A心角的度數(shù)是_____度；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，李老師要從這4人中選2人了解他們對體育

社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率.

【答案】(1)50,72

(2)見解析(3)-

3

【分析】(1)利用“選4籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)生選。“羽

毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以360°,即可求得結(jié)果；

(2)利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得選乒乓球

的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)畫出樹狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種，

再利用概率公式進(jìn)行計算即可.

小問1詳解】

解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：15+30%=50(人)，

學(xué)生選。“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：—X360°=72°,

50

故答案為：50；72；

【小問2詳解】

解：由題意可得：

選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：12%x50=6(人)，

選“E：乒乓球”的學(xué)生人數(shù)為：50-15-9-6-10=10(人)

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下；

人數(shù)

解：畫樹狀圖如下：

開始

AABC

小/N不小

ABCABCAACAAB

共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；

41

選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為

123

【點睛】本題考查用樣本估計總體、畫條形統(tǒng)計圖、求扇形統(tǒng)計圖的圓心角、用列表法或樹狀圖求概率及概率公

式，熟練掌握用列表法或樹狀圖求概率及概率公式是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，AB是。。的直徑，點C在。。上，垂直于過點C的切線，垂足為。.

(1)若/A4D=80°,求的度數(shù)；

(2)如果AD=6,AB=8,求AC的長.

【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出AO//OC,得到NZMC=NOCA,再根據(jù)。4=0C得到/Q4C=

AOCA,可得AC平分/BAD,則可得出答案.

(2)連接BC,得到△AOCS2XACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AC的長.

【詳解】解：(1)如圖，連接OC,

a

A

o

???￡>C切。。于C,

???OC±CF,

???ZADC=ZOCD=90°,

：.AD//OC,

：.ZDAC=ZOCAf

9

：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZDAC=ZOAC,

'：ZBAD=SO°f

11

???ZDAC=-NBAO=—x800=40。；

22

(2)連接5c

???ZACB=90°=ZADC9

9：ZDAC=ZBAC,

：.AADC^AACB,

ACAD

ABAC

9：AD=6,A8=8,

AC6

~AC

：.AC=4j3.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線.

22.如圖，在等邊AA8C中，。為8C邊上一點，E為AC邊上一點，且/AOE=60。.

（1）求證："BDSADCE；

（2）若BD=6,CE=4,求A4BC的邊長.

【答案】（1）見解析；（2）AB=AC=BC^18.

【分析】（1）由NAOE=60。，可證得△ABQs/xocE；

（2）由（1）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得△ABC的邊長.

【詳解】（1）證明：：△ABC是等邊三角形，

.?.NB=NC=60°,

：.ZBAD+ZADB^nO°

:ZADE=60°,

：.ZADB+ZEDC=120°,

：.ZDAB=ZEDC,

又；NB=/C=60。,

：.AABD^ADCE；

（2）解：:LABDsADCE,

.ABBD

"CD-CE)

：8O=6,CE=4,

?AB_6

''AB-6-4'

解得AB=18,

.?.AB=AC=BC=18.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的證明以及性質(zhì)的運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

23.一種竹制躺椅如圖①所示，其側(cè)面示意圖如圖②③所示，這種躺椅可以通過改變支撐桿。的位置來調(diào)節(jié)躺椅

舒適度，假設(shè)A3所在的直線為地面，已知AE=120cm,當(dāng)把圖②中的支撐桿CO調(diào)節(jié)至圖③中的CD'的位置

時，NE4B由20。變?yōu)?5°.

⑴你能求出調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少嗎？(參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,

sin25°?0.42)

(2)已知點。為AE的一個三等分點，根據(jù)人體工程學(xué)，當(dāng)點。到地面的距離為26cm時，人體感覺最舒適.請

你求出此時枕部E到地面的高度.

【答案】(1)調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約9.6cm；

(2)枕部E到地面的高度為78cm

【分析】(1)過點E作石戶，A3,交A8的延長線于點足利用銳角三角函數(shù)，即可求解；

(2)通過解直角三角形可得結(jié)論.

【小問1詳解】

如圖，過點E作叮，A3,交A8的延長線于點冗

當(dāng)NE4B=20°時,

EPEF

sin20°=——=——土0.34

AE120

止匕時EFx40.8(cm).

當(dāng)NE4B=25°時，

EPEF

sin25°=—=——土0.42,

AE120

此時EFx50.4(cm).

所以調(diào)節(jié)后該躺椅的枕部E到地面的高度增加了約50.4-40.8x9.6cm.

【小問2詳解】

因為點。為AE的一個三等分點，

所以AO=40cm.

如圖，過點。作垂足為P.

設(shè)當(dāng)人體感覺最舒適時，NEAB=a,

貝"工軍EF

AO40~AE

26x120

所以砂==78(cm).

40

所以當(dāng)人體感覺最舒適時，枕部E到地面的高度為78cm.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程，正確構(gòu)造直角三角形.

24.如圖，48是（。的直徑，CD是，O的弦，GD馬AB交于點E,CE=ED,延長AB至點R連接。尸，使

得NCDF=2NCAE.

c

（2）已知BE=1，BF=2,求。的半徑長.

【答案】（1）見解析（2）。的半徑長為2

【分析】（1）由垂徑定理可得A5LCD,由余角的性質(zhì)可求NODE=90°,即可求解;

（2）由銳角三角函數(shù)可求NR的度數(shù)和。E的長度，由勾股定理可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接3D,OD,

/CAE=NCDB,NCDF=2/CAE,

ZBDF=/CDB=ZCAE,

CE=DE,AB是直徑，

:.ABLCD,

:.ZOBD+ZCDB=90°.

OB=OD,

:.ZOBD=ZODB,

:.ZODB+ZBDF=90°,

:.ZODF=9Q°,

：.ODLDF,

又,0。是半徑，

.?.D/是「。的切線.

【小問2詳解】

解：如圖，過點3作尸F(xiàn)交DF于點”,

BE=1，BF=2,

.-3,

NCDB=/BDF,BH±DF,BELCD,

:.BE=BH=1,

..sin八也

BF2

/.ZF=30°,

DE

tanF=

EF-V

/.DE=3x，

3

OU=OE2+DE2,

.?.OD2=(OD-1J+3,

OD=2,

.??。的半徑長為2.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識，求出/F的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丁=爐+6*+。的圖象與x軸交于A、B兩點，2點的坐標(biāo)為(3,0),與

y軸交于點C(0,—3),點尸是直線BC下方拋物線上的一個動點.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)連接尸O,PC,并將APOC沿y軸對折，得到四邊形POP'C.是否存在點P,使四邊形POP'C為菱形?

若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)點尸運動到什么位置時，四邊形A8PC的面積最大？求出此時尸點的坐標(biāo)和四邊形A2PC的最大面積.

【答案】(1)3；(2)存在這樣的點，此時尸點的坐標(biāo)為(2±普，(3)尸點的坐標(biāo)為(T，

75

-一15)，四邊形ABPC的面積的最大值為?.

48

【分析】(1)將3、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；

(2)由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形尸。PC為菱形，那么尸點必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出

P點的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出尸點的坐標(biāo)；

(3)由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，ABPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直

線2C于。，交x軸于凡易求得直線BC的解析式，可設(shè)出尸點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式

求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到的長，以PQ為底，8點橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得ABPC的面積，由此可

得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及

對應(yīng)的尸點坐標(biāo).

【詳解】(1)將2、C兩點的坐標(biāo)代入y=x2+6x+c,得

9+3b+c=0[b=-2

解得〈.

c=-3c=-3

???二次函數(shù)的解析式為廣必-2%-3.

(2)存在點P,使四邊形尸。PC為菱形；.

設(shè)P點坐標(biāo)為