河北省九校2025屆高三年級模擬考試數(shù)學試題（含解析）

河北省九校2025屆高三年級模擬考試數(shù)學試題試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合A=Uly=2，-1,xGR},B={x|-2<x<3,x^Z},貝（］403=（）

A.（-1,3］B.［-1,3］C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

2.已知函數(shù)/00=必-以-1,以下結論正確的個數(shù)為（）

①當a=0時，函數(shù)/（X）的圖象的對稱中心為（0,—1）；

②當aN3時，函數(shù)/（元）在（—1,1）上為單調遞減函數(shù)；

③若函數(shù)/Xx）在（—1,1）上不單調，則0<"3；

④當a=12時，/（元）在［Y,5］上的最大值為1.

A.1B.2C.3D.4

22

3.雙曲線C：二—與=1（。>0,b>0）的離心率是3,焦點到漸近線的距離為e，則雙曲線C的焦距為（）

ab

A.3B.3行C.6D.6A/2

4.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析，隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績，

并根據(jù)這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在［250,350］內的學生人數(shù)為（）

A.800B.1000C.1200D.1600

5.已知函數(shù)/（x）=ln%+ax+b的圖象在點（1,〃+力處的切線方程是y=3%-2,則6=（）

A.2B.3C.-2D.-3

6.已知函數(shù)/（x）=Jl；g2x|，x〉°,方程。=。有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝[]“函

x2+2x+2,x<0

數(shù)/（%）=/（%）-履（％e。）有兩個零點”是“左〉,的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.過拋物線丁=4%的焦點P的直線交該拋物線于4,B兩點,。為坐標原點.若=3,則直線A3的斜率為（）

A.±72B.-V2C.2&D.±272

8.已知向量Z，b>B=（i，幣）,且）在B方向上的投影為;，則等于（）

1

A.2B.1C.-D.0

2

9.已知平面向量獲滿足同=2a=1,￡與3的夾角為g，且（￡+4），（25-楊，則實數(shù)X的值為（）

A.-7B.-3C.2D.3

10.已知函數(shù)/（x）=J§'sinx+根cosx,其圖象關于直線x對稱，為了得到函數(shù)g（九）=、3+加2cos2%的圖象,

只需將函數(shù)/Xx）的圖象上的所有點（）

A.先向左平移J個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

O

B.先向右平移兀?個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的1大，縱坐標保持不變

62

C.先向右平移。個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

D.先向左平移￡7T個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的1一，縱坐標保持不變

32

11.下列函數(shù)中，在定義域上單調遞增，且值域為[0,+8）的是（）

A.J=|lg（x+l）|B.y=￡C.y=2*D.y=ln|%|

2

12.若復數(shù)％=「，其中i為虛數(shù)單位，則下列結論正確的是（）

A.z的虛部為一iB.忖=2C.z的共粗復數(shù)為—l—iD.Z?為純虛數(shù)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若/（乃=3以3+（左_2）/_5左+7在（0,2）上單調遞減，則上的取值范圍是

14.古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作

答）

\x^++4|%?0

15.已知函數(shù)/（x）=L,|，--，若函數(shù)y=/（%）—aW恰有4個零點，則實數(shù)"的取值范圍是_______.

2|x-2|,尤>0

412

16.在△ABC中，內角AB,。所對的邊分別是0b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,則。=________.

513

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在等比數(shù)列｛4｝中，已知q=l,。4=1?設數(shù)列｛2｝的前"項和為S"，且仿=T,4+2=—〈Ei

82

（〃22,nGN*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

'b

（2）證明：數(shù)列1是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列｛%｝,使得對任意〃eN*，都有S"<c“<4?若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列｛c“｝；

若不存在，請說明理由.

a2〃y

18.（12分）已知數(shù)列｛可｝的各項都為正數(shù)，q=2,且,=廠+1.

（I）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（II）設々=[坨（1%*],其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如。9]=。，[恒99]=1,求數(shù)列｛〃｝的前2020

項和.

19.（12分）在①a=2,?a=b=2,③b=c=2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求AABC的面積的

值（或最大值）.已知AABC的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,三邊。，b,c與面積S滿足關系式：

4S=b2+c2-a2,且,求△ABC的面積的值（或最大值）.

20.（12分）十八大以來，黨中央提出要在2020年實現(xiàn)全面脫貧，為了實現(xiàn)這一目標，國家對“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合

作醫(yī)療）推出了新政，各級財政提高了對“新農(nóng)合”的補助標準.提高了各項報銷的比例，其中門診報銷比例如下：

表1：新農(nóng)合門診報銷比例

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

門診報銷比例60%40%30%20%

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，李村一個結算年度門診就診人次情況如下:

表2：李村一個結算年度門診就診情況統(tǒng)計表

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

一個結算年度內各門

診就診人次占李村總70%10%15%5%

就診人次的比例

如果一個結算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費用分別為50元、100元、200元、

500元.若李村一個結算年度內去門診就診人次為2000人次.

（I）李村在這個結算年度內去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門診就診的人

次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？

（II）如果將李村這個結算年度內門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個結算年度每人次用于

門診實付費用（報銷后個人應承擔部分）X的分布列與期望.

22

21.（12分）已知橢圓：C:與+4=1（?！?〉0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2/，原點到直線二+；=1的

abab

距離為叵.

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知定點P（0,2）,是否存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,B兩點,且以|AB|為直徑的圓過橢圓。的左

頂點？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

22.（10分）某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班

隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.

Aft

16

142

0一一：|

8

6

4

2

0

高三(1)班高三(2)班口，3)班存三(4)班宓三(5)班班城

□抽取人數(shù)?本科上坡人數(shù)

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.

(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.

(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率(結果精確到0.01)；

(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設該市每個考生本科上線率均為P(O<P<1),若2020屆高考

本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.364=0.0168，0.164-0.0007.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合S再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解::集合A={y|y=2*-1,xG/?)={y|y>-1},

B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

；.AnB={0,1,2,3},

故選：C.

本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題.

2.C

【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)y=d的對稱中心判斷；②利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性；③先求函數(shù)的導數(shù)，若滿足條件,

則極值點必在區(qū)間(-14)；④利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.

【詳解】

①丁=三為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)/Xx)的圖象的對稱中心為(0,-1),正確.

②由題意知/(?=3爐一q.因為當—1<%<1時，3f<3，

Xa>3,所以/'(x)<0在(-LD上恒成立，所以函數(shù)在(-M)上為單調遞減函數(shù)，正確.

③由題意知/'(x)=3f—。，當aWO時，f'(x)>0,此時/'(x)在(—8,+8)上為增函數(shù)，不合題意，故a>0.

令((%)=0,解得％=±叵.因為在(—1,1)上不單調，所以尸(幻=。在(-U)上有解，

3

需0<H<i，解得0<a<3,正確.

3

④令/'(x)=3x2—12=0,得1=±2.根據(jù)函數(shù)的單調性，f(x)在［Y,5］上的最大值只可能為了(一2)或/'(5).

因為"—2)=15,/(5)=64,所以最大值為64,結論錯誤.

故選：C

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎題型.

3.A

【解析】

根據(jù)焦點到漸近線的距離，可得力，然后根據(jù)。2=°2-/4=￡,可得結果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為法士分=0

取右焦點尸(c,0),一條漸近線/:法—ay=。

則點/至!J/的距離為開出==&，由〃+々2=°2

揚+?

所以。=0，則。2—〃=2

2

vcC2c2

又一=3nf=9=>a一=——

aa~9

2

r3

所以c2-----=2=>c=_

92

所以焦距為：2c=3

故選：A

本題考查雙曲線漸近線方程，以及七"c,e之間的關系，識記常用的結論：焦點到漸近線的距離為力，屬基礎題.

4.B

【解析】

由圖可列方程算得。，然后求出成績在［250,350］內的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)x頻率可以求得成績在［250,350］內的

學生人數(shù).

【詳解】

由頻率和為1,得(0.002+0.004+2。+0.002)x50=1,解得a=0.006,

所以成績在［250,350］內的頻率=(0.004+0.006)x50=0.5,

所以成績在［250,350］內的學生人數(shù)=2000x0.5=1000.

故選：B

本題主要考查頻率直方圖的應用，屬基礎題.

5.B

【解析】

根據(jù)/")=3求出a=2,再根據(jù)(1,。+勿也在直線y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【詳解】

因為/'(x)=‘+a,所以尸(1)=3

X

所以1+Q=3,Q=2,

又(l,a+Z?)也在直線y=3%—2上，

所以a+b—1,

解得a=2]=-1,

所以5=3.

故選：B

本題主要考查導數(shù)的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

6.A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有零點轉化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點，利用導數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

°、|logx|,x>0

作出函數(shù)f(x)=?S29I，的圖象如圖，

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xGD)有2個零點，即f(x)=kx有兩個不同的根，

也就是y=kx與y=f(x)在(2,4]上有2個交點，則k的最小值為|；

設過原點的直線與y=log2X的切點為(Xo，log2Xo),斜率為一pw，

XQUI2L

則切線方程為y—log2X=_彳(x—Xo),

x0ln2

把(0,0)代入，可得—log2Xo=———,即X0=e,.?.切線斜率為一L,

ln2eln2

???k的取值范圍是巳二?],

\2eln2;

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有兩個零點”是“k〉g”的充分不必要條件,

本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)

形結合的解題思想方法，訓練了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

7.D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結合|4尸|=3,求出4的坐標，然后求出AF的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點廠(L0),準線方程為I=—1,

設A(x,y),貝11AF|=x+l=3,故x=2,此時y=±2j^,即A(2,±2j^).

則直線AF的斜率k=空亞=±272.

2-1

故選：D.

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

8.B

【解析】

HIa-b

先求出M，再利用投影公式壞求解即可.

【詳解】

解：由已知得W=J幣=2,

1a-b1

由Z在B方向上的投影為一，得無丁=彳，

2\b\2

故答案為：B.

本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.

9.D

【解析】

由已知可得,+悶?(21B)=0,結合向量數(shù)量積的運算律，建立;I方程，求解即可.

【詳解】

-f27r

依題意得2xlxcos——=一1

3

由(￡+碼(2￡-B)=o,得才-序+(2X-i)￡Z=o

即—34+9=0,解得4=3.

故選:。.

本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題.

10.D

【解析】

由函數(shù)/(%)的圖象關于直線x=g對稱，得m=1,進而得/(x)=JGsinx+cosx=2sin1%+f=2cos[x-，再

利用圖像變換求解即可

【詳解】

由函數(shù)/(%)的圖象關于直線x=g對稱，得了6)=,3+療,即|+￡=53+77?,解得m=1,所以

f(x)=73sinx+cosx=2sinj=2cos-yj,g(x)=2cos2x,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點“先

jr1

向左平移1個單位長度，得y=2COSX,再將橫坐標縮短為原來的5,縱坐標保持不變，得g(x)=2cos2x唧可.

故選：D

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題

11.B

【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結果.

【詳解】

對于A,y=1g(x+i)|圖象如下圖所示：

則函數(shù)>=旭5+1)|在定義域上不單調，A錯誤；

1

對于3,y=6的圖象如下圖所示：

則>=?在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8),3正確;

對于C,>=2,的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2,單調遞增，但值域為(0,+。)，C錯誤;

對于。，y=In兇的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=lnN在定義域上不單調，。錯誤.

故選：B.

本題考查函數(shù)單調性和值域的判斷問題，屬于基礎題.

12.D

【解析】

將復數(shù)Z整理為l-z?的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.

【詳解】

_2_2(1-0.

z==

T77(i+o(i-O

Z的虛部為—1,A錯誤；目=&71=四，B錯誤;z=l+i,C錯誤；

z2=(l-i)-=-2i,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項：D

本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共輾復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-oo,l]

【解析】

由題意可得導數(shù)/'(x)<0在(0,2)恒成立，解出即可.

【詳解】

解:由題意，f(x)=kx2+2(k-2)x,

當左40時，顯然/'(幻<0,符合題意；

當左>0時，/'(%)<。在(0,2)恒成立，

r(0)<0,/(2)<0,.-.^G(0,l],

故答案為：.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.

14.1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

點評：本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題，解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景，利用分

步原理正確計數(shù)，本題較抽象，計數(shù)時要考慮周詳.

15.(1,3)

【解析】

函數(shù)y=/(x)—。國恰有4個零點，等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=a國的圖象有四個不同的交點,畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結合思想進行求解即可.

【詳解】

函數(shù)丁=/(%)—。國恰有4個零點，等價于函數(shù)/'(x)與函數(shù)y=的圖象有四個不同的交點,畫出函數(shù)圖象如下圖

所示：

由圖象可知：實數(shù)。的取值范圍是l<a<3.

故答案為：(1,3)

本題考查了己知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想.

56

16.—

39

【解析】

先求得sin8,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得。的值.

【詳解】

由于cosB=3,cosC="，所以sin_B=Jl-cos?B=，,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

4A〈〈A

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=—x----1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b?sinA_65_56

sinAsinBsinB339

5

故答案為：—

39

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內角和

定理，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列｛&｝，其通項公式為％=0,〃eN*滿足題設

【解析】

11Z?

⑴由4=1,g=—可得公比心即得；⑵由（1）和4+勿=—可得數(shù)列也｝的遞推公式，即可知上一2

結果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列｛瓦｝的通項公式，S“=—2（%+i+2+J,設出等差數(shù)列｛%｝,再根據(jù)不

等關系Sn<cn<an來算出｛/｝的首項和公差即可.

【詳解】

（1）設等比數(shù)列｛4｝的公比為4,因為％=1,%=：，所以/=：，解得

882

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為：an=

（2）由（1）得，當〃之2,〃wN*時，可得+〃,=」S“I…①,

n2〃-1

②—①得，,

2+1”,=]

則有小于-即媼-%=1，n>2,〃eN*.

4+1an

bb

因為仇=一1,由①得，%=°，所以二一一L=0—（T）=l,

hb

所以a—j=l,〃eN*.

a

n+ia”

b'

所以數(shù)列是以-1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(3)由(2)吟=〃-2,所以優(yōu)=崇，S“=_2(%M+2+J=_2］?+三］=一/

假設存在等差數(shù)列｛%｝,其通項cn=dn+c,

使得對任意aeN*，都有S”<q<an,

fl1

即對任意“eN*，都有一1W赤+cVcw1.③

22

首先證明滿足③的d=0.若不然，d/0,則d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,則當〃〉----，“eN*時，c=dn+c>1>--=a,

d2"T

這與c“<c”矛盾?

］+c

(ii)若d<0,則當〃〉-----，〃wN*時，c=dn+c<-\.

dn

77+1rjH—1

而S,+「s〃=—羅+舟=甘對，風=凡<邑<……,所以s“2>=—1.

故g=d〃+c<—l<S"，這與S"<g矛盾.所以1=0.

其次證明：當x?7時，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因為r(x)=ln2—工>ln2—工>0,所以/(%)在［7,+8)上單調遞增,

x7

64

所以，當轉7時，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以當〃之7,“eN*時，2"T>"2.

再次證明c=0.

1Yl1

(iii)若c<0時，則當〃之7,n>---,及eN*，S=---->--->c,這與③矛盾.

c2"Tn

(iv)若c>0時，同(i)可得矛盾.所以c=0.

當c"=°時,因為S“=F7W0,4=(；］>0，

所以對任意aeN*，都有S“<c“.所以q,=0,neN*.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列｛cj,其通項公式為g=0,〃eN*滿足題設.

本題考查求等比數(shù)列通項公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學生的分析，推

理能力.

18.(I)an=2"；(II)4953

【解析】

(I)遞推公式變形為24)=0,由數(shù)列是正項數(shù)列，得到a.=24,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通

項公式；

(IDbn=[lg(log2??)]=[Ign]，根據(jù)新定義和對數(shù)的運算分類討論數(shù)列也｝的通項公式，并求前2020項和.

【詳解】

(I)-.,?=妙+1,確]-an+lan-2a：=0,(%+a?)(??+1-2a“)=0

anan+l

又：數(shù)列｛a,,｝的各項都為正數(shù)，，an+l-=0,即。用=2an.

.??數(shù)列｛4｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，...4=2".

0,1<n<10

「,、r1,10<?<100

M=[lg(log2坊=叱的.?=2,10?！?1。。。"N*.

3,1000V“<2020

；?數(shù)列｛2｝的前2020項的和為1x90+2x900+3x1021=4953.

本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式和數(shù)列的前九項和，意在考查轉化與化歸的思想，計算能力，屬于中檔題型.

19.見解析

【解析】

1廿*2_2

若選擇①，結合三角形的面積公式，得4s=4><力八由4=/+/_/,化簡得到sinA=^上￡_^=cosA,則

22bc

tanA-i,又0°vA<180°,從而得到A=45。，

扇22

將。=2代入---------=cosA,得〃+02=yflbc+4.

2bc

又叵bc”=M+c?N2bc，**-Z?C<4+2A/2，當且僅當b=c=44+2五時等號成立.

/.S=-Z?csinA<-x(4+2V2)x—=72+1,

222

故△ABC的面積的最大值為拒+1，此時8=c=“+2小.

若選擇②，。=6=2,結合三角形的面積公式，得4$=4乂二從^114=62+02-42,化簡得到5皿4=3±￡_±=cosA,

22bc

則tanA=l,又0°<A<180。,從而得到A=45。，

則4=6=45°,此時△ABC為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結合三角形的面積公式，得4s=4x《丘sinA=62+c2一/，化簡得到

2

sinA=^-^——=cosA,貝iJtanA=l,又0°vA<180。，從而得到A=45。，則S=—x2x2xsin45。=42.

2bc2

(II)X的發(fā)分布列為:

X2060140400

P0.70.10.150.05

期望E￥=61.

【解析】

(I)由表2可得去各個門診的人次比例可得2000人中各個門診的人數(shù)，即可知道去三甲醫(yī)院的總人數(shù)，又有60歲

所占的百分比可得60歲以上的人數(shù)，進而求出任選2人60歲以上的概率；

(II)由去各門診結算的平均費用及表1所報的百分比可得隨機變量的可能取值，再由概率可得X的分布列，進而求

出概率.

【詳解】

解：(I)由表2可得李村一個結算年度內去門診就診人次為2000人次，分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三

甲醫(yī)院人數(shù)為2000x70%=1400,2000x10%=200,2000xl5%=300,2000x5%=100,

而三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%,所以去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人數(shù)為:

100x80%=80人，

「2Q1Z-

設從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為A,則尸(A)=/=心；

doo4”?

(II)由題意可得隨機變量X的可能取值為：50-50x0.6=20,100-100x0.4=60,200-200x0.3=140,

500-500x0.2=400,

p(X=20)=0.7,尸(X=60)=0.1,P(X=140)=0.15,P(X=400)=0.05,

所以X的發(fā)分布列為：

X2060140400

P0.70.10.150.05

所以可得期望EX=20*0.7+60x0.1+140x0.15+400x0.05=61.

本題主要考查互斥事件、隨機事件的概率計算公式、分布列及其數(shù)學期望、組合計算公式，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

21.(1)—+—=1；(2)存在，且方程為y=2,x+2或y=x+2.

535-5

【解析】

（1）依題意列出關于a,b