福建省福州市倉山區(qū)某中學2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題（含答案）

福建省福州市倉山區(qū)時代華威中學2024-2025學年九年級上

學期數(shù)學開學考試模擬試卷

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.下面的點中，在函數(shù)V=2x+3的圖像上的是（）

A.（-2,1）B.（O,2）C.。，3）D.（-U）

2.如圖，下列條件中，不能判定四邊形N5CD是平行四邊形的是（）

A.ZA=NC,ZB=ZDB.AB=CD,AD//BC

C.AB=CD,AD=BCD.Z^+ZS=180°,ZS+ZC=180°

3.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植

的雜交水稻苗的長勢，從稻田中隨機抽取7株水稻苗，測得苗高（單位：cm）分別是23,

24,23,25,26,23,25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

4.如圖，在△/BC中，ZC=90°,AB=\0.若以點C為圓心，C4長為半徑的圓恰好經(jīng)過

4B的中點。，則。C的半徑為（）

5.如圖，將△NBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)66。，得到△/〃后,若點。在線段的延長線上，則

的大小是（）

試卷第1頁，共6頁

A.53°B.55°C.57°D.58°

6.如圖，△/2C頂點/、B、C均在。。上,ZBAC+ZBOC=^°,貝!]/20C為()

A.56°B.60°C.62°D.28°

7.拋物線y=-(x+2『-3的頂點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為

主要表現(xiàn).在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，則每輪傳染平均一

個人傳染x人，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人感染了“甲流”.則關于x的方程為()

A.x+x(x+1)=256B.x2+x=256

C.l+x+x(x+l)=256D.(x+l)+(x+l)2=256

9.一次函數(shù)＞=ax+b的圖象如圖所示，則二次函數(shù)＞=41+為的圖象大致是()

試卷第2頁，共6頁

D./

10.已知函數(shù)y=a/+2ax+l在-34x42上有最大值9,則常數(shù)a的值是（）

o8

A.1B.-C.一或-8D.1或-8

33

二.填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）

11.將拋物線＞=/+1先向右平移6個單位長度，再向下平移8個單位長度，平移后的拋物

線的解析式為.

12.已知一元二次方程f-5x+機=0的一個根為玉=1,則另一個根無2的值為.

13.若點4（1-3加,2）與點8（5,2〃+4）關于原點對稱，則機-〃=

14.設二次函數(shù)y-ax?+6x+c（a,b,c是常數(shù)，且awO）,如表，列出了x與y的部分對

15.如圖，在墻壁中埋著一個未知半徑的圓柱形木材，現(xiàn)用鋸子去鋸這個木材，鋸口深

CD=4cm,鋸道48=16cm,則這根圓柱形木材的半徑是cm.

16.如圖，拋物線y=；x2-4x+6與夕軸交于點，，與x軸交于點8,線段CD在拋物線的

對稱軸上移動（點。在點。下方），且8=3.當NQ+8C的值最小時，點C的坐標

為.

試卷第3頁，共6頁

▲

\K/

\\/f\：/

三.解答題(共9小題，滿分86分)

17.解一元二次方程：

(1)2X2-3X-1=0

(2)(x+l)(x—2)=4

18.已知一次函數(shù)＞=丘+6的圖象經(jīng)過點(-1，1)和點。，-5).

⑴求一次函數(shù)的表達式.

(2)求一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標.

19.如圖，4、B、C、。是。。上的四點，AB=DC.求證：AC=BD.

20.如圖，在平面直角坐標系中，己知ZUBC的三個頂點坐標分別是^(-4,-1),

C(-3,-3).

試卷第4頁，共6頁

(1)將AABC向上平移5個單位后得到△44G,請畫出△40G

(2)將AABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△4與。2，請畫出"BG；

⑶判斷以。，4，B為頂點的三角形的形狀.(無須說明理由)

21.如圖，在平行四邊形4BCD中，過點。作?！?/2于點E,點尸在邊CD上，DF=BE,

連接NRBF.

(1)求證：四邊形3FDE是矩形；

(2)若AF平分4D4B,CF=3,BF=4,求。廠長.

22.關于x的一元二次方程x?-2(僅+1)尤+%2+2=0.

(1)若方程總有兩個實數(shù)根，求心的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，若兩個實數(shù)根X],X2滿足玉+無2=再無2，求加的值.

23.經(jīng)營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單

價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，設該種品牌

玩具的銷售單價為x元(x>40),銷售量為了(件)，銷售該品牌玩具獲得利潤為w元.

(1)銷售量為歹與x關系式為「

試卷第5頁，共6頁

(2)若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應定為多少元；

(3)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元,且商場要完成不少于540件的銷售任務,

求該商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？

24.如圖1,在中，4=90。，AB=AC,點、D、E分別在邊/8、AC±,

AD=AE,連接。C,點M、P、N分別為DC、8c的中點.

⑴觀察猜想：圖1中，線段尸M與PN的數(shù)量關系是位置關系是_；

⑵探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接兒W,BD,CE,判斷

APMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把△/￡>￡繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若/。=2,48=4,直接寫出APMN面

積的最大值.

25.如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ox2+6x+4的對稱軸是直線x=l,拋物線

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1所示，尸是第一象限拋物線上的一個動點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點，

連接C。、CP、PB.求四邊形尸CD8的面積的最大值，并求出此時點P的坐標；

⑶如圖2所示，在(2)的條件下，點M是直線8c上一點，當APOM是以。尸為腰的等腰

三角形時，請直接寫出點M的坐標.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】本題考查了求一次函數(shù)的函數(shù)值.熟練掌握一次函數(shù)的函數(shù)值的求解是解題的關

鍵.

分別將各選項的點坐標代入，然后判斷作答即可.

【詳解】解：當x=-2時，y=2x(-2)+3=-l,則(-2,1)不在函數(shù)y=2x+3的圖像上，故A

不符合要求；

當x=0時，＞=2x0+3=3,貝iJ(O,2)不在函數(shù)y=2x+3的圖像上，故B不符合要求；

當x=l時，y=2xl+3=5,則(1,3)不在函數(shù)y=2x+3的圖像上，故C不符合要求；

當x=-l時，尸2x(-1)+3=1,貝在函數(shù)y=2x+3的圖像上，故D符合要求；

故選：D.

2.B

【分析】本題考查平行四邊形的判定定理，平行線的判定等知識，由題中四個選項，結合平

行四邊形的判定定理逐項驗證即可得到答案,熟記平行四邊形的判定定理是解決問題的關鍵.

【詳解】解：A,-：AA=AC,NB=ND,

二四邊形A8CD是平行四邊形，該選項不符合題意；

B、由平行四邊形的判定定理，AB=CD,AD//BC,無法確定四邊形/BCD是平行四邊形,

選項符合題意；

C、由平行四邊形的判定定理，AB=CD,AD=BC,確定四邊形/BCD是平行四邊形，選項

不符合題意；

D、???Zyl+ZS=180°,Z5+ZC=180°,

AD//BC,AB//CD,

四邊形/BCD是平行四邊形，該選項不符合題意；

故選：B.

3.C

【分析】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)，掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義是正確解答的關鍵.根據(jù)眾數(shù)、

中位數(shù)的定義進行解答即可.

【詳解】這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是23,因此眾數(shù)是23,

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，處在中間位置的一個數(shù)是24,由此中位數(shù)是24.

答案第1頁，共17頁

故選c.

4.D

【分析】連接。，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得解.

【詳解】解：連接CD,

???zc=90°,48=10,。為48的中點，

.-.CD=-AB=5,

2

??.OC的半徑為：5；

故選D.

【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半，是解題的關鍵.

5.C

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識,

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=4840=66°,然后根據(jù)

等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)，結合三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：：將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)66。，得到

AB=AD,ABAD=66°,

NB=ZABD=1(180°-ABAD}=1(180°-66°)=57°.

故選：C.

6.A

【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求解.

【詳解】解：由圓周角定理可知：ZBAC=^ZBOC,

VZBAC+ZBOC=SA0,

13

-ZBOC+ZBOC=-ZBOC=84°,

22

解得/BOC=56。，

故選A.

7.C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定拋物線的頂點是解此題的關鍵.先確定拋物

線的頂點，再確定點的位置.

答案第2頁，共17頁

【詳解】解：拋物線y=-(x+2『-3的頂點是(-2,-3),

故頂點在第三象限，

故選：C.

8.C

【分析】本題考查一元二次方程的應用，根據(jù)題意,第一輪傳染了x人,第二輪傳染了x(x+l)

人，根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳染后共有256人感染”列方程求解即可.

【詳解】解：設每輪傳染平均一個人傳染x人，

根據(jù)題意，得l+x+x(x+l)=256,

故選：C.

9.D

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象綜合判斷，正確確定。，6的符號是

解題關鍵.直接利用一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出。，6的符號，進而結合二次函數(shù)圖象的

性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：,??一次函數(shù)>="+6的圖象經(jīng)過一、三、四象限，

：.a>0,b<Q,

--—>0,

2a

，二次函數(shù)y=ax2+fcc的圖象開口方向向上，圖象經(jīng)過原點，對稱軸在N軸右側，

故選：D.

10.D

【分析】由解析式可確定拋物線對稱軸x=-l,對參數(shù)取值分類討論，開口向上或開口向下,

分別在自變量取值范圍內(nèi)確定極值列方程求解.

【詳解】解：???二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a/+2ax+l,

???二次函數(shù)對稱軸為x=-l.

①當a<0時，二次函數(shù)開口向下，x=T時，函數(shù)有最大值9.

-'-a—2a+l—9,解得a=—8.

②當。>0時，二次函數(shù)開口向上，在-34x42上有最大值9,

.,.當x=2時，函數(shù)最大值為9,即4a+4a+l=9,解得a=l.

綜上分析，。的值為-8或1.

答案第3頁，共17頁

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，注意根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)對待定參數(shù)分類討論是解題的關

鍵.

11.y=(x-6)2-7

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律

“左加右減，上加下減”.

根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得.

【詳解】解：將拋物線y=/+l先向右平移6個單位長度，再向下平移8個單位長度后，所

得的拋物線的解析式為y=(x-6)2+l-8,

y=(x-6)~-7,

故答案為：y=(x-6)2-7.

12.4

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系：若毛,%是一元二次方程辦2+云+。=0(。*0)的兩

bc

根時，Xj+x=——,王迎=—.先把國=1代入方程，-5%+優(yōu)=0中，得出關于加的方程求

2aa

出機的值，然后再根據(jù)根與系數(shù)的關系得出另一個根赴的值.

【詳解】解：把網(wǎng)=1代入方程/一5x+機=0中，

得：l2-5xl+m=0,

解得m=4,

???方程化為5%+4=0,

，玉+%=5,

/.1+x2=5,

解得：x2=4,

故答案為：4.

13.5

【分析】本題考查關于原點對稱的點的坐標特征，根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征列方

程求出，冽，〃的值，然后在代入代數(shù)式求值即可.

答案第4頁，共17頁

【詳解】解：,??點/(1-3私2)與點8(5,2〃+4)關于原點對稱，

*1*1—3m=—5,2〃+4=-2,

解得：m=2,力=-3,

m—n=2—(—3)=5,

故答案為：5.

14.X]=0,x?=2

【分析】利用中對應值可判斷點(-2,-1.5)與點(4,-1.5)為二次函數(shù)圖象上的對稱點，從

而得到拋物線的對稱軸為直線x=l,然后利用拋物線的對稱性得到加=2.5,所以方程

1

ax+bx+c-m的解為占=0,x2=2.

【詳解】解：由表中對應值得二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(-2,-1.5)和(4,-1.5),

.,.點(-2,-1.5)與點(4,-1.5)為二次函數(shù)圖象上的對稱點，

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

?點(0,2.5)與(2,2.5)關于直線尤=1對稱,

即x=2時，y=2.5,

■■■m=2.5,

2

二方程ax+bx+c=m的解為再=0,x2=2.

故答案為：再=0,x2=2,

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=?x2+"+c(a,6,c是常數(shù)，

a^O)與X軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性

質(zhì).

15.10

【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用.設圓心為O,連接依題得,

。為的中點，則三點共線，OD1AB,設圓的半徑為x,由CD=4,則

OD^x-4,再用勾股定理列出等量關系求解即可.

【詳解】解：如圖，設圓心為。，連接04。。，

答案第5頁，共17頁

依題得，。為48的中點

則O,D,C三點共線，OD—B

設圓的半徑為x,由。=4,則QD=x-4

???/2=16

4D=、4B=8

2

在中，由勾股定理得

(X-4)2+82=/

解得尤=10.

故答案為：10.

16.(4,1)

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解

析式，兩點之間線段最短等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造平行四邊形是解題的關

鍵.

先將拋物線化為頂點式，可得該拋物線的對稱軸是X=4；然后求出拋物線與V軸、X軸的交

點，即點A、點5、點尸；在y軸上取點E(o,3),連接CE,CF,EF,證明四邊形/ECD

是平行四邊形；當E、C、下三點共線時，/O+8C最小，求得直線所解析式：最后直線昉

經(jīng)過對稱軸x=4,代入即可得到答案.

11

【詳解】解：y=-x2-4x+6=-(x-4)-9-2,

???對稱軸為x=4,

如圖，設拋物線與x軸另一個交點為足

答案第6頁，共17頁

▲

--YA

0\：/F

當X=O時，y=6,

.“（0,6）,

當y=0時，0=4工2一4%+6,

2

=

解得玉=2,x26,

.-.5（2,0）,尸（6,0）,

在歹軸上取點￡（0,3）,連接CE,CF,EF,

AE=3=CD,

vCD//AE,

???四邊形AECD是平行四邊形，

AD=CE,

,?,拋物線對稱軸為％=4,

BC=CF,

AD+BC=CE+CF>EF,

當E、C、/三點共線時，ZO+5C最小，

設直線EF解析式為y=kx+b,

]6左+b=0

'Ib=3'

k=--

解得2,

b=3

1「

???y=——x+3,

2

當％=4時，y=——x4+3=1,

2

.,?當4D+BC最小時，C的坐標為（4,1）.

答案第7頁，共17頁

故答案為：(4,1).

17/1、3+VlV3—y/17

17.(1)%=--—,%=---；

⑵無1=3,X2=-2

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法和因式分解法是解題的關鍵.

(1)用公式法求解；

(2)因式分解法求解.

【詳解】(1)解：A=/)2-4flc=9+8=17,

3±V17

：?x=---------,

4

?,?原方程的解為：x1=3+^~^,x=-一^!12_,

1424

(2)解：(x+l)(x-2)=4

x2—x—2—4=0

x2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0,

???工一3=0或％+2=0,

解得x=3或x=-2,

?,?原方程的解為：玉=3,工2=-2.

18.(l)y=-3x-2

【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與x軸的交點坐標:

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)求出當歹=。時x的值即可得到答案.

一女+6=1

【詳解】(1)解：把(-M)和(L-5)代入片去+b中得

k+b=-5

k=-3

解得

b=-2

答案第8頁，共17頁

???一次函數(shù)的表達式為y=-3x-2.

(2)解：在＞=—3x—2中，當歹時，貝。一3%—2=0,

2

解得片-丁

???一次函數(shù)的圖象與X軸的交點坐標為，.

19.見解析

【分析】根據(jù)/8=DC,得出荔=也，求出就=麗，即可證明結論.

【詳解】證明：???48=。。，

■■AB=CD^

■■AB+BC=BC+Cb，

即元=訪，

AC=BD.

【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角之間的關系，解題的關鍵是熟練掌握三個量關系定

理.

20.⑴見解析

(2)見解析

(3)等腰直角三角形

【分析】(1)分別作出/,B,C的對應點出，Bj,G,再連接即可.

(2)分別作出/,B,C的對應點出，B2,G即可.

(3)分別計算出04,08,48的長度，運用勾股定理逆定理進行判斷即可.

【詳解】(1)如圖，△44C即為所求作；

答案第9頁，共17頁

理由：???(942=12+42=17,052=12+42=17,4必=32+52=34,

22

.-.OA^+OB^AXB,A。=BO,

...ZUQB是等腰直角三角形.

【點睛】本題考查作圖-中心對稱變換，平移變換，等腰直角三角的判斷，解題的關鍵是熟

練掌握基本知識.

21.(1)見詳解；(2)5

【分析】(1)先求出四邊形8EDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出2c長，求出4D=D尸，即可得出答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.ABWDC,

?；DF=BE,

.?.四邊形BFDE是平行四邊形,

'.'DE1AB,

；/DEB=90。,

???四邊形8EDE是矩形；

(2)解：?四邊形2EDE是矩形，

答案第10頁，共17頁

；ZBFD=9O。,

：/BFC=9。。,

在EdBC/中，CF=3,BF=4,

??.5C=5,

??//平分

^Z.DAF=Z-BAF,

-ABWC,

：.ZJ)FA=LBAF,

???乙DAF=LDFA,

：.AD=DF,

?:AD=BC,

：.DF=BC,

:?DF=5.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

22.(l)w>|

(2)加=2

【分析】本題考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關系，解題關鍵是將熟練掌握一元

二次方程的判別式與根的關系及兩根之積與兩根之和.

(1)由方程求出判別式A20即可.

(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關系，用含機代數(shù)式表示兩根之和及兩根之積，進而求

解.

22

【詳解】(1)解：A=[-2(7H+l)]-4(m+2)=8W7-4,

???方程總有兩個實數(shù)根，

8m-4>0,

/.m>—.

2

(2)由玉+%=玉%2'

答案第11頁，共17頁

2

vxx+x2=2(m+1),xxx2=m+2,

???2(m+1)=m2+2,

整理得m2-2m=0，

解得g=0或加2=2,

1

2

/.m=2.

23.(1)^=1000-10%

(2)50元或80元

(3)8640元

【分析】(1)根據(jù)銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，可知銷售單價為x元時，就

會少售出10(x-40)件玩具，進而表示出銷量即可；

(2)結合(1)以及獲得了10000元銷售利潤可得方程(》-30乂1000-10x)=10000,解方程

即可；

(3)B^W=(X-30)(1000-10^)=-10X2+1300X-30000,結合二次函數(shù)的性質(zhì)分析，即可

解答.

【詳解】(1)解：根據(jù)銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，

可知銷售單價為x元時，就會少售出10"-40)件玩具，

貝IJ銷量為丁=600—10(x-40)=1000-10x,

故答案為：y=1000-10x;

(2)依題意得：(x-30)(1000-10x)=10000,

化簡得：x2-130x+4000=0,

(x-"50)(x-80)=0,

**(X]—50,%?=80,

vx>40,

銷售價應定為50元或80元

答案第12頁，共17頁

(3)???該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務

J1000-10x>540

二解得：44<x<46,

WW=(X-30)(1000-10X)=-10X2+1300X-30000,

,?,Q=-10<0,

???開口向下，有最大值,

1300

=65,

2x(-10)

.?.當44VxV46時，w隨x的增大而增大

x=46時，w最大

...%1ax=(46-30)(1000-460)=8640元

答：該商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是8640元

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是

熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用二次函數(shù)最值求解.

24.Q)PM=PN,PM1PN

(2)APMN是等腰直角三角形

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得8。，PN=^BD,PM//CE,PM=；CE,

從而得出尸M=PN,PM1PN-

(2)首先利用SAS證明△48。之得ZABD=N4CE,BD=CE,再由(I)同理說

明結論成立；

(3)先判斷出九W最大時，APMN的面積最大，進而求出/N,AM,即可得出MN最大

=AM+AN,最后用面積公式即可得出結論.

【詳解】(1)解：..?點尸，N是BC,CD的中點，

:.PN\\BD,PN=-BD,

2

???點P,M是CD,DE的中點，

答案第13頁，共17頁

PM||CE,PM=-CE,

2

vAB=AC,AD=AE,

BD=CE,

:.PM=PN,

???PN\\BD,

/DPN=/ADC,

???PM||CE,

ZDPM=/DCA,

???ZBAC=90°f

ZADC+ZACD=90°,

/MPN=ZDPM+ZDPN=/DCA+ZADC=90°,

PMLPN,

故答案為：PM=PN,PMVPN?

（2）解：是等腰直角三角形.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，/BAD=/CAE,

VAB=AC,AD=AE,

/△ZCE（SAS）,

ZABD=ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位線得，PN=；BD,PM=gcE,

PM=PN,

.?.△PW是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

ZDPM=ZDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

乙PNC=ZDBC,

???/DPN=ZDCB+APNC=ZDCB+ZDBC,

/MPN=ZDPM+NDPN=ZDCE+/DCB+ZDBC=NBCE+ZDBC=NACB+NACE+ZDBC=NACB+/ABD+ZDBC=N

???ABAC=90°,

答案第14頁，共17頁

.-.ZACB+ZABC=90°,

ZMPN=90°,

:ZMN是等腰直角三角形；

(3)解：如圖，同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形，連接

■:MN<AM+AN,

當點三點共線時，MN最大,

.〔MN最大時，APAW的面積最大,

MN最大=AM+AN,

在△/￡>￡中，AD=AE=2,NDAE=9Q°,

???由勾股定理得：DE=42AD=2>/2