【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題16 類比歸納專題：切線證明的常用方法之二大類型（解析版）

專題16類比歸納專題：切線證明的常用方法之二大類型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】 1【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】 16【典型例題】【類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直】例題：（2023上·云南昭通·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，是的切線，連接，過作交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查圓切線的判定與性質(zhì)（1）連接，利用求證即可求證即得證；（2）通過勾股定理,再通過勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：證明：如圖，連接OD∵∴，∵∴∴在與中∴(SAS)∴∵AC是切線．∴∴∵點(diǎn)D在上，OD為半徑，且∴CE是的切線（2）解：∵CE是的切線∴設(shè)半徑為，在Rt中，，由勾股定理得：∵，∴解得：∵∴設(shè)，在Rt中，，由勾股定理得：∴解得：∴CD的長(zhǎng)為6【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等腰中，以為直徑的與、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、，垂直于．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，首先得到是等腰三角形，然后結(jié)合，證明，進(jìn)而得到，即可證明出是的切線；（2）連接，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，得到，代入求出，然后證明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵，∴是等腰三角形，，∵，∴，∴，∴，而，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵為的直徑，∴，，∴，如圖所示，連接，∵，，，∴，∵∴∵，∴∴∵∴∴，即解得，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴∵∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)和判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知中，，以為直徑的圓交于，交于．(1)若，求證：為的切線．(2)若為的切線，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖：連接、，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，由圓周角定理可得，再解直角三角形可得，運(yùn)用勾股定理可得;再運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得、，進(jìn)而得到，任何根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即；最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：如圖：連接，，∵為圓直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴為的切線．（2）解：如圖：連接，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的證明、切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖北荊門·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)O在上，以為半徑的半圓O交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，且．(1)求證：是半圓O的切線；(2)若，，，求半圓O的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)半圓O的半徑長(zhǎng)為【分析】本題考查了切線的判定“經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線”和勾股定理“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，易得，根據(jù)，得出，則，即可求證；（2）連接，易得，設(shè)半圓O的半徑長(zhǎng)為r，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，則，求解即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是半圓O的切線；（2）解：連接，∵，，∴，設(shè)半圓O的半徑長(zhǎng)為r，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，解得：，即半圓O的半徑長(zhǎng)為．4．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)E，平分，過點(diǎn)E作于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接，證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)先求出半徑和的長(zhǎng)，然后證明，，進(jìn)而根據(jù)線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）（1）證明：如圖，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．5．（2023上·廣東中山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，是的外接圓．

(1)求證：是的切線；(2)過點(diǎn)作，垂足為，求證：；(3)若，，求長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)：（1）連接，由于的平分線交于點(diǎn)，則有；而，就有，等量代換有，可得；又，所以，即可得到結(jié)論；（2）連接．證明，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出；（3）由（2）中．又，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，證明，則，代入數(shù)值計(jì)算即可得到答案；【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）如圖，連接．

∵，∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．（3）由（2）得．又∴，在中，，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．6．（2023上·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，，與相交于點(diǎn)E，D是的中點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線．(2)已知，當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，的長(zhǎng)也隨之變化．①當(dāng)時(shí)，②在整個(gè)變化過程中，的長(zhǎng)是否存在最大值？判斷并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)①或；②不存在最大值，理由見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，由余角的性質(zhì)可求，可得結(jié)論；（2）①通過證明，可得，通過證明，可得即可求解；②利用①中結(jié)論得出和的關(guān)系，可判斷的長(zhǎng)度的變化．【詳解】（1）證明：連接，．

∵是的直徑，∴．∴．∵D是的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．又點(diǎn)E在上，∴是的切線．（2）①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，如圖1，∵，，∴，，∴，即；如圖2，

∵，，∴，，∴，即；②AF不存在最大值，理由如下：如圖1，設(shè)，，∴，∴，整理得，，當(dāng)x無(wú)限接近4時(shí)，y的值無(wú)限大，即當(dāng)和接近平行時(shí)，此時(shí)無(wú)限大．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【類型二無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑】例題：（2022春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第八十九中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【答案】證明過程見解析；【分析】題目并沒有說(shuō)明直線與有沒有交點(diǎn)，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，然后證明即可．【詳解】證明：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

是的角平分線，，，，是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定知識(shí)．結(jié)合角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，以矩形的邊為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)：熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)O作，垂足為M，根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求證結(jié)論；（2）設(shè)，利用矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)可得，，再利用勾股定理即可求解；【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作，垂足為M，如圖：

在矩形中，，，平分，，，即是的半徑，是的切線．（2）設(shè)，在矩形中，，，，，，在和中，，，在和中，，，，在中，，得，解得：，．2．（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的角平分線，點(diǎn)O是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)E、F．

(1)求證：是的切線；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵；（1）連接，過點(diǎn)作于，先根據(jù)切線的性質(zhì)得，再由角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論；（2）由得，根據(jù)角平分線的定義得，再由得，然后根據(jù)求出，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】（1）連接，過O作于N．

∵與相切于M，∴．∵是的角平分線，，，∴半徑．∴是的切線．（2）∵，∴．∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴．∵，∴，，∴，∴．3．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，勾股定理求出，連接，過O作于點(diǎn)H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵與相切于點(diǎn)D．∴，∵是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，即是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∵∴，在中，連接，過O作于點(diǎn)H，∴，∴∵，∴．

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是的直徑，，分別切于點(diǎn)，，交，于點(diǎn)，，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)由切于點(diǎn)可得，再根據(jù)角平分線定理得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）過作于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則得到四邊形為矩形，得到，所以，再利用切線長(zhǎng)定理得，，所以，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，所以，然后中，利用勾股定理可計(jì)算出．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，切于點(diǎn)，，平分，，為的半徑，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過作于，，是的直徑，，分別切于點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，，，，，為的切線，，，在中，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理．5．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若的半徑為，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)答案見