2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：特殊的平行四邊形

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編特殊的平行四邊形一、填空題1．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，正方形，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)到直線的距離為3，點(diǎn)到直線的距離為2，則正方形的邊長(zhǎng)為________．

二、解答題2．（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖，直線，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接，以為圓心長(zhǎng)為半徑畫弧，在點(diǎn)的右側(cè)交直線于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形，判斷四邊形的形狀；(2)證明（1）中的結(jié)論．3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得．連接，．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求證：四邊形為矩形．4．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)O為的對(duì)角線的中點(diǎn)，直線l繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，與邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的面積．5．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，線段a，b．求作：矩形ABCD，使得，．

作法：如圖2．

1．在直線上截?。?．過點(diǎn)B作直線，在直線m上截?。?．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，b，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)為D．(點(diǎn)D與點(diǎn)C在直線的同側(cè))4．連接．則四邊形為所求的矩形．根據(jù)上面設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖2中補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明：證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(___________)．(填推理的依據(jù))∵直線，∴___________，∴四邊形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依據(jù))．6．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，連接．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．7．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．8．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是過點(diǎn)作的平行線與過點(diǎn)作的垂線（垂足為）的交點(diǎn).(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，求證：四邊形是矩形.

參考答案1．【分析】過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，則，，證明，則，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，

過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．(1)四邊形EFGM為菱形；(2)見解析．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖即可；（2）由題意可得，平分，再根據(jù)證明角相等，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即得，進(jìn)而通過鄰邊相等的平行四邊形證明即可．【詳解】（1）如圖，

猜想：四邊形為菱形．（2）解：由作圖可知：，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，

∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、菱形的判定和平行線性質(zhì)，解此題關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．3．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明為的中位線，則，且，又，則，即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)已知的，可得，則四邊形是菱形，可得，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證．【詳解】（1）證明：∵平行四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，∴，又，∴為的中位線，∴，且，又為的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)證明得再證明四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形進(jìn)行證明即可；（2）過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求出，再根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵O為的中點(diǎn)，∴在和中，，∴∴∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形，（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，

∴°，∵四邊形是菱形，∵，∴，∴，∵，∴，∴的面積【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)和以及菱形面積求法等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】（1）按照步驟操作即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理推導(dǎo)，填空即可.【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：

（2）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．∵直線，∴，∴四邊形ABCD是矩形(有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形)．故答案是：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及菱形的性質(zhì)得到點(diǎn)是的中點(diǎn)即可解答；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最后利用四邊形的內(nèi)角和及切線的判定即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴；

（2）解：連接，

∵四邊形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴在四邊形中，，∴，∴，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角所對(duì)的圓周角是，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，對(duì)邊平行可得，再證明出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得，從而得證；（2）如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，欲求，只需在直角中求得的值即可．結(jié)合三角形中位線求得，結(jié)合矩形、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求得即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2）如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，

∵四邊形是矩形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴∴∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴又∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．在中，由勾股定理可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）先證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可證四邊形是矩