2024-2025學(xué)年北京市某中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合A-{-1,0,1},集合B={xGZ|x2-2x<0},那么4UB等于()

A.{-1}B.{0,1}C.[0,1,2}D.[-1,0,1,2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(2—i)z=2+i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.設(shè)a,瓦ceR,且b>c,下列不等式恒成立的是()

A,a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.a2b>a2c

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-In%B./(x)=—C./(x)=--D.f(x)=3|x-11

5.若圓％2+8%+y2-6y+6=o與久軸，y軸均有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-00,9]B.(-00,16]C.[9,25)D.[16,25)

6.已知拋物線第2=4y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)/在拋物線上，四|=6,則線段”的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()

57

A.-B.-C.3D.4

7.在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),貝此。=()

A.?B.?C.胡D.警

o336

8.已知a,06R.則“a=0+kn,kGZ"是"sin2a=sin2￡”的()

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.隨著新一代人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和突破，以深度學(xué)習(xí)計(jì)算模式為主的4算力需求呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).現(xiàn)有

一臺(tái)計(jì)算機(jī)每秒能進(jìn)行)X1015次運(yùn)算，用它處理一段自然語(yǔ)言的翻譯，需要進(jìn)行2128次運(yùn)算，那么處理

這段自然語(yǔ)言的翻譯所需時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2?0,301,100-431?2.698)()

A.2.698x1022秒B2.698x1()23秒c2.698X1()24秒D2.698X1()25秒

10.一組學(xué)生站成一排,若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這

組學(xué)生人數(shù)的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

第1頁(yè)，共13頁(yè)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(一2,0)和(2,0),離心率為的，則C的方程為.

12.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)48,&。滿足.|祠=|麗|=|可，若而=*卷+而)，貝山福硝

13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中提到了一種名為“芻薨［c/nhn加0”的五面體

(如下圖)，四邊形力BCD為矩形，棱EF〃4B.若此幾何體中，AB=6,EF=2,-4DE和人BCF者B是邊長(zhǎng)為4

的等邊三角形，則此幾何體的體積為.

①當(dāng)a=0時(shí)，/0)的值域?yàn)椋?/p>

②若關(guān)于久的方程/(-X)=/(久)恰有5個(gè)不同的實(shí)根，貝加的取值范圍是.

2n

15.已知數(shù)列｛an｝滿足的=a,an+i=J泊+(=1,2,3,…)，貝ij

①當(dāng)a=—1時(shí)，存在keN*,使得以=2：

②當(dāng)a=1時(shí)，｛&J為遞增數(shù)列，且an<2恒成立;

③存在a6R,使得｛斯｝中既有最大值，又有最小值；

④對(duì)任意的aeR,存在的6N*,當(dāng)n>rio時(shí)，|an—2|〈/恒成立.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=Asin(2a%+^)-2sin2(tox-^),其中4eR,a)>0.請(qǐng)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)

條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)/(%)存在且唯一確定，并解答下列問(wèn)題.

條件①：f(0)=|；

條件②：/(X)最大值為避-1；

條件③：/⑺在區(qū)間［砌上單調(diào)，且b-a最大值為全

(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心；

第2頁(yè)，共13頁(yè)

(2)若方程f(x)=寺在區(qū)間(0,m)內(nèi)有且僅有1個(gè)實(shí)根，求小的取值范圍.

17.(本小題12分)

在四棱錐P-4BCD中，E,F分別為4&PB的中點(diǎn)，PA1平面ABCD,BC1PC.

H

⑴若DE〃平面PBC,求證：AD=DC；

Q)若AC=BC=2,直線BC與平面2FC所成的角為45。，求P2的長(zhǎng).

18.(本小題12分)

某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的科普學(xué)習(xí)任務(wù)，并通過(guò)科普測(cè)試獲得相應(yīng)科

普過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取60名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)(百分制，且均為整數(shù))及相應(yīng)過(guò)程性積分

數(shù)據(jù)，整理如下表：

科普測(cè)試成績(jī)X科普過(guò)程性積分人數(shù)

90<x<100320

75<%<90210

60<%<75115

0<%<60015

用頻率估計(jì)概率.

(1)從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生科普過(guò)程性積分不低于2分的概率；

(2)從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，估計(jì)這三名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和恰好為6分的概率；

(3)從該?？破者^(guò)程性積分不低于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，記這兩名學(xué)生科普過(guò)程性積分之差的絕

對(duì)值不超過(guò)1的概率估計(jì)值記為P1，這兩名學(xué)生科普過(guò)程性積分之差的絕對(duì)值不低于1的概率估計(jì)值記為

P2，試判斷P1和P2的大小(結(jié)論不要求證明).

19.(本小題12分)

已知橢圓嗒+:=l(a>b>0)的離心率為號(hào)左、右頂點(diǎn)分別為.上、下頂點(diǎn)分別為當(dāng)且，且△

4止止2面積為2.

第3頁(yè)，共13頁(yè)

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合)，直線BiP與x軸交于點(diǎn)M,直線4止、BiP分別與直線42*82交于點(diǎn)

N、D,求證：-41。%與，&。用的面積相等.

20.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=。一砌戲，I為曲線C:y=f(x)在x=-1處的切線.

(1)求[的方程；

(2)求fQ)的極值;

(3)若曲線C除了切點(diǎn)之外都在直線的勺上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21.(本小題12分)

/alla12，，，aln\

設(shè)€N*,且WI都是奇數(shù)，根行九列的數(shù)表a=熱。22…a2n滿足.對(duì)任意的ie{l,2，…,m],j￡

^mnl

{1,2,…,71},都有%,e{—1,1}.記S=Gtji+a；2+ain>Tj=alj+a2j_I+amj>若Si>0,則稱第t行為“正

行"，若，<0,則稱第/列為“負(fù)列”，記4中正行與負(fù)列的數(shù)目之和為G(4).

(1)設(shè)力1=1&—1&-14=1&1&-1&-1&1,直接寫(xiě)出GG4I),GQ42)的值：

\1&1&-1)

(2)求證：GQ4)N1；

(3)求GQ4)的最大值.

第4頁(yè)，共13頁(yè)

參考答案

l.D

2.2

3.5

4.C

5.4

6.C

7.5

8.4

9.B

10.B

14.(0,+oo)

[-1.1)

15.②③④

16.(1)依題意，/(x)=Acos2a)x+cos(2o)x—^)—1=(A+^)cos2cox+^-sin2a)x—1,

若選②，/(%)max=+1)2+,-1=避一1，解得4=1或a=-2,

當(dāng)A=1時(shí)，/(%)=V^sin(2cox+^)—1,當(dāng)2=-2時(shí)，/(%)=V^sin(2cox—^)—1,

因此選②，可以求得兩個(gè)不同函數(shù)，不符合題意，即條件②不可選；

于是選條件①③，由①知，/(0)=解得2=1,/(%)=7^sin(2d)x+?)-1,

由③知，函數(shù)/(%)的最小正周期為廣，即學(xué)=兀，解得3=1,/(%)=4sin(2x+治)-1,函數(shù)/(%)唯一確

定，

由2%+耳=kj3kGZf得％=———,/cGZ,

第5頁(yè)，共13頁(yè)

所以函數(shù)/(%)的對(duì)稱中心為V+笫—l)(keZ).

(2)由⑴知，/(%)=V3sin(2x+^)-1,由/(%)=1,得sin(2%+$=易

當(dāng)久G(0,租)時(shí)，2x+^e(^2m+$,依題意，sin(2x+芻=岑在(0沖)內(nèi)有且僅有1個(gè)實(shí)根，

則得＜2??1+臺(tái)］解得3＜血〈加，

TT

所以小的取值范圍是不＜m＜n.

17.(1)因?yàn)镻41平面ABCD,又BCu面4BCD,所以P41BC,

又BC1PC,PACPC=P,PA,PCu面PAC,

所以BC1面PAC,又力Cu面PAC,

所以BC1AC,

又DE〃平面PBC,DEu面力BCD,面ABCDCl面PBC=BC,所以DE〃BC,

故DE1AC,又E是4C的中點(diǎn)，

所以4D=DC.

(2)過(guò)8作BH1面AFC于H,連接HC,

TT

則NBC”為直線BC與平面力FC所成的角，所以NBCH=1，

又|4C|=\BC\=2,所以|HC|=\HB\=y/2,

設(shè)|P4|=a,由(1)知BC，"，所以|4B|=-4+4=2*,

又PA1平面4BCD,ABu面4BCD,所以P41AB,又F為PB中點(diǎn)，

所以的=杷用="2+8,又BC1PC,所以|CF|=匏8|=|＞2+8,

得到FE，4C,又4C=2,所以|EF|==*+1,得至口..。=，x2x*+1=

又SA/CB=3x2x2=2,^VF-ABC~^B-AFCY

得至燈卜2="*2+1x避,整理得到a2=4,

所以a=2.

第6頁(yè)，共13頁(yè)

18.(1)由圖表可知從樣本空間中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，

科普過(guò)程性積分不低于2分的人數(shù)的頻率為［"

oUZ

所以估計(jì)全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，該生科普過(guò)程性積分不低于2分的概率為今

(2)隨機(jī)抽取三人，得分為6分的可能有：

情況L1人0分,2人3分;

情況2：1人1分，1人2分,1人3分；

情況3：3人都是2分，

結(jié)合圖表知得。分，1分，2分，3分的概率分別為

151,151,,101201

604，P60夕“606P603，

所以隨機(jī)抽取3人得6分的概率為

CXX2CXXC3

P=3Z?+3|2X|X1+(1)=^,

⑶根據(jù)題意從樣本中科普過(guò)程性積分不低于1分的學(xué)生中抽取1人，得1分、2分、3分的頻率依次為民小

所以從全校科普過(guò)程性積分不低于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生其積分，為1分、2分、3分的概率估計(jì)依

、〃在124

"'為手函，

則任意取2名同學(xué)，其積分之差的絕對(duì)值不超過(guò)1的可能有：口分，1分｝;｛1分，2分｝;｛2分，2分｝;｛2

分，3分｝;｛3分，3分｝五種可能，

f112,22,c24,4457

H1rPlPI=3X-+2X-X-+-X-+2X-X-+-X-=—,

任意取2名同學(xué)，其積分之差的絕對(duì)值不低于1的可能有：｛1分，2分｝;口分，3分｝;｛2分，3分｝三種可

能，

0121nl4…2452

即RnP2=2x-x-+2x-x-+2x-x-=—,

第7頁(yè)，共13頁(yè)

顯然P2<P1-

ra2=b2+c2

19.⑴由題意可得上=牛，注意到a>b>0,c>0,解得a=2,6=l,c=避，故橢圓方程為［+

Ra2=24

y2=1；

由題意&(—2,0)4(2,0),81(0,1),&(o,—l),

因?yàn)辄c(diǎn)P不與橢圓頂點(diǎn)重合，所以直線8止斜率存在且不為0,且不等于土看

所以設(shè)為By=kx+1,(々中0,k±1),

y=kx+1

聯(lián)立,空+y2=1=(1+4fc2)%2+8kx=0,顯然4=64k2>0,

.47

由韋達(dá)定理可知孫+0=孫=1；*,從而孫=kxP+1=~^2+1=:造2,

_8kl-4/c2\

1+4H'1+4k2)

在y=kx+1中令y=0,得％=所以M(-?0),

4

1X

y-X--r41+￥

=，%—L-1所以D

易知力%:、聯(lián)立-+n4

yfcxy\d

」

1；4廬_1-4/f2_(1-21)(1+2/c)_1+2/c

注意到直線公尸的斜率為心止

-8k2=2(1—4々+4H)=-2(1-202-=2(1一2幻'

1+4M

12k

所以&P:y=2(1-2小(%+2)，

11，_1

y=-x—1X~~~k

聯(lián)立；_21+2k所以N(-

(X+2)今y=---1

y―2(l-2/c)Z2k

記點(diǎn)力i到DN的距離、點(diǎn)%到DM的距離依次為-DNCBZ-DM，

則S"N=同i?mT.夫.=I法t部

第8頁(yè)，共13頁(yè)

1+2/c

同理S.BZDM=露2-DM-\DM\=Y而%?后次|H^+||=

k(l-2/c)

綜上所述，“1DN與"2。時(shí)的面積相等，命題得證.

20.(1)易知f'(x)=(x-a+l)ex,所以r(―1)=-p

所以/的方程為：y=一?0+1)-^4^=_%_i

即為ax+ey+1+2a=0.

(2)由上知f'(x)=0有x=a-1,

當(dāng)工變化時(shí)，/(均與/O)的變化情況如下表：

X(―8,a—lCL—1(a-1,+

f'M—0+

f(x)單調(diào)遞減-ea-1單調(diào)遞增

所以當(dāng)x=a-1時(shí)，函數(shù)/(x)有極小值，極小值為—e"i,無(wú)極大值；

(3)若曲線C除了切點(diǎn)之外都在直線/的上方，

即"%)一(一?%-歸*)=(%-。)^+%+^^>0,當(dāng)且僅當(dāng)％=-1時(shí)取得等號(hào),

令g(%)=(%—a)ex+%+工警。,則g'(%)=(%—a+l)ex+p

令/i(x)=(x—a+l)ex,則/i'(x)=(x—a+2)ex,

令八'(久)=0有x=a—2,

當(dāng)x變化時(shí)，〃(x)與％(久)的變化情況如下表：

X(—8,a—2CL—2(a-2,+

h'(x}—0+

/l(x)單調(diào)遞減-ea~2單調(diào)遞增

所以當(dāng)X=6[-2時(shí)，函數(shù)八(久)有極小值，極小值為-e-2,也是最小值,

顯然當(dāng)x<a-2時(shí)，h(x)<0,且X-—8時(shí)，h(x)無(wú)限趨向于零，

又h(a-l)=0,作出其大致圖象如下：

第9頁(yè)，共13頁(yè)

y=(x-a+l)ey

牛2

__\px

若aWO,則g'Q)可由h(x)向下平移—?個(gè)單位得到，又g'(—1)=0,

此時(shí)在(一8,-1)上gQ)單調(diào)遞減，(-1,+8)上g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)Ng(—l)=O,符合題意；

V

j/=(x-a+l)ey

y=(x-a+l)e^-^|

若a>0,則g'Q)可由八0)向上平移照個(gè)單位得到，

此時(shí)令m(%)=ex-x—l^mf(x)=ex—l,

不難得出力>0時(shí),m'(x)>0,即tn。)此時(shí)單調(diào)遞增，

%<0時(shí)，m'(x)<0,即租(%)此時(shí)單調(diào)遞減，

即m(%)>m(0)=0,所以e%>x+1恒成立,

則e°T>a^-->￡今g'(x)min=。'(4—2)=+^<0,

cccc

由于且%T-8時(shí)，/l(%)無(wú)限趨向于零，所以當(dāng)八(%)向上平移時(shí)，在(-8,a-2)之間必有一個(gè)零點(diǎn)，

而%>。一1時(shí)，/i(x)>0,所以(。一2以一1)之間也必有一個(gè)零點(diǎn)，

不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)依次為打,第2(%1<%2)，故在(一8,巧),(無(wú)2,+8)上6(%)>0,即g(%)單調(diào)遞增，在(%1,%2)上

g'(x)<0,即g(%)單調(diào)遞減,

%-—8時(shí)，(%-口)/<0,5+匕包=?(%+2)+：<0,即此時(shí)有g(shù)(%)<0,不符題意；

第10頁(yè)，共13頁(yè)

綜上aWO,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0].

/-1&—1&1\

21.(1)數(shù)表41=1&一1&一1,由題意可得Si=-1,S2=—1,S3=1,

\1&1&-1)

故只有第3行是“正行”；

T1=1,T2=-1,T3=-1,故第2,3列是“負(fù)列”，第1列不是“負(fù)列”.

故G(&)=l+2=3；

數(shù)表42=1&1&-1&-1&1,由題意可得S1=—1,S2=l,s3=-1,

故只有第2行是“正行”；

Ti=1,T2=1,T3=-1,T4=—3,北=1，故第3,4列是“負(fù)列”，第1,2,5列不是“負(fù)列

故GG42)=l+2=3.

綜上所述，GQ4I)=3,GQ42)=3.

(2)用反證法證明GQ4)NL

由數(shù)目之和GQ4)6N,假設(shè)G(4)=0,

即數(shù)表4沒(méi)有“正行”，也沒(méi)有“負(fù)列”.

即任意lWiWm,SiW0,則數(shù)表中所有數(shù)和￡之1StWO；

且任意lW/Wzi,TRO,則數(shù)表中所有數(shù)的和￡：=i4NO；

故數(shù)表中所有數(shù)的和為0,

由題意任意的i6[1,2,E,a(jG(-1,1},

即數(shù)表中1的個(gè)數(shù)與-1的個(gè)數(shù)相同.

所以數(shù)表中必有偶數(shù)個(gè)數(shù)，

但由于小,n均為奇數(shù)，數(shù)表中共有nm個(gè)數(shù)，nrn為奇數(shù)，

這與數(shù)表中必有偶數(shù)個(gè)數(shù)矛盾.

故假設(shè)錯(cuò)誤，GQ4)=0不成立.

故G(4)>1成立.

(3)當(dāng)n=l時(shí)，數(shù)表為ni行1列數(shù)，

若G(4)=m+l,則各行都為1,則這1列數(shù)這和m>0,不可能為“負(fù)列”；

第11頁(yè)，共13頁(yè)

自

由數(shù)表A=:,GQ4)=m.

W

故當(dāng)幾=1時(shí)，G(2)最大為m；

同理可知當(dāng)巾=1時(shí)，G(2)最大為n.

當(dāng)m>3,n23時(shí)，G(4)<m+n—2.

下面用反證法證明.

假設(shè)GQ4)+1,則滿足條件的數(shù)表分三類：

GQ4)=m+n,即小行都是“正行”且n列都是“負(fù)列”；

或G(A)=m+n-l,其中6行都是“正行”，n—1列是“負(fù)列”；

或GQ4)=m+n-l,其中m-l行是“正行”，n列都是“負(fù)列”.

①若G(4)=m+n,6行都是“正行”且?guī)琢卸际恰柏?fù)列”：

即任意lWiWm,$>0,則數(shù)表中所有數(shù)和￡21￡>0；

且任意lW/Wn,Tj<0,則數(shù)表中所有數(shù)的和蜀=iT/<0；

故產(chǎn)生矛盾，此類情況不可能；

②若G(4)=m+n-l,m行都是“正行”且n-1列是“負(fù)列”：

由加行都是“正行”，由題意可知，每行各數(shù)之和都為正數(shù)，

由題意任意的iGG[1,2,ayG{-1,1},

則每行n個(gè)數(shù)中1的個(gè)數(shù)必大于-1的個(gè)數(shù)，即至少有審個(gè)1,

故數(shù)表中所有數(shù)中至少有她產(chǎn)個(gè)1;

由九-1列是“負(fù)列”，由題意可知這n-1列中每列各數(shù)之和都為負(fù)數(shù)，

則每列小個(gè)數(shù)中-1的個(gè)數(shù)必大于1的個(gè)數(shù)，即至少有畫(huà)3個(gè)-1,

故數(shù)表中所有數(shù)中至少有。一1芋+D個(gè)-