專題1.3直角三角形（知識解讀）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）（原卷版）2

專題1.3直角三角形（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標】掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【知識點梳理】知識點1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點2勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點3勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點4直角三角形的判定（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個直角三角形全等，書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”。知識點5命題內(nèi)容定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。組成命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推出來的事項表達形式通?？梢詫懗伞叭绻?.....,那么......”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。分類題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題題設(shè)成立，結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題?！镜淅治觥俊究键c1：勾股定理】【典例1】（2020秋?溫江區(qū)期末）如圖是一個直角三角形，它的未知邊的長x等于（）A．13 B． C．5 D．【變式11】（2020春?東莞市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，則BC的值是（）A． B． C． D．【變式12】（春?長白縣期中）直角三角形的兩直角邊是6和8，則第三邊是（）A．7 B．10 C．2 D．10或2【變式13】（春?新化縣期末）若一直角三角形兩邊長為4和5，則第三邊長為（）A．3 B． C．3或 D．不確定【典例2】（2020春?雨花區(qū)期末）如圖，分別以Rt△ABC的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，則S3＝（）A．8 B．10 C．80 D．100【變式21】（2020秋?盧龍縣期末）以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（）A．6 B．36 C．64 D．8【變式22】（2020春?新鄉(xiāng)期末）如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長是（）A．13 B． C．47 D．【變式23】（2021春?甘井子區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，AB＝4，以AC為邊的陰影部分圖形是一個正方形，則這個正方形的面積為（）A．2 B．4 C．8 D．16【考點2勾股定理證明】【典例3】勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古代稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．【變式31】我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【變式32】如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風車”，則這個風車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．144【變式33】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【考點3：勾股定理逆定理】【典例4】在下列以線段a，b，c的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 B．a(chǎn)＝5，b＝5，c＝5 C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6【變式41】（2020春?甘井子區(qū)期末）下列各組數(shù)中，不可能成為直角三角形的三條邊長的是（）A．1，2，3 B．1， C．3，4，5 D．1，1，【變式42】（2020春?朝陽區(qū)校級月考）以下列長度的線段為邊能組成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．7，8，9 C．，1，2 D．8，9，10【變式43】（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）△ABC滿足下列條件中的一個，其中不能說明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a(chǎn)：b：c＝1：：2 C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【典例5】（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝24，BC＝7，CD＝15，AD＝20，∠B＝90°，求四邊形的面積．【變式51】（2020秋?太平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點D是Rt△ABC外一點，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．【變式52】（2020春?東昌府區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四邊形ABCD的面積．【變式53】（2021春?長沙縣期末）如圖，小方格都是邊長為1的正方形．（1）求四邊形ABCD的邊AB與BC的長；（2）用勾股定理逆定理的知識證明：∠ABC＝90°．【考點4：判定全等角形（HL）】【典例6】（2021秋?信都區(qū)期末）如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求證：∠1＝∠2．【變式61】（2021秋?陽江期末）如圖，點C、E、B、F在一條直線上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求證：CE＝BF．【變式62】（2021春?華容縣期末）如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE＝CD，求證：Rt△BEC≌Rt△CDB．【變式63】（2019秋?鐵東區(qū)期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書【考點5：四種命題及其關(guān)系】【典例7】（2022春?鹿城區(qū)校級期中）用反證法證明命題“若|a|＜3，則a2＜9”時，應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)＞3 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)2≥9 D．a(chǎn)2＞9【變式71】（2022春?濱江區(qū)校級期中）用反證法證明“在△MBC中，若∠A＞∠B＞∠C，則∠A＞60°”時，應(yīng)先假設(shè)（）A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°【變式72】（2022春?順德區(qū)校級期中）用反證法證明：若abc＝0，則a，b，c至少有一個為0，應(yīng)該假設(shè)（）A．a(chǎn)，b，c沒有一個為0 B．a(chǎn)，b，c只有一個為0 C．a(chǎn)，b，c至多一個為0 D．a(chǎn)，b，c三個都為0【典例8】（2021秋?港南區(qū)期末）用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．”已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一