專題04幾何中的三點(diǎn)共線問(wèn)題（原卷版）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)突破

專題04幾何中的三點(diǎn)共線問(wèn)題幾何壓軸題中的三點(diǎn)共線問(wèn)題，一般有兩種考查方式：一是：假設(shè)某三點(diǎn)共線，探究線段的長(zhǎng)度、線段的數(shù)量與位置關(guān)系、三角形或四邊形的形狀、面積等。在這一類題型，一般都是講三點(diǎn)共線作為條件使用：（1）在探究線段的長(zhǎng)度，線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)，多是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，或者利用勾股定理和銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解。（2）在探究三角形或四邊形的形狀時(shí)，一般先是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理或者銳角三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再根據(jù)幾何圖形的判定進(jìn)行求解即可。（3）在探究面積問(wèn)題時(shí)，一般先是利用全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理或者銳角三角函數(shù)求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可。（4）在把三點(diǎn)共線作為條件使用時(shí)，要注意，在未明確三點(diǎn)位置關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解的情況。二是證明三點(diǎn)共線：證明三點(diǎn)共線常用到以下幾種方法：（1）證明以位于中間點(diǎn)為頂點(diǎn)形成兩個(gè)角的和為180°。（2）先連接兩點(diǎn)，證明第三個(gè)點(diǎn)在連線上，具體可以證明三點(diǎn)連線重合（先證平行，再證有公共點(diǎn)），也可以以某一點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造角，證明角相等（如圖：證明∠DCB=∠DCA，在證點(diǎn)B在AC上）。 （2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)D到邊的距離為_(kāi)_________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)連結(jié)，當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積；(4)當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，即可求解．【答案】(1)3(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；(3)(4)或【詳解】（1）解：如圖，連接DM，∵AB=4，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即點(diǎn)D到邊的距離為3；故答案為：3（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，；綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，∴，根據(jù)題意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；（4）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，連接AA′，A′B，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M(jìn)=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G′，則，取的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵M(jìn)T+BT=BM=2，∴，∴，解得：；綜上所述，t的值為或．本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；(2)將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；(3)，，將正方形繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．【答案】(1)2(2)(3)或【詳解】（1）解：正方形與正方形有公共點(diǎn)，點(diǎn)在上，在上，四邊形是正方形（2）解：如圖，連接，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，（3）解：①如圖，，，,,，三點(diǎn)共線，中，，，由（2）可知，

，．②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，∴AG=AD=8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三點(diǎn)共線．∴∠AGC=90°∴CG=，∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，DG的長(zhǎng)度為或．本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·四川成都·成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），連接，分別以，為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，求證：∽；(2)如圖，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的面積；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，連接，若，求的長(zhǎng)．2．（2022·四川成都·?？既＃┰诰匦沃校c(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線上點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M）如圖，在等腰Rt△ABC中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF，連接AF，DF，點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，連接DG．(1)當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，①如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，求證：D，G，C三點(diǎn)共線．②如圖2，若，求DG的長(zhǎng)．(2)如圖3，若，當(dāng)時(shí)，求CE的長(zhǎng)．4．（2022·河北張家口·一模）如圖1，在中，，點(diǎn)A，D是射線上的點(diǎn)，以為一邊在內(nèi)作矩形，點(diǎn)C在邊上．(1)當(dāng)點(diǎn)B在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若A，B，O三點(diǎn)共線，且是以為腰的等腰三角形，①__________；②求的長(zhǎng)；(3)在圖2的基礎(chǔ)上，點(diǎn)A向右移動(dòng)得到圖3連接，若和相似，直接寫出的長(zhǎng)．（注：三角形全等可視為三角形相似的特殊情況）5．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，BC=3BD，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形CEF，連接AF．(1)如圖1，求證：△CAF∽△CBE，并求出的值；(2)如圖2，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE，請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)