專題05有理數(shù)的乘方綜合題

專題05有理數(shù)的乘方（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點01：有理數(shù)的乘方定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power)．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．細節(jié)剖析：（1）乘方與冪不同，乘方是幾個相同因數(shù)的乘法運算，冪是乘方運算的結果．（2）底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來．（3）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．知識點02：乘方運算的符號法則（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）任何一個數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)，如≥0．細節(jié)剖析：(1)有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．(2)任何數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022?澄海區(qū)模擬）﹣12022的相反數(shù)是（）A．2022 B．﹣2022 C．1 D．﹣1【易錯思路引導】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義即可得出答案．【規(guī)范解答】解：﹣12022＝﹣1，﹣1的相反數(shù)是1，故選：C．【考察注意點】本題考查了相反數(shù)，有理數(shù)的乘方，掌握﹣12022與（﹣1）2022的區(qū)別是解題的關鍵．2．（2021秋?濟寧期末）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．（﹣5）2和﹣52 B．+（﹣6）和﹣（+6） C．（﹣4）3和﹣43 D．﹣|﹣2|和+（﹣2）【易錯思路引導】A：負數(shù)的偶次冪為正，5的平方的相反數(shù)是負數(shù)；B：加（﹣6）還是（﹣6），﹣（+6）表示6的相反數(shù)；C：負數(shù)的奇次冪為負，4的立方的相反數(shù)是負數(shù)；D：﹣|﹣2|是負數(shù)，+（﹣2）為負數(shù)．【規(guī)范解答】解：A：（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，∴符合題意B：+（﹣6）＝﹣6，﹣（+6）＝﹣6，∴不符合題意；C：（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，∴不符合題意；D：﹣|﹣2|＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，∴不符合題意；故選：A．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)乘方、相反數(shù)、絕對值，掌握這三個性質(zhì)是解題關鍵．3．（2021秋?香洲區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．﹣3是相反數(shù) B．一個數(shù)的絕對值越大，表示它的點在數(shù)軸上越靠右 C．如果a為有理數(shù)，那么a2＞0 D．若a＝b，則|a|＝|b|【易錯思路引導】A：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；B：正數(shù)在原點右側；C：a＝0時a2＝0；D：兩數(shù)相等，那么它的絕對值也相等．【規(guī)范解答】解：A：﹣3是3相反數(shù)，∴不符合題意；B：一個正數(shù)的絕對值越大，表示它的點在數(shù)軸上越靠右，∴不符合題意；C：如果a為有理數(shù)，那么a2≥0，∴不符合題意；D：若a＝b，則|a|＝|b|，∴符合題意；故選：D．【考察注意點】本題考查有理數(shù)乘方、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值，掌握這幾個定義的意義，運用的時候注意它們的區(qū)別是解題關鍵．4．（2017秋?新城區(qū)校級期中）計算（﹣3）2÷4×的結果是（）A．﹣9 B．9 C． D．【易錯思路引導】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法法則可得答案．【規(guī)范解答】解：（﹣3）2÷4×＝9××＝，故選：C．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法．熟練掌握有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法的運算法則是解題關鍵．5．（2017秋?會同縣校級期中）規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”一般地，把（a≠0）記作a?，讀作“a的圈n次方”．關于除方，下列說法錯誤的是（）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1 B．對于任何正整數(shù)n，1?＝1 C．3④＝4③ D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結果是正數(shù)【易錯思路引導】根據(jù)定義依次判定即可．【規(guī)范解答】解：A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數(shù)n，1?都等于1；所以選項B正確；C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，則3④≠4③；所以選項C錯誤；D、負數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當于奇數(shù)個負數(shù)相除，則結果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當于偶數(shù)個負數(shù)相除，則結果是正數(shù)．所以選項D正確；本題選擇說法錯誤的，故選：C．【考察注意點】本題是有理數(shù)的混合運算，也是一個新定義的理解與運用；一方面考查了有理數(shù)的乘除法及乘方運算，另一方面也考查了學生的閱讀理解能力；注意：負數(shù)的奇數(shù)次方為負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次方為正數(shù)，同時對新定義，其實就是多個數(shù)的除法運算，要注意運算順序．6．（2022?西城區(qū)校級模擬）如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上四個點，A點表示數(shù)為10，E點表示的數(shù)為10100，AB＝BC＝CD＝DE，則數(shù)1099所對應的點在線段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE【易錯思路引導】先根據(jù)AB＝BC＝CD＝DE，計算出每一個線段的長度，再把AB的長度與1099﹣10進行比較即可．【規(guī)范解答】解：∵A點表示數(shù)為10，E點表示的數(shù)為10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴B點表示的數(shù)為＝（10100﹣10）+10，∵（10100﹣10）+10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴數(shù)1099所對應的點在B點左側，∴數(shù)1099所對應的點在AB點之間，故選：A．【考察注意點】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術平方根的意義是正確解答的前提，估算出1099﹣10的大小是得出正確答案的關鍵．7．（2021秋?雙峰縣期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，則ab的值為（）A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6【易錯思路引導】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出ab的值，然后再代入代數(shù)式進行計算．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴ab＝（﹣3）2＝9．故選：C．【考察注意點】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，幾個非負數(shù)相加等于0，則每一個算式都等于0．二．填空題（共6小題）8．（2022春?吉州區(qū)期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，則a2021?b2022的值為．【易錯思路引導】根據(jù)偶次方的非負性以及絕對值的非負性求得a與b，再代入a2021?b2022求值．【規(guī)范解答】解：∵（a﹣2）2≥0，|2b﹣1|≥0，∴當（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，則a﹣2＝0，2b﹣1＝0．∴a＝2，b＝．∴a2021?b2022＝＝．故答案為：．【考察注意點】本題主要考查偶次方的非負性、絕對值的非負性，熟練掌握偶次方的非負性、絕對值的非負性是解決本題的關鍵．9．（2022春?高州市期中）如果a，b，c是整數(shù)，且ac＝b，那么我們規(guī)定一種記號（a，b）＝c，例如32＝9，那么記作（3，9）＝2，根據(jù)以上規(guī)定，求（﹣2，﹣32）＝5．【易錯思路引導】利用規(guī)定記號的意義將式子表示出乘方的形式，利用有理數(shù)乘方的意義解答即可．【規(guī)范解答】解：設（﹣2，﹣32）＝x，∵ac＝b，那么我們規(guī)定一種記號（a，b）＝c，∴（﹣2）x＝﹣32．∵（﹣2）5＝﹣32，∴x＝5．故答案為：5．【考察注意點】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，本題是新定義型題目，理解題干中的新規(guī)定并列出算式是解題的關鍵．10．（2022春?蒸湘區(qū)校級月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2017＝﹣1．【易錯思路引導】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【規(guī)范解答】解：由題意得，2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，解得x＝2，y＝3，所以，（x﹣y）2017＝（2﹣3）2017＝﹣1．故答案為：﹣1．【考察注意點】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．11．（2018秋?郫都區(qū)期中）三個數(shù)a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一個是c．【易錯思路引導】指數(shù)相同的正數(shù)，底數(shù)大的一定大．【規(guī)范解答】解：因為a＝266＝（23）22＝822，b＝344＝（32）22＝922，c＝622．故最小的一個是622．【考察注意點】對于此類問題應化為同指數(shù)的冪，再比較大?。?2．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）若|m﹣2|和（n+2）2互為相反數(shù)，則m+2n的值為﹣2．【易錯思路引導】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出m，n的值，進而代入得出答案．【規(guī)范解答】解：∵|m﹣2|和（n+2）2互為相反數(shù)，∴m﹣2＝0，n+2＝0，解得：m＝2，n＝﹣2，∴m+2n＝2+2×（﹣2）＝﹣2．故答案為：﹣2．【考察注意點】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出m，n的值是解題關鍵．13．（2022秋?長沙月考）以下說法中：①若|a|＝﹣a，則a＜0；②若a2﹣b2＝0，則a＝b；③﹣1＜a＜0，則a2＜﹣；④若b＜a＜0，且|a|＜|b|，則|a﹣b|＝﹣|a|+|b|，其中正確的有③．（填序號）【易錯思路引導】根據(jù)絕對值，有理數(shù)的乘方及有理數(shù)大小的比較，一一分析判斷即可．【規(guī)范解答】解：①若|a|＝﹣a，則a≤0，錯誤；②若a2﹣b2＝0，則a＝±b，錯誤；③﹣1＜a＜0，則a2＜﹣，正確；④若b＜a＜0，且|a|＜|b|，則|a﹣b|＞﹣|a|+|b|，錯誤．正確的是③，故答案為：③．【考察注意點】本題考查了絕對值，有理數(shù)的乘方及有理數(shù)大小的比較，對絕對值進行正確的化簡是解題的關鍵．三．解答題14．（2021秋?南關區(qū)期末）（1）請寫出所有平方等于本身的數(shù)．（2）請寫出一個平方小于本身的數(shù)；（3）請寫出兩個平方大于本身的數(shù)；（4）已知a≠0且a≠1，比較a與a2的大小．【易錯思路引導】根據(jù)實數(shù)的有關性質(zhì)寫出符合要求的數(shù)即可．【規(guī)范解答】解：（1）因為02＝0，12＝1，∴平方等于本身的數(shù)只有0和1．（2）＝，∴是符合條件的一個數(shù)．（3）32＝9＞3，52＝25＞5．∴3和5是符合條件的兩個數(shù)．（4）a2﹣a＝a（a﹣1），當a＜0時，a﹣1＜0，a2﹣a＞0∴a＜a2．當0＜a＜1時，a﹣1＜0，a2﹣a＜0，∴a＞a2．當a＞1時，a﹣1＞0，a2﹣a＞0，∴a＜a2．綜上：當a＜0時，a＜a2．當0＜a＜1時，a＞a2．當a＞1時，a＜a2．【考察注意點】本題考查實數(shù)的性質(zhì)和運算，理解實數(shù)的性質(zhì)，利用作差法比較大小是求解本題的關鍵．15．（2021秋?巨野縣期中）已知|2+x|+（y﹣3）2＝0，求﹣xy的值．【易錯思路引導】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【規(guī)范解答】解：∵|2+x|+（y﹣3）2＝0，∴2+x＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，則﹣xy＝﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8．【考察注意點】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．解題的關鍵是掌握非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．16．（2020秋?義烏市校級月考）定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n）．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝3．（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m，n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d（12）＝1.08，d（）＝﹣0.12，d（）＝0.66．【易錯思路引導】（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由勞格數(shù)的運算性質(zhì)可知，兩數(shù)積的勞格數(shù)等于這兩個數(shù)的勞格數(shù)的和；兩數(shù)商的勞格數(shù)等于這兩個數(shù)的勞格數(shù)的差，據(jù)此可解．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（103）＝3；故答案為：3．（2）由勞格數(shù)的運算性質(zhì)：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，則d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，則d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48?0.3＝0.66，故答案為：1.08，﹣0.12，0.66．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)的乘方，定義新運算，讀懂題中的定義及運算法則是解題的關鍵．17．（2022春?攸縣期末）如果10b＝n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n），由定義可知：10b＝n與b＝d（n）所表示的b，n兩個量之間具有同一關系．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，計算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n為正數(shù)，則d（m?n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根據(jù)運算性質(zhì)，填空：＝3（a為正數(shù)）；若d（2）＝0.3010，則d（4）＝0.6020，d（5）＝0.6990，d（0.08）＝﹣1.0970；．（3）若表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d（x）有且僅有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，并將其改正過來．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【易錯思路引導】（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）根據(jù)新定義計算即可；（3）根據(jù)新定義判斷即可．【規(guī)范解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，（2）∵d（a3）＝d（a2?a）＝d（a2）+d（a）＝d（a?a）+d（a）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a），∴＝＝3，∵d（2）＝0.3010，又∵d（10）＝1，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝0.6020；d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990；d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝d（8）+d（10﹣2）＝3d（2）+（﹣2）＝0.9030﹣2＝﹣1.0970；故答案為：3，0.6020，0.6990，﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，則d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b即有三個勞格數(shù)錯誤由題設矛盾，故d（3）＝2a﹣b；若d（5）≠a+c，則d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）＝d（2）+d（3）≠1+a﹣b﹣c即有三個勞格數(shù)錯誤與題設矛盾，故d（5）＝a+c；綜上所述d（1.5）與d（12）兩個值是錯誤的．應該更正為：d（1.5）＝d（3）﹣d（2）＝3a﹣b+c﹣1，d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)乘方的新定義，做題關鍵要讀懂題意，根據(jù)題意進行計算．18．（2020秋?海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n為正整數(shù)）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）與M（n+1）的關系并說明理由．【易錯思路引導】（1）根據(jù)已知算式即可進行計算；（2）結合（1）將算式變形即可說明2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【規(guī)范解答】解：（1）2M（2018）+M（2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)，理由如下：因為2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，所以2M（n）＝﹣M（n+1），所以2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【考察注意點】本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的乘法，解決本題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘方和有理數(shù)的乘法．19．（2020秋?蕭山區(qū)期中）閱讀下列各式：（a?b）2＝a2b2，（a?b）3＝a3b3，（a?b）4＝a4b4…．回答下列三個問題：①驗證：（2×）100＝1，2100×（）100＝1；②通過上述驗證，歸納得出：（a?b）n＝anbn；（a?b?c）n＝anbncn；③請應用上述性質(zhì)計算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【易錯思路引導】①根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題．②通過猜想歸納解決此題．③根據(jù)積的乘方、有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題．【規(guī)