高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何大題 常考題型歸類（原卷版）

專題08立體幾何大題

3盛型大裳合

4

:一、共線、共面、共點的證明四、空間二面角求解）

’二、平行與垂直證明綜合「立體幾何大題一（五、等體積法求點到平面的距離'

（三、直線與平面所成角求解六、立體幾何中的動點探究問題）

申強型大通關(guān)

4

一.共面、共線、共點的證明

1.（2324高二上.北京?月考）如圖，在空間四邊形ABCD中，E、尸分別是A3、AD的中點，G,//分

別在8C,CD上，且3G:GC=D":"C=1:2.

（1）求證：EF//GH；

（2）設(shè)EG與FH交于點、P,求證：P,AC三點共線.

2.（2324高一下?江蘇高郵?月考）如圖，已知空間四邊形A3CD,E,F分別是AB,8c的中點，G,“分

AH

別在CO和上，且滿足容=白工=2.求證:

GDHD

(DE,F,G,//四點共面;

(2)EH,FG,BO三線共點.

3.(2324高一下.云南大理.期中)如圖，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是梯形，BC//AD,BE//AF,且

3c=gA￡>,BE=g厚,G,a分別為叢FD的中點.

(1)求證：四邊形gCHG是平行四邊形;

(2)求證：四點共面.

4.(2223高一下?四川綿陽?月考)如圖，已知正方體A8CQ-A4CQ的棱長為2,E,尸分別為ARCG的中

點.

⑴已知點G滿足￡>〃=4DG,求證民區(qū)G,尸四點共面;

(2)求三棱柱ABO-A4A的表面積.

5.(2324高一下?浙江寧波?期中)如圖，在長方體ABCD-A耳CQ中，AB=BC=4,44,=3,點

M,N,P,Q分別是棱A4，BG，CCI，CD的中點.

(1)證明：三條直線MN,QP,，G相交于同一點

(2)求三棱錐C-MAP的體積.

二.平行與垂直證明綜合

1.(2324高一下?河北張家口?月考)在正方體A8CD-4gGR中，。是AC的中點，M,N分別是。，，

AA的中點.

⑴求證：〃平面ACCiA；

(2)若尸是GA的中點，求證：平面初\?〃平面ACGA.

2.(2324高一下.天津?月考)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD_L底面

ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點，作EFLPB交PB于點F.

(1)證明：24〃平面EDB；

（2）證明：依，平面EFD.

3.（2324高一下?四川廣安?月考）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，PC，底面ABC。，在直角梯形ABCD

中，ABLAD,BC//AD,AD=2AB=2BC,E是PD中點.求證：

⑴CE7/平面加B；

(2)ACA.PD

4.（2324高一下.江蘇鹽城?月考）在三棱柱4BC-AB?中，側(cè)面ACCM_L底面ABC,AAl=BC=5,

AtB=AC=n,AB=13,E為AB的中點.

⑴求證：BQ，平面ACE；

（2）求證：AA，平面ABC.

5.（2324高一下.安徽?月考）如圖，在直四棱柱ABCD-A4GA中，四邊形ABC。為等腰梯形,

ABCD,AB=2CD=8,N54D=45。，點E是線段AB的中點.

(1)求證：平面CGE//平面ADRA；

(2)求證：3。1平面人。。4.

三.直線與平面所成角求解

1.(2324高一下.湖南永州?月考)如圖，在長方體ABCD-AB|C|D］中，AB=3,BC=BB【=2,

(1)求證：BDX±BtC-

(2)求直線BDi與平面ADD.A,所成角的正切值.

2.(2024?上海普陀?二模)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，SB=2,

E、廠分別是SC、3D的中點.

⑴求證：EP〃平面S4B；

(2)若二面角S-AB-。的大小為刀，求直線5D與平面ABCD所成角的大小.

3.(2324高一下?山西運城?月考)如圖，直四棱柱ABCD-A耳中，底面ABCO為菱形,

ZDAB=60,AA^=AD=1,p,M,N分別為CD,M,。，的中點.

(1)證明：平面尸MV〃平面8c2；

(2)求AD,與平面BCD,所成角的正弦值.

4.(2324高一下?河北滄州?月考)如圖，在斜三棱柱ABC-44a中，"，為AC的中點,

MBX1AB.

B

⑴證明：Mq1AB.

⑵若AB=BC=2,BBl=4,MBl=y/14,求直線BtC與平面MBXCX所成角的正弦值.

5.(2324高二上?河南?月考)如圖，已知平面AC。，DE2平面AC。，三角形AC。是正三角形，且

AD=DE=2AB,尸是CD的中點.

(1)求證：平面C3E_L平面CDE；

(2)求直線EF與平面CBE所成角的正弦值.

四.空間二面角求解

1.（2324高一下.江蘇?月考）如圖，四棱柱ABC。-ABCA的底面ABC。是菱形，懼，平面A8C。，

AB=2,44]=6,N54T>=60。，點P為的中點，點。為881上靠近8的三分點.

⑴求證：3自〃平面PAC；

（2）求二面角P-AC-。的正切值.（先找角再證明最后計算）

2.（2324高一下?廣西南寧?月考）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面八"，平面ABCD,|鉆|=2,

（1）求點D到平面PAC的距離；

（2）求二面角A-BD-P的正切值.

3.（2324高一下?河南鄭州?月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD,AB=4,CD=2,

ZPDA=90,平面PAD_L平面PCD.

p

AB

(1)求證：AD±PC；

(2)若尸E>=AD=2,PDLDC,求平面PAD與平面P3C夾角的余弦值.

4.(2324高三下.黑龍江佳木斯?三模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面J_平面ABCD,

PAYAB,底面A8CD為等腰梯形，ABCD,且AB=2CD=2AD=2.

(1)證明：平面R4C_L平面BBC；

(2)若點A到平面PBC的距離為走，求平面PAD與平面P3C夾角的余弦值.

2

5.(2324高一下?浙江?月考)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BBt=l,AC=五,四邊形

瓦8CG為正方形.

(1)求證：平面43。，平面ABCG；

(2)求二面角A-BC-8的余弦值.

五.等體積法求點到平面的距離

1.(2324高一下?河南周口?月考)如圖，在三棱錐A-3CD中，ZDBC=90°,BD=3,BC=4,ABC為

2

等邊三角形，COSNAC￡)=M，點E,尸分別是線段AO,8的中點.

(1)證明：平面ABC；

(2)求點C到平面BEF的距離.

2.(2324高一下?吉林長春?期中)如圖，已知正方體ABCD-AgCQi的棱長為。.

(1)求證：即，平面8"；

(2)求點B到平面用AC的距離.

3.(2024?四川?三模)正方體ABCD-AACQ的棱長為2,E,￡G分別是C&,BC,的中點.

(1)求證：CG〃面QEF；

(2)求點G到平面REP的距離.

4.(2324高一下?河南安陽?月考)如圖，在直三棱柱ABC-中，點。為線段AC的中點.

(1)證明：8(〃平面

(2)若AB1BC,M=4,AB=BC=3g，求G到平面耳即的距離.

5.(2324高一下?福建莆田?期中)正三棱柱ABC-AB。的底面正三角形的邊長為2,。為BC的中點,

M=3.

(1)證明：48〃平面AOC1；

⑵求C到平面ACQ的距離.

六.立體幾何中的動點探究問題

1.(2324高一下?安徽阜陽?期中)如圖，在正方體ABCO-ABCIR中，E為?！ǖ闹悬c.

⑴求證：BDl環(huán)面AEC；

(2)CG上是否存在一點尸，使得平面AEC#面8F"?若存在，請確定點廠的位置；若不存在，請說明理

由.

2.(2324高一下.江蘇南京?月考)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為梯形，其中AD〃3C,且

AT>=23C,點E為棱的中點.

8t——七

(1)求證：CE〃平面F4B；

(2)若/為CE上的動點，則線段AD上是否存在點N,使得〃平面TUB?若存在，請確定點N的位置,

若不存在，請說明理由.

3.(2023?江西贛州?模擬預(yù)測)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面44。。是矩形，側(cè)面2月。。是菱

形，ZB,BC=60,。、E分別為棱A3、的中點，/為線段和￡的中點.

(1)證明：AF〃平面A〃E；

(2)在棱8月上是否存在一點G,使平面ACG,平面BBCC?若存在，請指出點G的位置，并證明你的結(jié)

論；若不存在，請說明理由.

4.(2223高一下?廣東廣州?期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=90°,且側(cè)面PAD_L面ABC。，。是的中點，2AB=23C=">=P4=PD.

(1)求