專題06多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題06多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式壓軸題四種模型全攻略【類型一字母參數(shù)問題】例1．（2022·重慶·八年級期末）若的結(jié)果中不含的一次項(xiàng)，則的值為______．【變式訓(xùn)練1】（2022·吉林長春·八年級期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（x+m）（2x﹣3）展開后不含x項(xiàng)，則m的值為_____．【變式訓(xùn)練2】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室八年級期末）（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的積中不含x的二次項(xiàng)，則m的值是___．【變式訓(xùn)練3】（2022·遼寧大連·八年級期末）若（x－1）（x2＋ax＋2）的展開式中不含x2項(xiàng)，則a的值是_______【類型二多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡及求值問題】例2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，【變式訓(xùn)練1】（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【變式訓(xùn)練2】（2021·江蘇南京·七年級期中）先化簡，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練3】（2021·河南·八年級階段練習(xí)）已知將展開的結(jié)果不含和項(xiàng)，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【類型三多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積問題】例2．（2022·江西南昌·八年級期末）閱讀下列文字：我們知道，對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個(gè)邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長為c、b的長方形紙片．請解答下列問題：（1）圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）請寫出圖3中所表示的數(shù)學(xué)等式：；（3）請按要求利用所給的紙片在圖4的方框中拼出一個(gè)長方形，要求所拼出圖形的面積為（2a+b）（a+b），進(jìn)而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝．（4）利用（3）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b＝，求2a+b的值．【變式訓(xùn)練1】（2021·湖南長沙·八年級期末）對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，求的值．（3）小明同學(xué)用圖中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形張邊長分別為的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形，求的值．【變式訓(xùn)練2】（2021·河南南陽·八年級階段練習(xí)）老師出了一道題，讓學(xué)生計(jì)算（a＋b）（p＋q）的值．（1）填空：小聰發(fā)現(xiàn)這是道“多×多”的問題，直接利用多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可，（a＋b）（p＋q）＝；小明觀察這個(gè)式子后，發(fā)現(xiàn)可以把這個(gè)式了看成長為（a＋b），寬為（p＋q）的長方形，式子的結(jié)果就是長方形的面積；如圖，通過分別大長方形為四個(gè)小長方形，就可以用四個(gè)小長方形的面積表達(dá)這個(gè)大長方形的面積_______．比較大長方形和四個(gè)小長方形的面積我們可以得到等式：_______．（2）請你類比上面的做法，通過畫出符合題意得圖形，利用分割面積的方法計(jì)算（a＋b）（a＋2b）．【類型四多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與規(guī)律探究問題】例4．（2020·福建·石獅市中英文實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）探究應(yīng)用：（1）計(jì)算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計(jì)算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設(shè)A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）觀察下列各式：……（1）根據(jù)以上規(guī)律，______；（2）你能否由此歸納出一般規(guī)律：______；（3）根據(jù)以上規(guī)律求的結(jié)果．【變式訓(xùn)練2】（2021·上海市川沙中學(xué)南校七年級期中）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右表，此表揭示了（為非負(fù)數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，通常稱它為“楊輝三角”，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早四百多年，它與勾股定理、圓周率的計(jì)算等其他中國古代數(shù)學(xué)成就一起，顯示了我國古代勞動(dòng)人民的卓越智慧與才能．例如：規(guī)定：那么，，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別1，2，1；，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；根據(jù)以上規(guī)律，展開式共有________項(xiàng)，系數(shù)分別為________……根據(jù)以上規(guī)律，寫出的展開式：=________【變式訓(xùn)練3】（2021·山西省靈石縣教育局教學(xué)研究室八年級期中）（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明計(jì)算下面幾個(gè)題目①；②；③；④后發(fā)現(xiàn)，形如的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，計(jì)算結(jié)果具有一定的規(guī)律，請你幫助小明完善發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（2）面積說明：上面規(guī)律是否正確呢？小明利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是正確的．小明記得學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，除利用多項(xiàng)式乘法法則可以證明公式外，還可以利用圖形面積說明乘法公式，于是畫出右面圖形說明他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你幫助小明補(bǔ)全圖中括號的代數(shù)式．（3）逆用規(guī)律：學(xué)過因式分解后，小明知道了因式分解與整式乘法是逆變形，他就逆用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對下面的多項(xiàng)式進(jìn)行了因式分解，請你用小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分解下面因式：.【課后訓(xùn)練】1．（2021·四川·江油實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）多項(xiàng)式展開后不含x的一次項(xiàng)，則________．2．（2021·四川宜賓·八年級期中）若的乘積展開式中不含和項(xiàng)，則的值為__________．3．（2021·上海閔行·七年級期中）已知，，則_____．4．（2021·上海浦東新·七年級期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，則（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．5．（2022·廣東汕尾·八年級期末）關(guān)于的多項(xiàng)式與的乘積，一次項(xiàng)系數(shù)是25，則的值為______．6．（2022·福建·廈門市第九中學(xué)八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為，連接AF、CF、AC．若，的面積為S，則______．7．（2022·甘肅·金昌市龍門學(xué)校八年級期末）對a，b，c，d定義一種新運(yùn)算：，如，計(jì)算_________．二、解答題8．（2021·湖南·衡陽市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）計(jì)算：（1）（2）9．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．10．（2022·四川·淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知關(guān)于x的代數(shù)式與的乘積中，不含有x的一次項(xiàng)，求m的值．11．（2021·全國·七年級期中）先化簡，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中x＝﹣2．12．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)雙語學(xué)校八年級期中）化簡求值：，其中，．13．（2021·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）先化簡，再求值．

其中．14．（2021·四川·達(dá)州市第一中學(xué)校七年級期末）（1）先化簡，再求值：，其中x＝-1，y＝2．（2）已知A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，且A﹣2B的值與x的取值無關(guān)，求5a﹣1的值．15．（2020·海南·?？谑械谄咧袑W(xué)八年級期中）如圖是某單位辦公用房的平面結(jié)構(gòu)示意圖（長度單位：米），圖形中的四邊形均是長方形或正方形．(1)用含x、y的式子分別表示會(huì)客室和會(huì)議廳的占地面積．(2)如果，求會(huì)議廳比會(huì)客室大多少平方米？16．（2022·黑龍江省八五五農(nóng)場學(xué)校八年級期末）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，則綠化面積是多少平方米？并求出當(dāng)，時(shí)的綠化面積．17．（2021·上海浦東新·七年級期中）某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的長方形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃分出部分區(qū)域種花，小明同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖，設(shè)花帶的寬度為x米．(1)請用含x的式子表示空白部分長方形的面積；（要化簡）(2)當(dāng)花帶寬2米時(shí)，空白部分長方形面積能超過400m2嗎？請說明理由．18．（2022·重慶市育才中學(xué)八年級期末）如圖1所示的正方形，我們可以利用兩種不同的方法計(jì)算它的面積，從而得到完全平方公式：．請你結(jié)合以上知識，解答下列問題：(1)寫出圖2所示的長方形所表示的數(shù)學(xué)等式_________．(2)根據(jù)圖3得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，，求代數(shù)式的值．(3)小華同學(xué)用圖4中張邊長為的正方形紙片，張邊長為的正方形紙片，張邊長分別為，的長方形紙片拼出一面積為的長方形，求代數(shù)式的值．19．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）【知識回顧】我們在學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值．通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)。因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．具體解題過程是：原式，代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，，解得．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求m值；（2）已知，，且的值與x的取值無關(guān)，求m的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長方形．設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．20．（2021·江西撫州·八年級期中）張老師組織學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組展開探究發(fā)現(xiàn)：……(1)啟航小組提出的問題是：試求的值，請你合理推算；(2)展翅小組提出的問題是：判斷的值的末位數(shù)是幾，請你寫出推斷過程；(3)創(chuàng)新小組提出的問題是：計(jì)算，請你認(rèn)真思考并寫出解題過程．21．（2022·江西宜春·八年級期末）觀察下列各式：；；；……根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：(1)______；______；(2)．22．（2021·陜西·西安市中鐵中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n為大于3的正整數(shù)），并證明你的結(jié)論；（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論計(jì)算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．23．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．（2）當(dāng)a＝2時(shí)，（a+b）5展開式的系數(shù)和是；（a+b）n展開式的系數(shù)和是．24．（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心八年級期末）若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：M為整式A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，若整式，則a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（-5，-11）．(1)若，試求出A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，15），求整式B的表達(dá)式．(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多項(xiàng)式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（-32，0），請直接寫出整式E的表達(dá)式．專題06多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式壓軸題四種模型全攻略【類型一字母參數(shù)問題】例1．（2022·重慶·八年級期末）若的結(jié)果中不含的一次項(xiàng)，則的值為______．【答案】2【解析】【分析】將原式化簡后，將含有的項(xiàng)進(jìn)行合并，然后令其系數(shù)為即可求出答案．【詳解】解：原式令，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的乘法法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓(xùn)練1】（2022·吉林長春·八年級期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（x+m）（2x﹣3）展開后不含x項(xiàng)，則m的值為_____．【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可進(jìn)行把含x的多項(xiàng)式進(jìn)行展開，然后再根據(jù)題意可求解．【詳解】解：，∵展開后不含x項(xiàng)，∴，解得：；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室八年級期末）（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的積中不含x的二次項(xiàng)，則m的值是___．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則將已知代數(shù)式化簡，再令二次項(xiàng)系數(shù)為0，即可求得的值．【詳解】（x2﹣mx+6）（4x﹣2）不含x的二次項(xiàng)，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的項(xiàng)的定義，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2022·遼寧大連·八年級期末）若（x－1）（x2＋ax＋2）的展開式中不含x2項(xiàng)，則a的值是_______【答案】1【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開并合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)展開式中不含x2項(xiàng)，可得x2項(xiàng)的系數(shù)等于0，即可求出a的值．【詳解】解：（x－1）（x2＋ax＋2）=x3+ax2+2x-x2-ax-2=x3+（a-1）x2+（2-a）x-2，∵展開式中不含x2項(xiàng)，∴a-1=0，∴a=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法—多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解題關(guān)鍵，不含哪一項(xiàng)就合并同類項(xiàng)后令該項(xiàng)的系數(shù)等于0．【類型二多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡及求值問題】例2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中，【答案】，1【解析】【分析】先利用整式乘法計(jì)算括號內(nèi)的運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng)，得到最簡整式，再把，代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：；當(dāng)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡．【變式訓(xùn)練1】（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到；【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查整式的乘法法則，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2021·江蘇南京·七年級期中）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，合并同類項(xiàng)對整式進(jìn)行化簡，然后再代值求解即可．【詳解】解：，，，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，合并同類項(xiàng)代入求值，熟練掌握整式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021·河南·八年級階段練習(xí)）已知將展開的結(jié)果不含和項(xiàng)，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【答案】（1）；（2），-1792【解析】【分析】（1）先按照多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則展開，根據(jù)題意不含和項(xiàng)，則展開項(xiàng)的和項(xiàng)的系數(shù)為0，據(jù)此列出方程組，解方程組即可求得的值；（2）先將代數(shù)式化簡，再根據(jù)（1）中的結(jié)論，將的值代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：（1），，由題意得：，解得：；（2），當(dāng)，時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，整式的化簡求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【類型三多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積問題】例2．（2022·江西南昌·八年級期末）閱讀下列文字：我們知道，對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個(gè)邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長為c、b的長方形紙片．請解答下列問題：（1）圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）請寫出圖3中所表示的數(shù)學(xué)等式：；（3）請按要求利用所給的紙片在圖4的方框中拼出一個(gè)長方形，要求所拼出圖形的面積為（2a+b）（a+b），進(jìn)而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝．（4）利用（3）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b＝，求2a+b的值．【答案】（1）a2+3ab+2b2；（2）（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；（3）畫圖見詳解，2a2+3ab+b2；（4）5【解析】【分析】（1）根據(jù)長方形面積的兩種算法，即可得到答案；（2）根據(jù)長方形面積的兩種算法，即可得到答案；（3）先畫出長方形，再根據(jù)長方形面積的兩種算法，即可得到答案；（4）根據(jù)（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，代入求值即可．【詳解】解：（1）∵長方形的面積=a2+3ab+2b2，長方形的面積=（a+b）（a+2b），∴（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，故答案是：a2+3ab+2b2；（2）∵長方形的面積=3a2+4ab+b2，長方形的面積=（3a+b）（a+b），∴（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2，故答案是：（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2；（3）如圖所示：∴（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，故答案是：2a2+3ab+b2；（4）∵4a2+6ab+2b2＝5，∴2a2+3ab+b2=，∵a+b＝，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，∴2a+b=÷=5．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)閱讀理解問題，考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何背景問題及因式分解的應(yīng)用，與幾何圖形相結(jié)合，通過面積法直觀理解、幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對多項(xiàng)式乘法做出幾何解釋是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2021·湖南長沙·八年級期末）對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，求的值．（3）小明同學(xué)用圖中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形張邊長分別為的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形，求的值．【答案】（1）；（2）14；（3）121【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形，利用面積的不同計(jì)算方法可以寫出相應(yīng)的等式；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和，可以求得所求式子的值；（3）將展開，即可得到x、y、z的值，本題得以解決．【詳解】解：（1）由圖可得，圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式是：，故答案為：；（2）∵，∴，∴；（3）由題可知，所拼圖形的面積為：，∵＝，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是乘法公式的幾何意義，整式的乘法運(yùn)算，公式的應(yīng)用能力，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2021·河南南陽·八年級階段練習(xí)）老師出了一道題，讓學(xué)生計(jì)算（a＋b）（p＋q）的值．（1）填空：小聰發(fā)現(xiàn)這是道“多×多”的問題，直接利用多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可，（a＋b）（p＋q）＝；小明觀察這個(gè)式子后，發(fā)現(xiàn)可以把這個(gè)式了看成長為（a＋b），寬為（p＋q）的長方形，式子的結(jié)果就是長方形的面積；如圖，通過分別大長方形為四個(gè)小長方形，就可以用四個(gè)小長方形的面積表達(dá)這個(gè)大長方形的面積_______．比較大長方形和四個(gè)小長方形的面積我們可以得到等式：_______．（2）請你類比上面的做法，通過畫出符合題意得圖形，利用分割面積的方法計(jì)算（a＋b）（a＋2b）．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則直接計(jì)算即可；（2）畫一個(gè)長為，寬為的長方形即可．【詳解】解：（1），大長方形的面積為：，可以得到等式為：，故答案為：，，；（2）如圖所示：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解．【類型四多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與規(guī)律探究問題】例4．（2020·福建·石獅市中英文實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）探究應(yīng)用：（1）計(jì)算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計(jì)算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設(shè)A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．【答案】（1）x3﹣1，8x3﹣y3；（2）a3﹣b3；（3）C；（4）見解析【解析】【分析】（1）用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（2）觀察第（1）問的計(jì)算，找出規(guī)律，用字母表示即可；（3）判斷各選項(xiàng)是否符合公式的特點(diǎn)；（4）公式的逆用，求得A中有37的因數(shù)即可．【詳解】解：（1）（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；（2x-y）（4x2+2xy+y2）=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3=8x3-y3；故答案為：x3-1；8x3-y3；（2）從第（1）問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，故答案為：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（3）A．第一個(gè)多項(xiàng)式不是減法，不符合題意；B．最后一項(xiàng)應(yīng)該是4n2，不符合題意；C．符合題意；D．第二個(gè)多項(xiàng)式的第二項(xiàng)應(yīng)該為mn，不符合題意．故選：C．（4）A=109-1=（103）3-1=（103-1）（106+103+12）=999×1001001=3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．【點(diǎn)晴】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，考查學(xué)生的計(jì)算能力，能對公式進(jìn)行逆用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）觀察下列各式：……（1）根據(jù)以上規(guī)律，______；（2）你能否由此歸納出一般規(guī)律：______；（3）根據(jù)以上規(guī)律求的結(jié)果．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)已知等式的規(guī)律即可求出結(jié)論；（3）將x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律可得：故答案為：；（2）故答案為：；（3）令x=2，n=2018由（2）可得．【點(diǎn)睛】此題考查的是探索運(yùn)算規(guī)律題，找出運(yùn)算規(guī)律并歸納公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2021·上海市川沙中學(xué)南校七年級期中）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右表，此表揭示了（為非負(fù)數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，通常稱它為“楊輝三角”，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早四百多年，它與勾股定理、圓周率的計(jì)算等其他中國古代數(shù)學(xué)成就一起，顯示了我國古代勞動(dòng)人民的卓越智慧與才能．例如：規(guī)定：那么，，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別1，2，1；，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；根據(jù)以上規(guī)律，展開式共有________項(xiàng)，系數(shù)分別為________……根據(jù)以上規(guī)律，寫出的展開式：=________【答案】五；1，4，6，4，1；【解析】【分析】由圖可知，從第三行開始，除去首項(xiàng)和最后一項(xiàng)，其余項(xiàng)應(yīng)該等于上一行與其列數(shù)相同的數(shù)+上一行前一列的數(shù)．那么第五行的五個(gè)數(shù)就應(yīng)該是1，4，6，4，1．即可得到答案．【詳解】解：（a+b）0=1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）1=a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1；所以（a+b）4的展開式有五項(xiàng)，系數(shù)分別為：1，4，6，4，1．故答案為：五；1，4，6，4，1．∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的推廣，讀懂題目信息，準(zhǔn)確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．【變式訓(xùn)練3】（2021·山西省靈石縣教育局教學(xué)研究室八年級期中）（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明計(jì)算下面幾個(gè)題目①；②；③；④后發(fā)現(xiàn)，形如的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，計(jì)算結(jié)果具有一定的規(guī)律，請你幫助小明完善發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（2）面積說明：上面規(guī)律是否正確呢？小明利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是正確的．小明記得學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，除利用多項(xiàng)式乘法法則可以證明公式外，還可以利用圖形面積說明乘法公式，于是畫出右面圖形說明他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你幫助小明補(bǔ)全圖中括號的代數(shù)式．（3）逆用規(guī)律：學(xué)過因式分解后，小明知道了因式分解與整式乘法是逆變形，他就逆用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對下面的多項(xiàng)式進(jìn)行了因式分解，請你用小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分解下面因式：.【答案】（1）x，，pq；（2）如圖見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則相乘即可得到結(jié)論（2）通過總結(jié)（1）的計(jì)算結(jié)果：在結(jié)合圖形的面積，即可已得到答案．（3）觀察運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，一次項(xiàng)系數(shù)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積，即可得到答案．【詳解】（1），，，，總結(jié)規(guī)律為：（2）根據(jù)（1）中總結(jié)的規(guī)律：結(jié)合圖形的面積可知：為長方形的面積，則為長方形的寬，為長方形的長，所以答案如圖：（3）按照小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中最基本的兩個(gè)一次系數(shù)為1的一次二項(xiàng)式的乘法，通過運(yùn)算能總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．（2021·四川·江油實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）多項(xiàng)式展開后不含x的一次項(xiàng)，則________．【答案】2【解析】【分析】先將多項(xiàng)式展開，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)題意即可解答．【詳解】解：∵∵展開后不含x項(xiàng)，即故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的知識，注意觀察哪些項(xiàng)相乘所得的結(jié)果含一次項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川宜賓·八年級期中）若的乘積展開式中不含和項(xiàng)，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，由不含某一項(xiàng)就是說這一項(xiàng)的系數(shù)為0，得出m，n的值，即可得出答案【詳解】解：∵=x3+（2m-3）x2+（-n-6m）x+3n，∵乘積展開式中不含x2和x項(xiàng)，∴2m-3=0，-n-6m=0，解得m=，n=-9，∴m+n=-9=-．故答案為：-．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（2021·上海閔行·七年級期中）已知，，則_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則將原式展開，然后條件即可求出原式的值．【詳解】解：當(dāng)m+n=2，mn=-2，(3?m)(3?n)=9+mn-3（m+n）=9-2-6=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2021·上海浦東新·七年級期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，則（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則解決此題．【詳解】解：∵a+b=-3，ab=1，∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案為：-5．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東汕尾·八年級期末）關(guān)于的多項(xiàng)式與的乘積，一次項(xiàng)系數(shù)是25，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先求出兩個(gè)多項(xiàng)式的積，再根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)為25，得到關(guān)于m的一次方程，求解即可．【詳解】解：（2x?m）（3x＋5）＝6x2?3mx＋10x?5m＝6x2＋（10?3m）x?5m．∵積的一次項(xiàng)系數(shù)為25，∴10?3m＝25．解得m＝?5．故答案為：-5．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和解一元一次方程，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·福建·廈門市第九中學(xué)八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為，連接AF、CF、AC．若，的面積為S，則______．【答案】50【解析】【分析】根據(jù)題意得：AB=BC=CD=AD=10，F(xiàn)G=BG=b，則CG=b+10，可得，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AB=BC=CD=AD=10，F(xiàn)G=BG=b，則CG=b+10，∴．故答案為：50【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．7．（2022·甘肅·金昌市龍門學(xué)校八年級期末）對a，b，c，d定義一種新運(yùn)算：，如，計(jì)算_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義規(guī)則把行列式化為常規(guī)乘法，利用多項(xiàng)式乘法法則展開，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，整式的乘法混合運(yùn)算，掌握新定義規(guī)則，整式的乘法混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．二、解答題8．（2021·湖南·衡陽市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】按照多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則乘出來，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘法法則是關(guān)鍵，但注意的是，不要出現(xiàn)漏乘．9．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）先提出一個(gè)負(fù)號，然后利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算方法求解即可；（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算方法求解即可；（3）先用，再利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算方法求解即可；（4）先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，然后利合并同類項(xiàng)求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．10．（2022·四川·淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知關(guān)于x的代數(shù)式與的乘積中，不含有x的一次項(xiàng)，求m的值．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)乘積中不含x的一次項(xiàng)得出答案即可．【詳解】解：，∵乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴，∴，即當(dāng)時(shí)，乘積中不含x的一次項(xiàng)．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)的求解問題，能正確根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．11．（2021·全國·七年級期中）先化簡，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中x＝﹣2．【答案】5x+19，9【解析】【分析】先計(jì)算多形式的乘法，再去括號合并同類項(xiàng)，然后把x＝﹣2代入計(jì)算．【詳解】解：原式=2x2+x-2x-1-2(x2+2x-5x-10)=2x2+x-2x-1-2x2-4x+10x+20=5x+19，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式=-10+19=9【點(diǎn)睛】本題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算順序是解答本題的關(guān)鍵．四則混合運(yùn)算的順序是先算乘除，再算加減；同級運(yùn)算，按從左到右的順序計(jì)算．12．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)雙語學(xué)校八年級期中）化簡求值：，其中，．【答案】，8．【解析】【分析】先根據(jù)整式的四則混合運(yùn)算法則化簡，然后將x、y的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：==當(dāng)、時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡求值，掌握整式的四則混合運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵．13．（2021·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）先化簡，再求值．

其中．【答案】，20．【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則化簡原式后再把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∴當(dāng)時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，根據(jù)多項(xiàng)式乘法的計(jì)算法則對原式進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．14．（2021·四川·達(dá)州市第一中學(xué)校七年級期末）（1）先化簡，再求值：，其中x＝-1，y＝2．（2）已知A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，且A﹣2B的值與x的取值無關(guān)，求5a﹣1的值．【答案】（1）﹣2x2y﹣xy2，0；（2）1【解析】【分析】（1）運(yùn)用整式的四則混合運(yùn)算法則，先化簡再代入求值即可．（2）與x取值無關(guān)，即與x相乘的代數(shù)值為0即可．【詳解】解：（1）原式＝5x2y﹣3xy2﹣7x2y+2xy2＝﹣2x2y﹣xy2，當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，原式＝﹣2×（-1）2×2﹣（-1）×22＝﹣4+4＝0；（2）∵A＝2x2+3ax﹣2x﹣1，B＝x2﹣ax+1，∴A﹣2B＝（2x2+3ax﹣2x﹣1）﹣2（x2﹣ax+1）＝2x2+3ax﹣2x﹣1﹣2x2+2ax﹣2＝5ax﹣2x﹣3＝（5a﹣2）x﹣3，∵A﹣2B的值與x的取值無關(guān)，∴5a﹣2＝0，解得：a＝，當(dāng)a＝時(shí)，5a﹣1＝2﹣1＝1．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的化簡，運(yùn)算順序：先乘方；再乘除，后加減，有括號時(shí)、先算括號里的：去括號時(shí)，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．與x的取值無關(guān)是指合并同類項(xiàng)以后，所有含x的項(xiàng)的系數(shù)為0，那么無論x取什么值，都不會(huì)影響函數(shù)式的值．15．（2020·海南·?？谑械谄咧袑W(xué)八年級期中）如圖是某單位辦公用房的平面結(jié)構(gòu)示意圖（長度單位：米），圖形中的四邊形均是長方形或正方形．(1)用含x、y的式子分別表示會(huì)客室和會(huì)議廳的占地面積．(2)如果，求會(huì)議廳比會(huì)客室大多少平方米？【答案】(1)會(huì)客室占地面積為平方米，會(huì)議廳的占地面積為平方米；(2)會(huì)議廳比會(huì)客室大37平方米．【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形分別表示出會(huì)客廳與會(huì)議廳的長寬，然后利用面積公式計(jì)算即可得；（2）由（1）中結(jié)論代入化簡可得，將已知式子的值化簡，然后代入計(jì)算即可得．(1)解：結(jié)合圖形可得：會(huì)客室的長為，寬為，∴會(huì)客室面積為：，會(huì)議廳的長為，寬為，∴會(huì)議廳的面積為；∴會(huì)客室面積為平方米，會(huì)議廳的面積為平方米；(2)解：，由，得，∴，∵，∴（平方米）答：會(huì)議廳比會(huì)客室大37平方米．【點(diǎn)睛】題目主要考查整式混合運(yùn)算的應(yīng)用及已知式子的值，求代數(shù)式的值，理解題意，找出圖形中的邊長關(guān)系列出代數(shù)式是解題關(guān)鍵．16．（2022·黑龍江省八五五農(nóng)場學(xué)校八年級期末）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，則綠化面積是多少平方米？并求出當(dāng)，時(shí)的綠化面積．【答案】綠化面積是平方米；當(dāng)，時(shí)，綠化面積是63平方米【解析】【分析】根據(jù)綠化面積=長方形地塊-雕像面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：平方米；當(dāng)，時(shí)，平方米，答：綠化面積是平方米；當(dāng)，時(shí)，綠化面積是63平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意表示出綠化面積．17．（2021·上海浦東新·七年級期中）某中學(xué)有一塊長30m，寬20m的長方形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃分出部分區(qū)域種花，小明同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖，設(shè)花帶的寬度為x米．(1)請用含x的式子表示空白部分長方形的面積；（要化簡）(2)當(dāng)花帶寬2米時(shí)，空白部分長方形面積能超過400m2嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)超過，理由見解析【解析】【分析】（1）空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分長方形的面積；（2）通過有理數(shù)的混合運(yùn)算得結(jié)果與400進(jìn)行比較．(1)空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分長方形的面積：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600)m2．(2)超過．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分長方形面積能超過400m2．【點(diǎn)睛】本題考查有代數(shù)式表示實(shí)際問題，掌握用代數(shù)式表示長方形的邊長，讀懂題意列出代數(shù)式是解決此題關(guān)鍵．18．（2022·重慶市育才中學(xué)八年級期末）如圖1所示的正方形，我們可以利用兩種不同的方法計(jì)算它的面積，從而得到完全平方公式：．請你結(jié)合以上知識，解答下列問題：(1)寫出圖2所示的長方形所表示的數(shù)學(xué)等式_________．(2)根據(jù)圖3得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，，求代數(shù)式的值．(3)小華同學(xué)用圖4中張邊長為的正方形紙片，張邊長為的正方形紙片，張邊長分別為，的長方形紙片拼出一面積為的長方形，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)24(3)55【解析】【分析】（1）圖2中的等量關(guān)系為：大長方形面積=各小長方形面積的和，只需用兩種方式表示出大長方形面積即可；（2）通過面積相等的原理找出，，，，三個(gè)算式之間的關(guān)系，代入求解即可；（3）將代數(shù)式化簡后，找的a，b與x，y，z，之間的關(guān)系，代入可得：．(1)解：．(2)由題可知：，∵，，∴，∴．(3)（3）∵(2a+3b)(6a+5b)=12a∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算，整體代入思想，數(shù)形結(jié)合思想，能夠通過幾何圖形找到代數(shù)之間的等量關(guān)系是解決此類題型的關(guān)鍵．19．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）【知識回顧】我們在學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值．通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)。因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0．具體解題過程是：原式，代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，，解得．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求m值；（2）已知，，且的值與x的取值無關(guān)，求m的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長方形．設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時(shí)，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）把x看作字母，m看作系數(shù)，合并同類項(xiàng)。因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0；（2）先根據(jù)多項(xiàng)式的加減計(jì)算，再按照（1）的方法求得的值；（3）設(shè)，分別用含的代數(shù)式求得，進(jìn)而根據(jù)題意結(jié)果與無關(guān)，根據(jù)（1）的方法求得的關(guān)系．【詳解】（1）代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，解得（2），，代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，解得；（3）設(shè)，則，當(dāng)AB的長變化時(shí)，的值始終保持不變，．即．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，理解題意是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江西撫州·八年級期中）張老師組織學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組展開探究發(fā)現(xiàn)：……(1)啟航小組提出的問題是：試求的值，請你合理推算；(2)展翅小組提出的問題是：判斷的值的末位數(shù)是幾，請你寫出推斷過程；(3)創(chuàng)新小組提出的問題是：計(jì)算，請你認(rèn)真思考并寫出解題過程．【答案】(1)63(2)的末位數(shù)字是3，推斷過程見解析(3)，解題過程見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，然后計(jì)算求解即可；（2）由題意知，原式，從2的1次冪開始，末位數(shù)依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……，可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：末位數(shù)以4為周期進(jìn)行循環(huán)，，可知的末位數(shù)字是4，進(jìn)而可知的末位數(shù)字；（3）可寫成的形式，然后進(jìn)行計(jì)算即可．(1)解：(2)解：由題意知：原式從2的1次冪開始，末位數(shù)依次是2、4、8、6、2、4、8、6、2、4、8、6……可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：末位數(shù)以4為周期進(jìn)行循環(huán)∵∴的末位數(shù)字是4∴的末位數(shù)字是3．(3)解：【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法規(guī)律的探究．解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于理解運(yùn)算過程并推導(dǎo)出一般性規(guī)律．21．（2022·江西宜春·八年級期末）觀察下列各式：；；；……根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：(1)______；______；(2)．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）觀察已知等式，歸納總結(jié)確定出所求即可；（2）將原式變形為，根據(jù)所得規(guī)律計(jì)算即可.(1)解：歸納總結(jié)得：；；故答案為：；(2)解：原式==.【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，觀察等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．22．（2021·陜西·西安市中鐵中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n為大于3的正整數(shù)），并證明你的結(jié)論；（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論計(jì)算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．【答案】（1）x4?1；（2）xn＋1?1，理由見詳解；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可求解；（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫，再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則證明即可；（3）利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果；（4）兩個(gè)數(shù)一組分別提取公因數(shù)，再把底數(shù)化為9，利用得出的規(guī)律計(jì)算，即可求解．【詳解】解：（1）解：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4?1，故答案是：x4?1；

（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4?1，∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn