【期末復習】專題03用二元一次方程組、分式方程解決實際問題共40題(原卷版+解析)

專題03用二元一次方程組、分式方程解決實際問題【考點一解決實際問題列二元一次方程組】1．（2021·全國·八年級單元測試）《孫子算經》記載：今有3人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文：今有若干人乘車，若每三人共乘一輛車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一輛車，最終剩余9人無車可乘．問共有多少人？多少輛車？若設有x人，y輛車，則可列方程組為__________．2．（2022·江西吉安·八年級期末）中國古代的數(shù)學專著《九章算術》有方程組問題“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據題意，可得方程組為_______________．3．（2022·江蘇·徐州市新城實驗學校一模）《九章算術》原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何?譯文：現(xiàn)有一些人共買一個物品，每人出8錢，還盈余3錢；每人出7錢，則還差4錢，問共多少人，物品價格多少錢?設共有x人，物品的價格是y錢，則可列方程組為____________·4．（2022·廣東·廣州市番禺區(qū)教師進修學校（廣州市番禺區(qū)教師發(fā)展中心）七年級期末）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價．在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元．設甲服裝的成本是元，乙服裝的成本是元，根據題意可列方程組為______________．5．（2021·吉林四平·七年級期末）新冠疫情得到有效控制后，媽媽去藥店為即將開學的楊光和已經復工的爸爸購買口罩．若買50只一次性醫(yī)用口罩和15只N95口罩需付325元；若買60只一次性醫(yī)用口罩和30只N95口罩需付570元．設一只一次性醫(yī)用口罩元，一只N95口罩元，根據題意，可列方程組為____________．6．（2021·廣東·湛江市雷陽實驗學校七年級階段練習）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，譯文為：現(xiàn)有幾個人共同購買一個物品，每人出8元，則多3元；每人出7元，則差4元，問共有幾個人購買此物品？設有人共同購買，則列出的方程是______________7．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）某校為美化校園，計劃對一些區(qū)域進行綠化，安排了甲、乙兩個工程隊完成，兩隊共完成了面積為400m2區(qū)域的綠化．已知甲隊每天能完成綠化的面積是10m2，乙隊每天能完成綠化的面積是5m2，甲隊比乙隊晚10天完成任務．設甲隊和乙隊分別完成的綠化面積為xm2和ym2，根據題意列出方程組：______________．8．（2022·四川·九年級專題練習）某商店購進A、B兩種商品共50件．已知這兩種商品的進貨單價與銷售單價如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據題意可列方程組______．商品類別進貨單價（元/件）銷售單價（元/件）A3040B4055【考點二解決實際問題列分式方程】1．（2022·山東濰坊·一模）為提升晚高峰車輛的通行速度，某市設置潮汐車道，首條潮汐車道從市政府廣場到人民公園，全程約3千米．該路段實行潮汐車道設置后，在晚高峰期間，通過該路段的車輛的行駛速度平均提升25%，行駛時間平均減少2分鐘．設實施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則可列方程為__________．2．（2022·遼寧鞍山·一模）某高科技企業(yè)要完成6000個零件的生產任務，按原計劃工作一天后，為了盡快完成該項任務，延長了工作時間，之后每天生產的零件數(shù)量是原計劃的倍，結果提前3天完成任務，求原計劃每天生產零件多少個？設原計劃每天生產零件x個，則可列方程為______．3．（2022·四川眉山·八年級期中）“綠水青山就是金山銀山”，為改善環(huán)境，某村計劃在荒山上種植960棵樹苗，實際比原計劃每天多種20棵樹苗，結果提前4天完成任務，原計劃每天種樹苗多少棵？設原計劃每天種樹苗x棵，根據題意可列出方程為____________．4．（2022·山東青島·一模）高鐵為居民出行提供了便利，從鐵路沿線相距360公里的甲地到乙地，乘坐高鐵列車比乘坐普通列車少用3小時．已知高鐵列車的平均速度是普通列車平均速度的3倍，設普通列車的平均速度為x公里/小時，則根據題意可得方程____________．5．（2022·云南·云大附中模擬預測）疫情無情人有情，某制藥廠要為抗擊疫情第一線捐贈一種急救藥品，有兩種包裝，大瓶比小瓶可多裝20克該藥品，已知120克這一藥品單獨裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍．設小瓶每個可裝這一藥品x克，則可列方程為_______．6．（2022·山東·青島大學附屬中學一模）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑．針對疫苗應急需問題，某制藥廠緊急批量生產，計劃每天生產疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工廠不能按時到廠．為了應對疫情，回廠的工人加班生產，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天只能生產疫苗15萬劑．設該廠當前參加生產的工人有x人，根據題意可列方程為：________．7．（2022·廣西南寧·八年級期末）“共和國勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平培育的雜交水稻解決了全球多個國家的溫飽問題．某試驗基地現(xiàn)有、兩塊試驗田，分別種植甲、乙兩種雜交水稻，今年兩塊實驗田分別收獲了24噸和30噸水稻．已知甲種雜交水稻的畝產量是乙種雜交水稻的畝產量的1.2倍，塊試驗田比塊試驗田少10畝，設乙種雜交水稻的畝產量是噸，則可列得的方程為___________．8．（2022·吉林四平·八年級期末）斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A-B-C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=12米，在綠燈亮時，小敏共用22秒通過AC，其中通過BC的速度是通過AB速度的1.2倍，求小敏通過AB時的速度．設小敏通過AB時的速度是x米/秒，根據題意列方程為_____．【考點三用二元一次方程組解決實際問題】1．（2022·海南·陵水黎族自治縣教研培訓中心一模）為了更好地提高業(yè)主垃圾分類的意識，某小區(qū)管理處決定在小區(qū)內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買3個溫馨提示牌和5個垃圾箱共需要490元，且每個溫馨提示牌比垃圾箱便宜50元．求購買1個溫馨提示牌和1個垃圾箱各需要多少元．2．（2022·海南省直轄縣級單位·一模）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共，其中橋梁長度比隧道長度的9倍少，求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．3．（2022·海南華僑中學一模）在疫情防控期間，某中學為保障廣大師生生命健康安全購進一批免洗手消毒液和84消毒液．如果購買100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，供需花費1500元；如果購買120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，供需花費1720元．每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價格分別是多少元？4．（2021·上海·復旦二附中期末）《九章算術》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”大意是：甲、乙二人帶著錢，不知多少，若甲得到乙的錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為50；若乙得到甲的錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也能為50，問甲、乙各有多少錢？5．（2022·海南省直轄縣級單位·八年級期中）2022北京冬奧會已圓滿結束，北京冬（殘）奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起廣大網友的喜愛．王老師想要購買兩種吉祥物作為本次冬奧會的紀念品，已知購買2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，購買3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求兩種紀念品的單價．6．（2022·重慶市巴川中學校七年級期中）草場收割隊每小時需要割草54畝，現(xiàn)決定向某大型機械租賃公司租用甲、乙兩種型弓的割草機來完成這項工作（兩種都要租），已知該公司一臺甲型割草機與一臺乙型割草機每小時共割草14畝，5臺甲型收割機與3臺乙型收割機恰好能完成每小時的收割量．(1)求每臺甲型收割機與每臺乙型收割機每小時各割草多少畝？(2)該收割隊恰好完成每小時的割草量，請設計該收割隊的租用方案．7．（2022·廣西崇左·七年級期末）一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務人員主動請纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運送愛心物資，兩次滿載的運輸情況如表：甲種貨車（輛）乙種貨車（輛）物資總量（噸）第一次2110第二次1211(1)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？(2)現(xiàn)有31噸物資需要再次運往武漢，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？8．（2022·山東菏澤·八年級期末）面對當前疫情形勢，國家迅速反應，果斷決策，全民積極行動，籌款為貧因地區(qū)捐贈了一批消毒液．現(xiàn)要將消毒液運往該區(qū)．已知用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸．現(xiàn)有消毒液19噸．計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿消毒液．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送多少噸？(2)請你幫我們設計租車方案；(3)若1輛A型車需租金90元/次，1輛B型車需租金110元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．9．（2022·浙江·臺州市書生中學七年級期中）在我校藝術節(jié)的各項比賽中，七年級某班同學取得了優(yōu)秀的成績，為了表彰同學們，王老師特意到新華書店買書給學生作為獎勵，書城二樓專設折售書架，銷售文教類圖書，部分書籍和標價如下表：文教類圖書原價（元）中國歷史故事50名人名言20幻夜25(1)若王老師在書城買了《中國歷史故事》和《名人名言》一共本，共付了元錢，請求出這兩種書王老師各買了多少本？(2)若王老師買了以上三種書每種都有本，共付了元錢，求王老師的購買方案？10．（2020·浙江嘉興·七年級期中）某市教育局捐資購買了一批物資120噸打算支援山區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸/輛）5810汽車運費（元/輛）300400500(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費6400元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？(2)為了節(jié)省運費，該教育局打算用甲、乙、丙三種車型同時參與運送，已知它們的總輛數(shù)為16輛，你能分別求出三種車型的輛數(shù)嗎？(3)求出哪種方案的運費最?。孔钍∵\費是多少元？11．（2022·湖北十堰·七年級期中）為更好落實“雙減”精神，提高課后延時服務質量，某校根據學校實際，決定本學期開設更多運動項目，讓更多學生參加體育鍛煉，各班自主選擇購買兩種體育器材．(1)七（1）班有部分同學準備統(tǒng)一購買新的足球和跳繩．經班長統(tǒng)計共需要購買足球的有12名同學，需要購買跳繩的有10名同學，請你根據如圖中班長和售貨員阿姨的對話信息，分別求出足球和跳繩的單價；(2)由于足球和跳繩需求量增大，該體育用品商店老板計劃再次購進足球a個和跳繩b根(其中a＞15)，恰好用了1800元，其中足球每個進價為80元，跳繩每根的進價為15元，則最多可以買多少根跳繩？【考點四用二元一次方程組和分式方程解決實際問題】1．（2022·江蘇·二模）今年的3月12日植樹節(jié)當天，某學校組織了該校九年級學生參加“用勞動創(chuàng)造美，讓校園更綠色”的主題教育活動．本次主題教育活動學校購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹樹苗，已知購買的桃樹和梨樹的樹苗分別花費了210元和180元，且已知購買的桃樹樹苗單價比梨樹的樹苗單價多5元，問桃樹的單價是多少？2．（2022·遼寧·黑山縣教師進修學校一模）2022年春季的疫情牽動著全國人民的心．“一方有難、八方支援”，某廠計劃生1800萬個口罩支援疫區(qū)，為盡快把口罩發(fā)往災區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計劃的1.5倍，結果比原計劃提前3天完成了生產任務．求原計劃每天生產多少萬個口罩？3．（2022·福建莆田·一模）為了更好開展勞動教育，某校采購了一批木板供學生組裝成課桌和椅子．該校共采購類木板400塊；類木板500塊．已知一張課桌需要2塊類木塊和1塊木塊，一把椅子需要1塊類木板和2塊類木板．(1)這批木板可以組裝成多少張課桌和多少把椅子？(2)現(xiàn)安排正在上勞動實踐課的九年（1）班的30名學生來組裝課桌和椅子，已知一名學生組裝一張課桌需要10分鐘，組裝一把椅子需要7分鐘．應當如何分組，才能最快完成全部組裝任務？4．（2022·江蘇宿遷·二模）學校趣味運動會組織跳繩項目，購買跳繩經費最多95元．某商店有A，B，C三個型號的跳繩，跳繩價格如下表所示，已知B型長度是A型兩倍，C型長度是A型三倍（同個型號跳繩長度一樣），用80米繩子制作A型的數(shù)量比120米繩子制作B型的數(shù)量還多5根．規(guī)格A型B型C型單價（元/條）469(1)求三種型號跳繩的長度．(2)若購買三種跳繩經費剛好用完，其中A型和B型跳繩條數(shù)一樣多，且所有跳繩總長度為120米，求購買A型跳繩的數(shù)量．5．（2022·湖南常德·一模）常德市某校購進一批甲、乙兩種中考排球，已知一個甲種排球的價格與一個乙種排球的價格的和為元，用元購進甲種排球的個數(shù)與用元購進乙種排球的個數(shù)相同．(1)求每個甲種、乙種排球的價格分別是多少元？(2)該校計劃用元購買甲、乙兩種排球，由于采購人員把甲、乙兩種排球的個數(shù)互換了，結果需元，求該校原計劃購進甲、乙兩種排球各多少個？6．（2022·山東青島·一模）為厲行節(jié)能減排，倡導綠色出行，“共享單車”登陸某市中心城區(qū)，某公司擬在甲、乙兩個街道社區(qū)投放一批“共享單車”，這批自行車包括A，B兩種不同款型．請解決下列問題：(1)該公司早期在甲街區(qū)進行了試點投放，共投放A，B兩型自行車各50輛，投放成本共計20500元，其中B型車的成本單價比A型車高10元，求A，B兩型自行車的成本單價各是多少？(2)該公司決定采取如下投放方式：甲街區(qū)每1000人投放a輛“共享單車”，乙街區(qū)每1500人投放2a輛“共享單車”，按照這種投放方式，甲街區(qū)共投放1500輛，乙街區(qū)共投放1200輛，如果兩個街區(qū)共有12萬人，試求a的值．7．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）某汽車公司有甲、乙兩種貨車可供租用，現(xiàn)有一批貨物要運往某地，貨主準備租用該公司貨車，已知甲，乙兩種貨車運貨情況如表：第一次第二次甲種貨車（輛）25乙種貨車（輛）36累計運貨（噸）1328（1）甲、乙兩種貨車每輛可裝多少噸貨物？（2）王先生要租用該公司的甲、乙兩種貨車送一批貨，如果租用甲種貨車數(shù)量比乙種貨車數(shù)量多1輛，而乙種貨車每輛的運費是甲種貨車的1.4倍，結果甲種貨車共付運費800元，乙種貨車共付運費980元，試求此次甲、乙兩種貨車每輛各需運費多少元？8．（2022·江蘇·八年級專題練習）某糕點加工點受資金和原料保質期等因素影響，在購買主要原料面包粉和蛋糕粉時需分次購買．下表是該店最近三次購進原料的數(shù)量與總金額，其中前兩次是按原價購買，第三次享受了優(yōu)惠．第一次第二次第三次面包粉（袋）235蛋糕粉（袋）458總金額（元）520700912(1)第三次購買的總金額比按原價購買節(jié)省了多少錢？(2)該店第四次購買原料時，按照第三次購買的經驗，預算912元，仍需購買5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的過程中，發(fā)現(xiàn)優(yōu)惠方式又發(fā)生了變化，相較于原價，每袋蛋糕粉降低的價格是每袋面包粉降低的價格的兩倍，這時用576元能夠買到面包粉的袋數(shù)是蛋糕粉袋數(shù)的．預算夠嗎？9．（2021·浙江寧波·七年級期末）端午節(jié)前夕，肉粽的單價比蜜棗粽的單價多4元，用200元購買肉粽與用100元購買蜜棗粽的只數(shù)相同．（1）肉粽和蜜棗粽的單價分別是多少元？（2）某商鋪端午節(jié)前夕用800元購買了肉粽和蜜棗粽；端午節(jié)后由于肉粽單價打了6折，蜜棗粽的單價打了5折，該商鋪又買了與節(jié)前同樣數(shù)量的肉粽和蜜棗粽，只花了420元，求該商鋪每次購買肉粽和蜜棗粽的只數(shù)．【答案】（1）肉粽的單價為8元，蜜棗粽的單價為4元；（2）每次購買肉粽25只，購買蜜棗粽150只【解析】【分析】（1）設蜜棗粽的單價為元，則肉粽的單價為元，再根據用200元購買肉粽與用100元購買蜜棗粽的只數(shù)相同，列方程，解方程可得答案；（2）設每次購買肉粽只，購買蜜棗粽只，再利用節(jié)前的兩種粽子的總價之和為800元，節(jié)后兩種粽子的總價之和為420元，列方程組，再解方程組可得答案.【詳解】解：（1）設蜜棗粽的單價為元，則肉粽的單價為元由題意得：，解得：，經檢驗得：是原方程的根，∴答：肉粽的單價為8元，蜜棗粽的單價為4元．（2）設每次購買肉粽只，購買蜜棗粽只由題意得：，解得：．答：每次購買肉粽25只，購買蜜棗粽150只．【點睛】本題考查的是分式方程的應用，二元一次方程組的應用，理解題意，確定好相等關系是解題的關鍵.10．（2021·浙江湖州·七年級期末）為開展“光盤行動”，某學校食堂規(guī)定，每天午餐“光盤”的學生，餐后可獲得免費香蕉一只或免費橘子兩只作為獎勵．在兩天時間里，學校食堂花費1800元采購了單價相同的香蕉若干千克，花費1500元采購了單價相同的橘子若干千克用于獎勵，并剛好全部獎勵完．已知這兩天采購的香蕉比橘子多75千克，香蕉每千克的價格比橘子每千克的價格低20%．（1）求橘子的采購單價；（2）若平均每千克香蕉有8只，每千克橘子有12只，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)比第一天的3倍少100人，問這兩天分別有多少學生獲得獎勵？【答案】（1）橘子的采購單價為每千克10元；（2）第一天，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)分別為700人，2000人【解析】【分析】（1）設橘子的采購單價為每千克元，則香蕉的價格為每千克元，然后根據這兩天采購的香蕉比橘子多75千克，列出方程求解即可；（2）先求出香蕉和橘子的熟練，然后設第一天，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)分別為a人，b人，根據，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)比第一天的3倍少100人，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）設橘子的采購單價為每千克元，則香蕉的價格為每千克元，依題意，可得，，

解得，

經檢驗，是原方程的解且符合題意．

答：橘子的采購單價為每千克10元；（2）香蕉的數(shù)量為（只），

橘子的數(shù)量為（只），

設第一天，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)分別為a人，b人，依題意，可得，，

解得，，

答：第一天，第二天獲得獎勵的學生人數(shù)分別為700人，2000人．【點睛】本題主要考查了分式方程和二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵在于能夠根據題意找到等量關系列方程求解．11．（2021·浙江嘉興·七年級期末）某車行經營A，B兩種型號的電瓶車，已知A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和2500元．（1）該車行去年A型車銷售總額為8萬元，今年A型車每輛售價比去年降低200元，若今年A型車的銷售量與去年相同，則A型車銷售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車的售價．（2）今年第三季度該車行計劃用3萬元再購進A，B兩種型號的電瓶車若干輛，問：①一共有幾種進貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車的利潤率為24%，①中哪種方案利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＝售價﹣成本，利潤率＝利潤÷成本×100%）．【答案】（1）去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①一共有3種進貨方案；②方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【解析】【分析】（1）設去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結合今年A型車的銷售量與去年相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）①設購進A型車m輛，B型車n輛，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為正整數(shù)，即可得出各進貨方案；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，即可分別求出選擇各方案的總利潤，比較后即可得出結論．【詳解】解：（1）設去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，依題意得：＝，解得：x＝2000，經檢驗，x＝2000是原方程的解，且符合題意．答：去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①設購進A型車m輛，B型車n輛，依題意得：1500m＋2500n＝30000，∴m＝20?n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴一共有3種進貨方案，方案1：購進A型車15輛，B型車3輛；方案2：購進A型車10輛，B型車6輛；方案3：購進A型車5輛，B型車9輛．②選擇方案1的利潤為（2000?200?1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；選擇方案2的利潤為（2000?200?1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；選擇方案3的利潤為（2000?200?1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）①找準等量關系，正確列出二元一次方程；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，求出選擇各方案的總利潤．12．（2021·浙江金華·七年級期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地攤經濟”，每個攤位的占地面積A類比B類多2平方米．建A類，B類攤位每平方米的費用分別為40元，30元．若用60平方米建A類或B類攤位，則A類攤位的個數(shù)恰好是B類攤位個數(shù)的．（1）求每個A，B類攤位的占地面積．（2）已知該社區(qū)規(guī)劃用地70平方米建攤位，且剛好全部用完．①請寫出建A，B兩類攤位個數(shù)的所有方案，并說明理由．②請預算出該社區(qū)建成A，B兩類攤位需要投入的最大費用．【答案】（1）每個A類攤位的占地面積為5平方米，則每個A類攤位的占地面積為3平方米；（2）①見解析；②2650元【解析】【分析】（1）設每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積為（x+2）平方米，由題意：若用60平方米建A類或B類攤位，則A類攤位的個數(shù)恰好是B類攤位個數(shù)的．列出分式方程，解方程即可；（2）①設建A類攤位a個，B類攤位b個，由題意：該社區(qū)規(guī)劃用地70平方米建攤位，且剛好全部用完．列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可；②求出建成A、B兩類攤位需要投入的費用為-30b+2800，b越小，費用越大，即可求解．【詳解】解：（1）設每個B類攤位的占地面積為x平方米，則每個A類攤位的占地面積為（x+2）平方米，由題意得：，解得：x=3，經檢驗，x=3是原方程的解，則x+2=5，答：每個A類攤位的占地面積為5平方米，則每個A類攤位的占地面積為3平方米；（2）①有4個方案，理由如下：設建A類攤位a個，B類攤位b個，由題意得：5a+3b=70，則a=14-b，∵a、b為正整數(shù)，∴或或或，∴共有4個方案：A類攤位11個，B類攤位5個；A類攤位8個，B類攤位10個；A類攤位5個，B類攤位15個；A類攤位2個，B類攤位20個；②建成A、B兩類攤位需要投入的費用為：40×5a+30×3b=200（14-b）+90b=-30b+2800，∵b越小，費用越大，∴當b=5時，費用最大值=-30×5+2800=2650（元），即該社區(qū)建成A、B兩類攤位需要投入的最大費用為2650元．【點睛】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程的應用等知識；找準等量關系，列出分式方程和二元一次方程是解題的關鍵．專題03用二元一次方程組、分式方程解決實際問題【考點一解決實際問題列二元一次方程組】1．（2021·全國·八年級單元測試）《孫子算經》記載：今有3人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文：今有若干人乘車，若每三人共乘一輛車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一輛車，最終剩余9人無車可乘．問共有多少人？多少輛車？若設有x人，y輛車，則可列方程組為__________．【答案】【解析】【分析】根據兩種乘車方式，找出等量關系，由此建立方程組即可．【詳解】依題意，得：．故答案為：【點睛】本題考查了列二元一次方程組，依據題意，正確找出等量關系是解題關鍵．2．（2022·江西吉安·八年級期末）中國古代的數(shù)學專著《九章算術》有方程組問題“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據題意，可得方程組為_______________．【答案】【解析】【分析】根據五只雀，六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重列出方程即可．【詳解】解：設每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，由根據題意得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意是解題的關鍵．3．（2022·江蘇·徐州市新城實驗學校一模）《九章算術》原文如下：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何?譯文：現(xiàn)有一些人共買一個物品，每人出8錢，還盈余3錢；每人出7錢，則還差4錢，問共多少人，物品價格多少錢?設共有x人，物品的價格是y錢，則可列方程組為____________·【答案】【解析】【分析】找出題中的等量關系，列出相應的的方程組，即可得．【詳解】解：根據題意得，故答案為：．【點睛】本題考查了列方程組解應用題，解題的關鍵是理解題意，找出題中的等量關系．4．（2022·廣東·廣州市番禺區(qū)教師進修學校（廣州市番禺區(qū)教師發(fā)展中心）七年級期末）甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價．在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元．設甲服裝的成本是元，乙服裝的成本是元，根據題意可列方程組為______________．【答案】【解析】【分析】設甲服裝的成本是x元，乙服裝的成本是y元，根據“甲、乙兩件服裝的成本共500元，”“共獲利157元”，列方程組解決問題．【詳解】解：設甲服裝的成本是x元，乙服裝的成本是y元，由題意得，故答案為：．【點睛】此題考查從實際問題中抽出二元一次方程組，找出題目蘊含的數(shù)量關系是解決問題的關鍵．5．（2021·吉林四平·七年級期末）新冠疫情得到有效控制后，媽媽去藥店為即將開學的楊光和已經復工的爸爸購買口罩．若買50只一次性醫(yī)用口罩和15只N95口罩需付325元；若買60只一次性醫(yī)用口罩和30只N95口罩需付570元．設一只一次性醫(yī)用口罩元，一只N95口罩元，根據題意，可列方程組為____________．【答案】【解析】【分析】根據買50只一次性醫(yī)用口罩和15只N95口罩需付325元；買60只一次性醫(yī)用口罩和30只N95口罩需付570元．列二元一次方程組即可.【詳解】解：由題意得：，故答案為：.【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，找準題中等量關系列方程是解題關鍵．6．（2021·廣東·湛江市雷陽實驗學校七年級階段練習）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，譯文為：現(xiàn)有幾個人共同購買一個物品，每人出8元，則多3元；每人出7元，則差4元，問共有幾個人購買此物品？設有人共同購買，則列出的方程是______________【答案】【解析】【分析】設共有x個人合買物品，該物品的價格是y元，根據“每人出8元，則多3元；每人出7元，則差4元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組即可．【詳解】解：設共有x個人合買物品，該物品的價格是y元，依題意，得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．7．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）某校為美化校園，計劃對一些區(qū)域進行綠化，安排了甲、乙兩個工程隊完成，兩隊共完成了面積為400m2區(qū)域的綠化．已知甲隊每天能完成綠化的面積是10m2，乙隊每天能完成綠化的面積是5m2，甲隊比乙隊晚10天完成任務．設甲隊和乙隊分別完成的綠化面積為xm2和ym2，根據題意列出方程組：______________．【答案】【解析】【分析】兩隊共完成了面積為400m2區(qū)域的綠化．已知甲隊每天能完成綠化的面積是10m2，乙隊每天能完成綠化的面積是5m2，甲隊比乙隊晚10天完成任務．列出方程組即可；【詳解】設甲隊和乙隊分別完成的綠化面積為xm2和ym2，根據題意可得：，故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．8．（2022·四川·九年級專題練習）某商店購進A、B兩種商品共50件．已知這兩種商品的進貨單價與銷售單價如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據題意可列方程組______．商品類別進貨單價（元/件）銷售單價（元/件）A3040B4055【答案】【解析】【分析】根據題意即可直接列出方程組．【詳解】設商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據題意可列方程組，故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用．根據題意找出等量關系，列出等式是解題關鍵．【考點二解決實際問題列分式方程】1．（2022·山東濰坊·一模）為提升晚高峰車輛的通行速度，某市設置潮汐車道，首條潮汐車道從市政府廣場到人民公園，全程約3千米．該路段實行潮汐車道設置后，在晚高峰期間，通過該路段的車輛的行駛速度平均提升25%，行駛時間平均減少2分鐘．設實施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則可列方程為__________．【答案】【解析】【分析】實施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則實行潮汐車道后，在晚高峰期間通過該路段的車輛的行駛速度為千米/小時，根據實行潮汐車道前后的時間關系建立方程即可，注意時間要化成小時．【詳解】由題意得，實施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則實行潮汐車道后，在晚高峰期間通過該路段的車輛的行駛速度為千米/小時，則列出方程：，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象成分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．2．（2022·遼寧鞍山·一模）某高科技企業(yè)要完成6000個零件的生產任務，按原計劃工作一天后，為了盡快完成該項任務，延長了工作時間，之后每天生產的零件數(shù)量是原計劃的倍，結果提前3天完成任務，求原計劃每天生產零件多少個？設原計劃每天生產零件x個，則可列方程為______．【答案】【解析】【分析】設原計劃每天生產零件x個，則實際每天生產零件為個，根據提前3天完成任務，列方程即可．【詳解】解：設原計劃每天生產零件x個，則實際每天生產零件為個，由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程即可．3．（2022·四川眉山·八年級期中）“綠水青山就是金山銀山”，為改善環(huán)境，某村計劃在荒山上種植960棵樹苗，實際比原計劃每天多種20棵樹苗，結果提前4天完成任務，原計劃每天種樹苗多少棵？設原計劃每天種樹苗x棵，根據題意可列出方程為____________．【答案】【解析】【分析】根據題意，找出等量關系式：原計劃所用天數(shù)-實際所用天數(shù)=4，進而列出方程．【詳解】解：由題意，得故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的實際問題，找到等量關系式是解決問題的關鍵．4．（2022·山東青島·一模）高鐵為居民出行提供了便利，從鐵路沿線相距360公里的甲地到乙地，乘坐高鐵列車比乘坐普通列車少用3小時．已知高鐵列車的平均速度是普通列車平均速度的3倍，設普通列車的平均速度為x公里/小時，則根據題意可得方程____________．【答案】【解析】【分析】設普通列車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度是3x千米/時，根據乘坐高鐵比乘坐普通列車少用3h，列出分式方程即可．【詳解】解：設普通列車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度是3xkm/h，根據題意得：．故答案為：．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關系列出方程．5．（2022·云南·云大附中模擬預測）疫情無情人有情，某制藥廠要為抗擊疫情第一線捐贈一種急救藥品，有兩種包裝，大瓶比小瓶可多裝20克該藥品，已知120克這一藥品單獨裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍．設小瓶每個可裝這一藥品x克，則可列方程為_______．【答案】【解析】【分析】設小瓶每個可裝這一藥品x克，則大瓶每個可裝這一藥品(x＋20)克，根據“120克這一藥品單獨裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍”即可列出方程．【詳解】解：設小瓶每個可裝這一藥品x克，則大瓶每個可裝這一藥品(x＋20)克，由題意得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，理解題意，找到合適的等量關系列方程是解決問題的關鍵．6．（2022·山東·青島大學附屬中學一模）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑．針對疫苗應急需問題，某制藥廠緊急批量生產，計劃每天生產疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工廠不能按時到廠．為了應對疫情，回廠的工人加班生產，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天只能生產疫苗15萬劑．設該廠當前參加生產的工人有x人，根據題意可列方程為：________．【答案】【解析】【分析】設當前參加生產的工人有x人，然后根據計劃每天生產疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時到廠．為了應對疫情，回廠的工人加班生產，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天只能生產疫苗15萬劑，列出方程即可．【詳解】解：設當前參加生產的工人有x人，依題意得：．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵在于能夠準確理解題意，列出方程．7．（2022·廣西南寧·八年級期末）“共和國勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平培育的雜交水稻解決了全球多個國家的溫飽問題．某試驗基地現(xiàn)有、兩塊試驗田，分別種植甲、乙兩種雜交水稻，今年兩塊實驗田分別收獲了24噸和30噸水稻．已知甲種雜交水稻的畝產量是乙種雜交水稻的畝產量的1.2倍，塊試驗田比塊試驗田少10畝，設乙種雜交水稻的畝產量是噸，則可列得的方程為___________．【答案】【解析】【分析】設乙種雜交水稻的畝產量是x噸，則甲種雜交水稻的畝產量1.2x噸，根據“A塊試驗田比B塊試驗田少10畝”作為等量關系列方程．【詳解】解:設乙種雜交水稻的畝產量是x噸，則甲種雜交水稻的畝產量1.2x噸，根據題意得，故答案為．【點睛】本題考查列分式方程，解決問題的關鍵是確定滿足題意的等量關系．8．（2022·吉林四平·八年級期末）斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A-B-C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=12米，在綠燈亮時，小敏共用22秒通過AC，其中通過BC的速度是通過AB速度的1.2倍，求小敏通過AB時的速度．設小敏通過AB時的速度是x米/秒，根據題意列方程為_____．【答案】【解析】【分析】設小敏通過AB時的速度是x米/秒，則通過BC的速度是1.2x米/秒，根據題意列出分式方程解答即可．【詳解】解：設小敏通過AB時的速度是x米/秒，依題意可得：，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．【考點三用二元一次方程組解決實際問題】1．（2022·海南·陵水黎族自治縣教研培訓中心一模）為了更好地提高業(yè)主垃圾分類的意識，某小區(qū)管理處決定在小區(qū)內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買3個溫馨提示牌和5個垃圾箱共需要490元，且每個溫馨提示牌比垃圾箱便宜50元．求購買1個溫馨提示牌和1個垃圾箱各需要多少元．【答案】購買1個溫馨提示牌需要30元，購買1個垃圾箱需要80元【解析】【分析】設購買1個溫馨提示牌需要x元，購買1個垃圾箱需要y元，根據買3個溫馨提示牌和5個垃圾箱共需要490元，且每個溫馨提示牌比垃圾箱便宜50元列出方程，解方程即可求出答案．【詳解】設購買1個溫馨提示牌需要x元，購買1個垃圾箱需要y元．根據題意得：

解得答：購買1個溫馨提示牌需要30元，購買1個垃圾箱需要80元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，能夠找到等量關系是解決問題的關鍵．2．（2022·海南省直轄縣級單位·一模）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，它由橋梁和隧道兩部分組成，橋梁和隧道全長共，其中橋梁長度比隧道長度的9倍少，求港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度．【答案】港珠澳大橋的橋梁長度49km，隧道長度6km【解析】【分析】設港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為，由橋梁和隧道全長共，得，橋梁長度比隧道長度的9倍少，得，然后列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設港珠澳大橋隧道長度為，橋梁長度為，根據題意得：由題意列方程組得：，解得：，答：港珠澳大橋的橋梁長度和隧道長度分別為和．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組．3．（2022·海南華僑中學一模）在疫情防控期間，某中學為保障廣大師生生命健康安全購進一批免洗手消毒液和84消毒液．如果購買100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，供需花費1500元；如果購買120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，供需花費1720元．每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價格分別是多少元？【答案】每瓶免洗手消毒液的價格為9元，每瓶84消毒液的價格為4元【解析】【分析】設每瓶免洗手消毒液的價格為x元，每瓶84消毒液的價格為y元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組求解即可．【詳解】解：設每瓶免洗手消毒液的價格為x元，每瓶84消毒液的價格為y元，依題意，得：，解得：答：每瓶免洗手消毒液的價格為9元，每瓶84消毒液的價格為4元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意列出方程組是解題的關鍵．4．（2021·上?！偷┒街衅谀毒耪滤阈g》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何？”大意是：甲、乙二人帶著錢，不知多少，若甲得到乙的錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為50；若乙得到甲的錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也能為50，問甲、乙各有多少錢？【答案】甲有37.5錢，乙有25錢【解析】【分析】設甲有x錢，乙有y錢，根據題意，列出方程組，即可求解．【詳解】解：設甲有x錢，乙有y錢，依題意得：，解得：答：甲有37.5錢，乙有25錢．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．5．（2022·海南省直轄縣級單位·八年級期中）2022北京冬奧會已圓滿結束，北京冬（殘）奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”引起廣大網友的喜愛．王老師想要購買兩種吉祥物作為本次冬奧會的紀念品，已知購買2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，購買3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．求兩種紀念品的單價．【答案】冰墩墩的單價是55元，雪容融的單價是40元【解析】【分析】設“冰墩墩”的單價是x元，“雪容融”的單價是y元，根據題意：購買2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共需310元，購買3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元即可列出二元一次方程組，然后解方程組即可得到答案.【詳解】解：設“冰墩墩”的單價是x元，“雪容融”的單價是y元，依題意得：，解得：．答：“冰墩墩”的單價是55元，“雪容融”的單價是40元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是審清題意，找到等量關系列出二元一次方程組.6．（2022·重慶市巴川中學校七年級期中）草場收割隊每小時需要割草54畝，現(xiàn)決定向某大型機械租賃公司租用甲、乙兩種型弓的割草機來完成這項工作（兩種都要租），已知該公司一臺甲型割草機與一臺乙型割草機每小時共割草14畝，5臺甲型收割機與3臺乙型收割機恰好能完成每小時的收割量．(1)求每臺甲型收割機與每臺乙型收割機每小時各割草多少畝？(2)該收割隊恰好完成每小時的割草量，請設計該收割隊的租用方案．【答案】(1)甲型號的割草機每小時割草6畝，乙型號的割草機每小時割草8畝；(2)可以租用5臺甲型割草機，3臺乙型割草機；或租用1臺甲型割草機，6臺乙型割草機．【解析】【分析】（1）設甲型號的割草機每小時割草x畝，乙型號的割草機每小時割草y畝，根據“一臺甲型割草機與一臺乙型割草機每小時共割草14畝，5臺甲型割草機與3臺乙型割草機每小時共割草54畝”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出答案；（2）設租用m臺甲型割草機、n臺乙型割草機，根據每小時共割草54畝，即可得出關于m、n的二元一次方程，結合m、n均為正整數(shù)即可得出租方用案．(1)解：設甲型號的割草機每小時割草x畝，乙型號的割草機每小時割草y畝．根據題意得：，解得：．答：甲型號的割草機每小時割草6畝，乙型號的割草機每小時割草8畝．(2)設租用m臺甲型割草機，n臺乙型割草機．根據題意得：6m+8n＝54，化簡得：3m+4n＝27，∴m＝9n．∵m、n均為正整數(shù)（兩種都要租，m、n均不能為0），∴或．答：可以租用5臺甲型割草機，3臺乙型割草機；或租用1臺甲型割草機，6臺乙型割草機．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據每小時共割草54畝結合m、n均為正整數(shù)，找出各租用方案．7．（2022·廣西崇左·七年級期末）一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務人員主動請纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運送愛心物資，兩次滿載的運輸情況如表：甲種貨車（輛）乙種貨車（輛）物資總量（噸）第一次2110第二次1211(1)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？(2)現(xiàn)有31噸物資需要再次運往武漢，準備同時租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？【答案】(1)甲種貨車每輛能裝貨3噸，乙種貨車每輛能裝貨4噸；(2)共有3種租車方案，方案1：租用9輛甲種貨車，1輛乙種貨車；方案2：租用5輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案3：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車．【解析】【分析】（1）根據題意和表格中的數(shù)據，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據題意，可以列出相應的二元一次方程，然后根據輛數(shù)為整數(shù)，即可寫出相應的租車方案；(1)設甲種貨車每輛能裝貨噸，乙種貨車每輛能裝貨噸，依題意得：，解得：，答：甲種貨車每輛能裝貨3噸，乙種貨車每輛能裝貨4噸；(2)設租用甲種貨車輛，乙種貨車輛，依題意得：，又，均為非負整數(shù)，或或，共有3種租車方案，方案1：租用9輛甲種貨車，1輛乙種貨車；方案2：租用5輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案3：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車．【點睛】本題考查二元一次方程（組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程組或方程．8．（2022·山東菏澤·八年級期末）面對當前疫情形勢，國家迅速反應，果斷決策，全民積極行動，籌款為貧因地區(qū)捐贈了一批消毒液．現(xiàn)要將消毒液運往該區(qū)．已知用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸．現(xiàn)有消毒液19噸．計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿消毒液．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送多少噸？(2)請你幫我們設計租車方案；(3)若1輛A型車需租金90元/次，1輛B型車需租金110元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送2噸，3噸；(2)共有3種租車方案：租8輛A型車，1輛B型車；租5輛A型車，3輛B型車；租2輛A型車，5輛B型車；(3)方案租2輛A型車，5輛B型車最省錢，最少租車費為730元【解析】【分析】（1）設1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送x噸，y噸，然后根據用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸列出方程求解即可；（2）根據（1）所求，結合題意可知，然后求出滿足題意的a、b的值即可得到答案；（3）分別算出三種方案的花費即可得到答案．(1)解：設1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送x噸，y噸，由題意得，解得，∴1輛A型車和1輛B型車都載滿消毒液一次可分別運送2噸，3噸；(2)解：由題意得，∴，∵a、b都是整數(shù)，∴當時，，當時，，當時，，∴一共有3種租車方案：租8輛A型車，1輛B型車；租5輛A型車，3輛B型車；租2輛A型車，5輛B型車；(3)解：方案租8輛A型車，1輛B型車的花費為元，方案租5輛A型車，3輛B型車的花費為元，方案租2輛A型車，5輛B型車的花費為元，∵，∴方案租2輛A型車，5輛B型車最省錢，最少租車費為730元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，二元一次方程的應用，有理數(shù)混合計算的應用，正確理解題意列出式子是解題的關鍵．9．（2022·浙江·臺州市書生中學七年級期中）在我校藝術節(jié)的各項比賽中，七年級某班同學取得了優(yōu)秀的成績，為了表彰同學們，王老師特意到新華書店買書給學生作為獎勵，書城二樓專設折售書架，銷售文教類圖書，部分書籍和標價如下表：文教類圖書原價（元）中國歷史故事50名人名言20幻夜25(1)若王老師在書城買了《中國歷史故事》和《名人名言》一共本，共付了元錢，請求出這兩種書王老師各買了多少本？(2)若王老師買了以上三種書每種都有本，共付了元錢，求王老師的購買方案？【答案】(1)購買《中國歷史故事》5本，《名人名言》15本；(2)《中國歷史故事》買了1本，《名人名言》買了15本，《幻夜》買了4本【解析】【分析】（1）設購買《中國歷史故事》x本，《名人名言》y本，根據題中相等關系可得，解方程組可得答案；（2）設三種書分別買了x本、y本、z本，根據題中相等關系可得：，再利用方程組的解為正整數(shù)，從而可得答案．(1)解：設購買《中國歷史故事》x本，《名人名言》y本，根據題意得：，解得：，答：購買《中國歷史故事》5本，《名人名言》15本；(2)設三種書分別買了x本、y本、z本，根據題意得：，消去z得：20x-4y=-40，∴y=5x+10，∵x、y都是正整數(shù)，∴∴《中國歷史故事》買了1本，《名人名言》買了15本，《幻夜》買了4本．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，三元一次方程組的應用，理解題意，確定相等關系列方程組是解本題的關鍵．10．（2020·浙江嘉興·七年級期中）某市教育局捐資購買了一批物資120噸打算支援山區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設每輛車均滿載）車型甲乙丙汽車運載量（噸/輛）5810汽車運費（元/輛）300400500(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費6400元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？(2)為了節(jié)省運費，該教育局打算用甲、乙、丙三種車型同時參與運送，已知它們的總輛數(shù)為16輛，你能分別求出三種車型的輛數(shù)嗎？(3)求出哪種方案的運費最??？最省運費是多少元？【答案】(1)甲車8輛，乙車10輛；(2)甲車6輛，乙車5輛，丙車5輛，或甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛；(3)方案2甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛運費最省，需運費6200元.【解析】【分析】（1）設需甲車x輛，乙車y輛，根據運費6400元，總噸數(shù)是120，列出方程組，再進行求解即可；（2）設甲車有輛，乙車有輛，則丙車有輛，列出等式，再根據車輛數(shù)均為正整數(shù)，求出，的值，從而得出答案；（3）根據（2）中得出的兩種方案得出運費比較厚即可解答．(1)解：設需甲車x輛，乙車y輛，根據題意得，，解得，答：甲車8輛，乙車10輛；(2)解：設甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有（16﹣a﹣b）輛，由題意得，5a+8b+10（16﹣a﹣b）=120，化簡得5a+2b=40，即a=8﹣b，∵a，b，14﹣a﹣b均為正整數(shù)，∴當b=5，從而a=6，16﹣a﹣b=5，或當b=10，從而a=4，16﹣a﹣b=2，∴甲車6輛，乙車5輛，丙車5輛或甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛；(3)解：由（2）知分兩種情況分別來求運費：方案1：甲車6輛，乙車5輛，丙車5輛，需運費300×6+400×5+500×5=6300（元）；方案2：甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛，需運費300×4+400×10+500×2=6200（元）；，∴方案2甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛運費最省，答：方案2甲車4輛，乙車10輛，丙車2輛運費最省，需運費6200元．【點睛】本題考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程.11．（2022·湖北十堰·七年級期中）為更好落實“雙減”精神，提高課后延時服務質量，某校根據學校實際，決定本學期開設更多運動項目，讓更多學生參加體育鍛煉，各班自主選擇購買兩種體育器材．(1)七（1）班有部分同學準備統(tǒng)一購買新的足球和跳繩．經班長統(tǒng)計共需要購買足球的有12名同學，需要購買跳繩的有10名同學，請你根據如圖中班長和售貨員阿姨的對話信息，分別求出足球和跳繩的單價；(2)由于足球和跳繩需求量增大，該體育用品商店老板計劃再次購進足球a個和跳繩b根(其中a＞15)，恰好用了1800元，其中足球每個進價為80元，跳繩每根的進價為15元，則最多可以買多少根跳繩？【答案】(1)100元、20元(2)24根【解析】【分析】(1)設足球和跳繩的單價分別為x元、y元，由題意列出方程組，解方程組解可；(2)由題意得80a+15b=1800(a>15),當全買足球時，可買足球的數(shù)量為22.5,對a、b的值進行討論得兩種方案即可．(1)解：（1）設足球和跳繩的單價分別為x元、y元，由題意得：，解得：，答：足球和跳繩的單價分別為100元、20元；(2)解：由題意得：80a+15b＝1800，∴（a＞15），∵b＞0，∴，解得a＜22.5，∴15＜a＜22.5，且a為整數(shù)，當a＝18時，b＝24；當a＝21時，b＝8；a為其它整數(shù)時，b均不是整數(shù)，∴只能購進足球18個，跳繩24根或購進足球21個，跳繩8根，答：最多可買跳繩24根．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用等知識;理解題意,列出方程組和方程是解題的關鍵．【考點四用二元一次方程組和分式方程解決實際問題】1．（2022·江蘇·二模）今年的3月12日植樹節(jié)當天，某學校組織了該校九年級學生參加“用勞動創(chuàng)造美，讓校園更綠色”的主題教育活動．本次主題教育活動學校購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹樹苗，已知購買的桃樹和梨樹的樹苗分別花費了210元和180元，且已知購買的桃樹樹苗單價比梨樹的樹苗單價多5元，問桃樹的單價是多少？【答案】35元【解析】【分析】設桃樹樹苗的單價為x元，則梨樹的單價為(x-5)元，以購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹為等量關系，列出方程求解，再檢驗即可．【詳解】解：設桃樹樹苗的單價為x元，則梨樹的單價為(x-5)元，根據題意，得解這個方程，得x=35經檢驗，x=35是所列方程的根，且符合題意，答：桃樹樹苗的單價為35元．【點睛】本題考查分式方程的應用，讀懂題意，找出先等量關系，設恰當未知數(shù)，列出方程是解題的關鍵．2．（2022·遼寧·黑山縣教師進修學校一模）2022年春季的疫情牽動著全國人民的心．“一方有難、八方支援”，某廠計劃生1800萬個口罩支援疫區(qū)，為盡快把口罩發(fā)往災區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計劃的1.5倍，結果比原計劃提前3天完成了生產任務．求原計劃每天生產多少萬個口罩？【答案】原計劃每天生產200萬個口罩【解析】【分析】設原計劃每天生產x萬個口罩，根據工人把每天的工作效率提高到原計劃的1.5倍，結果比原計劃提前3天完成了生產任務，利用時間做為等量關系列方程求解即可．【詳解】解：設原計劃每天生產x萬個口罩，則依據題意，得：，解得：x=200，把x代入原方程，成立，∴x=200是原方程的解，且符合題意．答：原計劃每天生產200萬個口罩．【點睛】

本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵讀懂題意，找出列方程利用的等量關系，注意解分式方程需要檢驗．3．（2022·福建莆田·一模）為了更好開展勞動教育，某校采購了一批木板供學生組裝成課桌和椅子．該校共采購類木板400塊；類木板500塊．已知一張課桌需要2塊類木塊和1塊木塊，一把椅子需要1塊類木板和2塊類木板．(1)這批木板可以組裝成多少張課桌和多少把椅子？(2)現(xiàn)安排正在上勞動實踐課的九年（1）班的30名學生來組裝課桌和椅子，已知一名學生組裝一張課桌需要10分鐘，組裝一把椅子需要7分鐘．應當如何分組，才能最快完成全部組裝任務？【答案】(1)100張課桌，200把椅子(2)13名學生組裝課桌，17名學生組裝椅子，才能最快完成組裝任務【解析】【分析】（1）根據A，B類木板的總數(shù)相等列出方程組，求出解即可；（2）列出關于時間的分式方程，再討論比較即可．(1)設這批木板可以組裝成x張課桌，y把椅子，根據題意，得，解得，所以這批木板可以組裝成100張課桌，200把椅子；(2)設需要a名學生組裝課桌，則有（30-a）名學生組裝椅子，根據題意，令解得：；經檢驗，該值為原方程的解，由于實際問題中a應為整數(shù)，∴取a=12或a=13分別討論；當a=12時，組裝課桌用時為（分鐘），組裝椅子用時（分鐘），所以完成任務時間為分鐘，當a=13時，組裝課桌用時（分鐘），組裝椅子用時（分鐘）；所以完成任務的時間為分鐘．因為，所以應安排13名學生組裝課桌，17名學生組裝椅子才能最快完成全部組裝任務．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和分式方程的應用，解決本題的關鍵是理解題意，并選取特殊值進行討論．4．（2022·江蘇宿遷·二模）學校趣味運動會組織跳繩項目，購買跳繩經費最多95元．某商店有A，B，C三個型號的跳繩，跳繩價格如下表所示，已知B型長度是A型兩倍，C型長度是A型三倍（同個型號跳繩長度一樣），用80米繩子制作A型的數(shù)量比120米繩子制作B型的數(shù)量還多5根．規(guī)格A型B型C型單價（元/條）469(1)求三種型號跳繩的長度．(2)若購買三種跳繩經費剛好用完，其中A型和B型跳繩條數(shù)一樣多，且所有跳繩總長度為120米，求購買A型跳繩的數(shù)量．【答案】(1)A型跳繩的長度為4米，B型跳繩的長度為8米，C型跳繩的長度為12米(2)5【解析】【分析】（1）設A型跳繩的長度為x米，則B型跳繩的長度為2x米，C型跳繩的長度是3x米，由題意：用80米繩子制作A型的數(shù)量比120米繩子制作B型的數(shù)量還多5根．列出分式方程，解方程即可；（2）設購買A型跳繩a條，則購買B型跳繩a條，購買C型跳繩b條，由題意：購買三種跳繩經費剛好用完，其中A型和B型跳繩條數(shù)一樣多，且所有跳繩總長度為120米，列出二元一次方程組，解方程組即可．(1)設A型跳繩的長度為x米，則B型跳繩的長度為2x米，C型跳繩的長度是3x米，由題意得：，解得x＝4，經檢驗，x＝4是原方程的解，且符合題意，則2x＝8，3x＝12，答：A型跳繩的長度為4米，B型跳繩的長度為8米，C型跳繩的長度為12米．(2)設購買A型跳繩a條，則購買B型跳繩a條，購買C型跳繩b條，由題意可得：，解得：，答：購買A型跳繩5條．【點睛】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程組．5．（2022·湖南常德·一模）常德市某校購進一批甲、乙兩種中考排球，已知一個甲種排球的價格與一個乙種排球的價格的和為元，用元購進甲種排球的個數(shù)與用元購進乙種排球的個數(shù)相同．(1)求每個甲種、乙種排球的價格分別是多少元？(2)該校計劃用元購買甲、乙兩種排球，由于采購人員把甲、乙兩種排球的個數(shù)互換了，結果需元，求該校原計劃購進甲、乙兩種排球各多少個？【答案】(1)每個甲種排球進價是15元，每個乙種排球進價是25元(2)原計劃購進甲種排球150個、乙種排球個【解析】【分析】（1）設每個甲種排球進價元，則每個乙種排球進價為元．根據題意列出分式方程并求解即可．（2）設購進甲種排球個，購進乙種排球個．根據題意列出二元一次方程組并求解即可．(1)解：設每個甲種排球進價元，則每個乙種排球進價為元．根據題意得．解得．經檢驗是原方程的解．所以．答：每個甲種排球進價是15元，每個乙種排球進價是25元．(2)解：設購進甲種排球個，購進乙種排球個根據題意得解得答：原計劃購進甲種排球150個、乙種排球個．【點睛】本題考查分式方程的應用，二元一次方程組的應用，正確理解題意是解題關鍵．6．（2022·山東青島·一模）為厲行節(jié)能減排，倡導綠色出行，“共享單車”登陸某市中心城區(qū)，某公司擬在甲、乙兩個街道社區(qū)投放一批“共享單車”，這批自行車包括A，B兩種不同款型．請解決下列問題：(1)該公司早期在甲街區(qū)進行了試點投放，共投放A，B兩型自行車各50輛，投放成本共計20500元，其中B型車的成本單價比A型車高10元，求A，B兩型自行車的成本單價各是多少？(2)該公司決定采取如下投放方式：甲街區(qū)每1000人投放a輛“共享單車”，乙街區(qū)每1500人投放2a輛“共享單車”，按照這種投放方式，甲街區(qū)共投放1500輛，乙街區(qū)共投