第12講二元一次方程組的解法技巧之另類解法(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專項(xiàng)突破+精準(zhǔn)提升)

打破常規(guī)創(chuàng)新求解——二元一次方程組的另類解法江蘇海安市紫石中學(xué)黃本華226600一、消常法②①典例1解方程組②①二、整體代入法①②典例2解方程組①②典例3解方程組三、整體加減法①②典例4解方程組①②四、換元法①②（1）整體換元法①②典例5解方程組（2）參數(shù)換元法（設(shè)k法）②典例6解方程組①②①典例7解方程組均值換元法②①典例8解方程組②①

專題提優(yōu)訓(xùn)練上面我給大家介紹了幾種巧妙的非常規(guī)的解法，顯然，巧妙的解法還是建立在代入消元法和加減消元法基礎(chǔ)上的．我們?cè)诮舛淮畏匠探M時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活選擇合適的解法．解下列方程組1．解方程組2．解方程組3．解方程組4．解方程組5．解方程組：6．7．8．3(x+y)+2(x?y)=10x+y打破常規(guī)創(chuàng)新求解——二元一次方程組的另類解法江蘇海安市紫石中學(xué)黃本華226600二元一次方程組通常的解法是代入消元法和加減消元法,但有的二元一次方程組用這兩種方法，卻顯得很麻煩，甚至解不出．這里給大家介紹幾種非常規(guī)的解法,以后遇到解二元一次方程組,可以根據(jù)方程組的特征,靈活選擇解法,迅速求得方程組的解．一、消常法②①典例1解方程組②①思路引領(lǐng)：這個(gè)方程組，未知數(shù)的系數(shù)都很大，又沒有倍數(shù)關(guān)系，顯然用代入消元法和加減消元法都非常非常麻煩，但我們觀察到常數(shù)項(xiàng)卻有倍數(shù)關(guān)系，故可以采用消常法．解法1①×2+②得，∴，把①得，∴所以解法2①÷②得化簡(jiǎn)得：，以下解法同解法1點(diǎn)睛：方程組中兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)相等或互為相反數(shù)時(shí)，或成倍數(shù)關(guān)系的時(shí)候，都可以采用消常數(shù)項(xiàng)的方法來(lái)解，我們把這種方法叫消常法，消去常數(shù)項(xiàng)后，能更容易看出未知數(shù)之間的關(guān)系，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．二、整體代入法①②典例2解方程組①②思路引領(lǐng)：第2個(gè)方程可以變形成，第一個(gè)方程整體代入即可．解：由②得③把①代入③得：∴把代入①得∴點(diǎn)睛：1.本題用加減消元法也很簡(jiǎn)單，但容易發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤，而用整體代入法則會(huì)避免發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤．2.本題也可將②兩邊加，得③，再把①代入③．3.本題還可以把①變形得③，再把③代入②，以上幾種變形，目的都是整體代入，方法都很簡(jiǎn)便．典例3解方程組思路引領(lǐng)：把方程①、②都含有(x+y)項(xiàng)，不妨將其看作一個(gè)整體，解：由①得(x+y)=③，將③代入②，得x=4，將x=4代入③，得y=，則得原方程組的解為三、整體加減法①②典例4解方程組①②思路引領(lǐng)：這個(gè)方程組的系數(shù)真是太大了，常規(guī)的代入消元和加減消元根本行不通，常數(shù)項(xiàng)也不便消．怎么辦呢？我們觀察到未知數(shù)的系數(shù)輪換對(duì)稱，這時(shí)可采用反復(fù)加減的方法首先簡(jiǎn)化系數(shù)．解：①＋②得：③②得：∴④③＋④得：③－④得：∴點(diǎn)睛：雖然消元是解方程組的目的，但在不便消元時(shí)，我們可以迂回一下，通過反復(fù)加減先化簡(jiǎn)系數(shù)，然后再消元．四、換元法①②（1）整體換元法①②典例5解方程組思路引領(lǐng)：這個(gè)方程組中每個(gè)方程都含有、，所以可以用兩個(gè)字母代替它們，從而達(dá)到簡(jiǎn)化方程組的目的．解：設(shè)，則原方程組化為解得：∴解得點(diǎn)睛：這樣的換元，就是把解一個(gè)復(fù)雜的方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)簡(jiǎn)單的方程組．（2）參數(shù)換元法（設(shè)k法）②典例6解方程組①②①思路引領(lǐng)：這個(gè)方程組中第二個(gè)方程含“比”，這種特征用換元法比較簡(jiǎn)便．③解：設(shè)把③代入①得③解得：，∴典例7解方程組思路引領(lǐng)：方程①是一個(gè)比例的形式，通?？梢圆捎迷O(shè)k法解：把方程①看成比例式，設(shè)其比值為k，即設(shè)=k，可得x=5k-1，y=2k+3，代入②得k=1，則得原方程組的解為點(diǎn)睛：在方程組中，某方程是比例式時(shí)，一般采用設(shè)比值法,將方程組中的兩個(gè)未知數(shù)用同一個(gè)參數(shù)數(shù)表示出來(lái)．均值換元法②①典例8解方程組②①思路引領(lǐng)：把2均分成1＋1，因此可設(shè)，再代入第二個(gè)方程即可．③解：設(shè)把③代入②得∴③把代入③得∴點(diǎn)睛：均值換元法適用于幾乎所有的二元一次方程組，也不是很繁．參照例題，大家體會(huì)一下這個(gè)解法的妙處．本題在設(shè)參數(shù)的時(shí)候運(yùn)用了整體思想，顯得簡(jiǎn)便一點(diǎn)．如果這樣設(shè)，就具有一般性．可以看到，設(shè)參數(shù)法能很快地達(dá)到消元的目的．專題提優(yōu)訓(xùn)練上面我給大家介紹了幾種巧妙的非常規(guī)的解法，顯然，巧妙的解法還是建立在代入消元法和加減消元法基礎(chǔ)上的．我們?cè)诮舛淮畏匠探M時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活選擇合適的解法．解下列方程組1．解方程組思路引領(lǐng)：把方程①、②都含有(x+y)項(xiàng)，不妨將其看作一個(gè)整體，解：由①得(x+y)=③，將③代入②，得x=4，將x=4代入③，得y=，則得原方程組的解為2．解方程組解：兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)都是110，可考慮消去常數(shù)項(xiàng)，既②－①得10y－6x=0，即y=0.6x，將其代入②或①，易得原方程組的解為3．解方程組思路引領(lǐng)：兩個(gè)方程中的系數(shù)之差相等，可將方程①、②視為兩個(gè)“整體”來(lái)解，解：由②－①，得2x－2y=2，即x=y+1，將其代入①，得y=1999，易得原方程組的解為．4．解方程組思路引領(lǐng)：可根據(jù)結(jié)構(gòu)特征設(shè)(2x+3y)=m，(3x+2y)=n，則原方程組可化為，求出m，n的值，就可以得到關(guān)于x，y的方程組，再解方程組解：可根據(jù)結(jié)構(gòu)特征設(shè)(2x+3y)=m，(3x+2y)=n，則原方程組可化為，再把，看成一個(gè)整體，易得，則，利用整體加減法，易得原方程組的解為：．5．解方程組：解：解方程組：由①＋②，得5(x＋y)＝10，則x＋y＝2.③①－③×2，得y＝3，②－③×2，得x＝－1.所以6．解：解方程組：由②－①，得(314－217)x＋(217－314)y＝0，化簡(jiǎn)，得x－y＝0，即x＝y(tǒng).把x＝y(tǒng)代入①，得217x＋314x＝177，解得：x＝y(tǒng)＝.所以7．解：(1)化簡(jiǎn)方程組，得由①×2＋②×3，得13x＝52，解得：x＝4.把x＝4代入①，得8－3y＝17，解得：y－3.所以＝＝1.由原方