易錯點03函數(原卷版+解析)VIP

易錯點03函數平面直角坐標系與函數一次函數的圖像與性質一次函數的應用反比例函數二次函數的圖像性質與性質二次函數的應用易錯分析易錯分析01各個待定系數表示的意義。充分掌握一次函數，反比例函數以及二次函數的概念。對于較復雜問題容易忽略數形結合思想。（2022九下·沭陽模擬）已知一次函數y＝kx＋b，且當－3≤x≤1時，1≤y≤9，則k＋b的值為【答案】9【規(guī)范解答】本題答案不全面，此題分兩種情況考慮：①當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，進而可得k+b的值；②當x=-3時，y=9，當x=1時，y=1，同理可得k+b的值.【規(guī)范解答】解：①當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9；則1=?3k+b9=k+b解得k=2b=7；②當x=-3時，y=9，當x=1時，y=1；則9=?3k+b1=k+b解得，；故答案為：9或1.【變式訓練01】（2022·宿遷）甲、乙兩位同學各給出某函數的一個特征，甲：“函數值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數圖象經過點(0，2)”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數，其表達式是.【變式訓練02】（2021九上·豐縣期中）下表給出一個二次函數的一些取值情況：x?01234?y?300n?（1）n=，二次函數表達式為；（2）請在直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象；（3）根據圖像說明：當x取何值時，y的值為非負數？【變式訓練03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點，且點A的坐標為．（1）求點B的坐標及m的值；（2）求出拋物線的頂點坐標，并畫出此函數的示意圖；（3）結合函數圖象直接寫出當y＞0時x的取值范圍．易錯分析易錯分析02各種函數解析式的求法以及函數與幾何圖形的關系應用。注意解析式中字母表示的幾何意義，特別是二次函數的解析式，其表示的方式多樣化，容易記憶混淆。涉及的公式比較多，一定要理解推導記憶6．（2022九上·通州月考）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的解為．【答案】【解析】本題答案不全面，利用二次函數的解析式可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，觀察圖象可知拋物線與x軸的一個交點坐標為（4，0），利用二次函數的對稱性，可得到拋物線與x軸的另一個交點坐標；然后就二次函數y=-x2+2x+m與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，即可求解.【規(guī)范解答】解：根據圖象可知，二次函數的部分圖象經過點（4，0），對稱軸為，由拋物線的對稱性可知：二次函數與x軸的另一個交點坐標為：拋物線與x軸交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【變式訓練01】（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【變式訓練02】（2022九上·通州月考）設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點，y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【變式訓練03】（2022九上·興化開學考）已知反比例函數y，下列說法不正確的是（）A．圖像經過點（2，﹣4） B．圖像分別在二、四象限C．當y≤1時，x≤﹣8 D．在每個象限內，y隨x增大而增大易錯分析易錯分析03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用圖像性質確定增減性。此類題目對學生數形結合的思想掌握利用要求比較高，注意細心審題，找準問題問的是什么。也很容易對數軸直線的增減性與解析式中的字母結合理解出錯。（2022·徐州）若一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關于kx＋b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞2【思路點撥】本題答案有誤，忽略題目關鍵問題，求的是另外一個不等式的解集，而不是原解析式。根據圖象可知y＝kx+b與x軸交于點（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據不等式表示出x，進而可得x的范圍.【規(guī)范解答】解：∵根據圖象可知y＝kx＋b與x軸交于點，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案為：x＞3.【思路點撥】根據圖象可知y＝kx+b與x軸交于點（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據不等式表示出x，進而可得x的范圍.【變式訓練01】（2022·揚州）如圖，函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為.【變式訓練02】（2021·阜寧模擬）已知一次函數的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為.【變式訓練03】（2021·濱海模擬）如圖，兩條直線l1和l2的關系式分別為y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，兩直線的交點坐標為（2，1），當y1＞y2時，x的取值范圍為.易錯分析易錯分析04利用函數模型解實際問題。注意區(qū)別方程、函數、不等式模型解決不等領域的問題。這類問題容易出現多個解，對審題能力，計算及概念掌握要求比較高。需要著重掌握零散的知識點（2022·沭陽模擬）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當時，x的取值范圍是.【答案】【思路點撥】答案不全面，沒有考慮到圖像的完整性。由圖象可知：拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點坐標為（3，0），則其與x軸的另一個交點坐標為（-5，0），然后根據圖象，找出二次函數圖象在x軸上方部分所對應的x的范圍即可.【規(guī)范解答】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為，∵與軸的一個交點坐標為，則其與x軸的另一個交點坐標為，結合圖象得：當時，.故答案為：.【變式訓練01】（2022·泰州）如圖，二次函數的圖象與y軸相交于點A，與反比例函數的圖象相交于點B(3，1).（1）求這兩個函數的表達式；（2）當隨x的增大而增大且時，直接寫出x的取值范圍；（3）平行于x軸的直線l與函數的圖象相交于點C、D（點C在點D的左邊），與函數的圖象相交于點E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點E的坐標.【變式訓練02】（2022·泗洪模擬）如圖，二次函數y1＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A（﹣1，0）和點B（0，2），圖象的對稱軸交x軸于點C，一次函數y2＝mx+n的圖象經過點B、C.（1）求二次函數的解析式y1和一次函數的解析式y2；（2）點P在x軸下方的二次函數圖象上，且S△ACP＝33，求點P的坐標；（3）結合圖象，求當x取什么范圍的值時，有y1≤y2.易錯分析易錯分析05反比例函數K值得特殊意義及應用。對相關公式加深理解記憶，這類問題在考察作輔助線以及反比例函數與幾何圖形的綜合運用上有一定要求（2022九下·沭陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，函數y=kx與y=的圖象交于A、B兩點，過A作y軸的垂線，交函數的圖象于點C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點撥】答案有誤。忽略了輔助線的解題技巧。連接OC，設AC⊥y軸交y軸為點D，由反比例函數的對稱性得OA=OB，根據等底同高三角形面積相等得S△AOC=S△COB，根據反比例函數k的幾何意義可得S△AOD=1，S△COD=2，則S△AOC=3，據此計算.【規(guī)范解答】解：連接OC，設AC⊥y軸交y軸為點D，如圖，∵反比例函數y=-為對稱圖形，∴O為AB的中點，∴S△AOC=S△COB，∵由題意得A點在y=-上，B點在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案為：C.【變式訓練01】（2022·錫山模擬）如圖，在平面直角坐標系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點，以OA，OC為邊，在第一象限內作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點B與原點O重合，折痕為MN，點C的對應點C'落在第四象限，過M點的反比例函數y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點，則k的值為，點C'的坐標為.【變式訓練02】（2021·江都模擬）如圖，平行四邊形ABCO的邊AB的中點F在y軸上，對角線AC與y軸交于點E，若反比例函數（x＞0）的圖象恰好經過AF的中點D，且△AEO的面積為6，則k的值為.【變式訓練03】（2021·大豐模擬）如圖，點在反比例函數（）的圖象上，點在反比例函數（）的圖象上，且軸，，垂足為點，交軸于點.則的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6易錯分析易錯分析06與坐標軸交點坐標一定要會求。面積最大值的求解方法，距離之和的最小值的求解方法，距離之差最大值的求解方法。此類問題需要掌握一定的解題技巧，特別是輔助線的作法上，掌握必要的輔助線作法模型很重要，對解題速度，正確率都有很大的幫助。（2022·南通模擬）若拋物線的圖像與軸有交點，那么的取值范圍是．【答案】m＜1【思路點撥】答案有誤，沒有考慮到多種情況。令y=0，根據拋物線的圖象與x軸有交點可得△≥0，代入求解可得m的范圍.【規(guī)范解答】解：拋物線的圖像與軸有交點，令，有，即該方程有實數根，，．故答案是：m≤1．【變式訓練01】（2022九上·鹽城期末）二次函數的圖象如圖所示，則三個代數式①abc，②，③中，值為正數的有.（填序號）【變式訓練02】（2021九上·浦口月考）已知二次函數y＝（x－m）2－1（m為常數）.（1）求證：不論m為何值，該函數圖象與x軸總有兩個公共點；（2）請根據m的不同取值，探索該函數圖象過哪些象限?（直接寫出答案）（3）當1≤x≤3時，y的最小值為3，求m的值.【變式訓練03】（2021九上·淮陰月考）如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，若點E為第二象限內拋物線上一動點，連接BE、CE.（1）求B、C兩點的坐標；（2）求四邊形BOCE面積的最大值.易錯分析易錯分析07數形結合思想方法的運用，還應注意結合圖像性質解題。函數圖象與圖形結合學會從復雜圖形分解為簡單圖形的方法，圖形為圖像提供數據或者圖像為圖形提供數據。（2016·丹陽模擬）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正確的結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點撥】答案有誤。根據二次函數圖象與x交點的個數來判定b2﹣4ac的符號；將x=﹣1時，y＜0來推知a﹣b+c的符號；根據函數圖象的開口方向、與坐標軸的交點的位置以及對稱軸的位置來判定abc的符號；根據圖象的對稱軸來判斷b=2a的正誤．【規(guī)范解答】解：①根據二次函數的圖象知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b2﹣4ac＞0；故本選項錯誤；②根據圖示知，當x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本選項正確；③∵拋物線的開口向下，∴a＜0；又∵該拋物線與y交于正半軸，∴c＞0，而對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本選項正確；④由③知，b=2a；故本選項正確；綜上所述，正確的選項有3個．故選C．【變式訓練01】（2022·連云港）已知二次函數，其中.（1）當該函數的圖象經過原點，求此時函數圖象的頂點的坐標；（2）求證：二次函數的頂點在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數的圖象與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值.【變式訓練02】（2022·泗陽模擬）如圖1，已知矩形的邊長，.某一時刻，動點M從點A出發(fā)，沿以的速度向點B勻速運動：同時點N從點D出發(fā)，沿方向以的速度向點A勻速運動，點N運動到點A時停止運動，運動時間為t.（1）若是等腰直角三角形，則t=（直接寫出結果）.（2）是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接，試求的最小值.【變式訓練03】（2022九下·揚州期中）已知：平面直角坐標系內一直線：y＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點，拋物線在x軸上方部分上有一動點D，連結AC；（1）求拋物線解析式；（2）當D在第一象限，求D到直線BC的最大距離；（3）是否存在D點某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，請直接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由.一、選擇題1．（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝22．（2022九上·通州月考）拋物線可以看作是由拋物線經過以下哪種變換得到的（）A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位3．（2022九上·吳江月考）如圖，已知點A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）4．（2022·南通）如圖，在中，對角線相交于點O，，若過點O且與邊分別相交于點E，F，設，則y關于x的函數圖象大致為（）A． B．C． D．5．（2022·南通）根據圖像，可得關于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·淮安）在平面直角坐標系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數的圖象上，則的值是.7．（2022九上·通州月考）拋物線開口方向是．8．（2022九上·洪澤月考）如圖，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點B在反比例函數圖象上，點C的坐標為（3，4），則反比例函數的關系式為．9．（2022九上·海陵月考）如圖，反比例函數在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點，直線與x軸相交于點C，D是線段上一點．若，連接，記，的面積分別為，，則的值為．10．（2022·鹽城）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數恒成立，則的最小值為．三、解答題11．（2022·泗洪模擬）把二次函數y＝x2+bx+c的圖象向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線頂點坐標為（﹣3，2），求原拋物線相應的函數表達式.12．（2021九上·南通月考）為促進經濟發(fā)展，方便居民出行，某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，隧道最高點P離路面的距離為6米，寬度為12米，隧道內設雙向行車道，并且中間有一條寬為1米的隔離帶.如果一貨運汽車裝載某大型設備后高為4米，寬為3.5米，按如圖所示的平面直角坐標系這輛貨車能否安全通過？為什么？13．（2021九上·豐縣期中）如圖，拋物線的圖像經過點，，直線經過點A，交拋物線于點D.（1）求拋物線的函數關系式；（2）若點E在線段上，連接且滿足，點G是拋物線頂點，連接、，請你把圖形補充完整，判斷四邊形的形狀，并說明理由.14．（2022九上·宿豫開學考）如圖，在平面直角坐標系中，有，，三點．（1）在圖中畫出經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）圓心M的坐標為；（3）點坐標為，連接，判斷直線與的位置關系，并說明理由．15．如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點O、點A（2，﹣4）、點B（3，﹣3），與x軸交于點C，直線AB交x軸于點D，交y軸于點E．（1）求拋物線的函數表達式和頂點坐標；（2）直線AF⊥x軸，垂足為點F，AF上取一點G，使△GBA∽△AOD，求此時點G的坐標；（3）過直線AF左側的拋物線上點M作直線AB的垂線，垂足為點N，若∠BMN=∠OAF，求直線BM的函數表達式．易錯點03函數平面直角坐標系與函數一次函數的圖像與性質一次函數的應用反比例函數二次函數的圖像性質與性質二次函數的應用易錯分析易錯分析01各個待定系數表示的意義。充分掌握一次函數，反比例函數以及二次函數的概念。對于較復雜問題容易忽略數形結合思想。（2022九下·沭陽模擬）已知一次函數y＝kx＋b，且當－3≤x≤1時，1≤y≤9，則k＋b的值為【答案】9【規(guī)范解答】本題答案不全面，此題分兩種情況考慮：①當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，進而可得k+b的值；②當x=-3時，y=9，當x=1時，y=1，同理可得k+b的值.【規(guī)范解答】解：①當x=-3時，y=1；當x=1時，y=9；則1=?3k+b9=k+b解得k=2b=7；②當x=-3時，y=9，當x=1時，y=1；則9=?3k+b1=k+b解得，；故答案為：9或1.【變式訓練01】（2022·宿遷）甲、乙兩位同學各給出某函數的一個特征，甲：“函數值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數圖象經過點(0，2)”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數，其表達式是.【答案】y=-2x+2（答案不唯一）【規(guī)范解答】解：根據題意，甲：“函數值y隨自變量x增大而減小”；可設函數為：又滿足乙：“函數圖象經過點(0，2)”，則函數關系式為y=-2x+2，故答案為：y=-2x+2（答案不唯一）【思路點撥】根據一次函數的性質結合題意可設y=-2x+b，將（0，2）代入求出b的值，進而可得對應的函數關系式.【變式訓練02】（2021九上·豐縣期中）下表給出一個二次函數的一些取值情況：x?01234?y?300n?（1）n=，二次函數表達式為；（2）請在直角坐標系中畫出這個二次函數的圖象；（3）根據圖像說明：當x取何值時，y的值為非負數？【答案】（1）n=3；（2）解：如圖，根據表格信息描點，再用平滑的曲線連接即可.（3）解：當時，則函數圖象在x軸的上方，∴或【規(guī)范解答】解：（1）由對稱性可得；或時的函數值相等，所以由二次函數過設把代入可得：解得：∴拋物線為：【思路點撥】（1）根據對稱性可得：x=0或x=4時函數的值相等，據此可得n的值，設y=a(x-1)(x-3)，將（0，3）代入求出a的值，據此可得二次函數的解析式；

（2）根據描點、連線即可畫出函數的圖象；

（3）根據圖象，找出圖象在x軸上方部分所對應的x的范圍即可.【變式訓練03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點，且點A的坐標為．（1）求點B的坐標及m的值；（2）求出拋物線的頂點坐標，并畫出此函數的示意圖；（3）結合函數圖象直接寫出當y＞0時x的取值范圍．【答案】（1）解：把代入，得9m-6m-3=0，解得m=1，拋物線解析式為，當y=0時，，解得，，所以B點坐標為；（2）解：，則拋物線的頂點坐標為，列表如下：x…-2-10123…y…50-3-4-30…描點、連線，（3）解：由函數圖象可知，當y＞0時，x＜-1或x＞3，即x的取值范圍是x＜-1或x＞3．【思路點撥】（1）將點A的坐標代入函數解析式，可得到關于m的方程，解方程求出m的值，可得到函數解析式；由y=0，可得到關于x的方程，解方程求出m的值，可得到點B的坐標.

（2）利用配方法將函數解析式轉化為頂點式，可得到拋物線的頂點坐標；再列表，描點，連線，畫出函數圖象.

（3）觀察函數圖象（x軸上方的圖象），可得到當y＞0時x的取值范圍.易錯分析易錯分析02各種函數解析式的求法以及函數與幾何圖形的關系應用。注意解析式中字母表示的幾何意義，特別是二次函數的解析式，其表示的方式多樣化，容易記憶混淆。涉及的公式比較多，一定要理解推導記憶6．（2022九上·通州月考）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的解為．【答案】【解析】本題答案不全面，利用二次函數的解析式可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，觀察圖象可知拋物線與x軸的一個交點坐標為（4，0），利用二次函數的對稱性，可得到拋物線與x軸的另一個交點坐標；然后就二次函數y=-x2+2x+m與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個根，即可求解.【規(guī)范解答】解：根據圖象可知，二次函數的部分圖象經過點（4，0），對稱軸為，由拋物線的對稱性可知：二次函數與x軸的另一個交點坐標為：拋物線與x軸交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【變式訓練01】（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，故答案為：B．

【思路點撥】利用拋物線y=a（x-h）2+k的對稱軸為直線x=h，由此可得到已知拋物線的對稱軸.【變式訓練02】（2022九上·通州月考）設A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點，y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，∴y1＞y3＞y2．故答案為：B．【思路點撥】利用二次函數解析式可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，再利用二次函數的增減性，可得到y1，y2，y3的大小關系.【變式訓練03】（2022九上·興化開學考）已知反比例函數y，下列說法不正確的是（）A．圖像經過點（2，﹣4） B．圖像分別在二、四象限C．當y≤1時，x≤﹣8 D．在每個象限內，y隨x增大而增大【答案】C【規(guī)范解答】解：A、當x=2時，y=-4，即反比例函數y的圖像經過點（2，-4），A說法正確；

B、因為反比例函數y中的k=-8，所以圖像分別在二、四象限，B說法正確；

C、y≤1時，x≥-8，C說法不正確；

D、因為反比例函數y中的k=-8，所以在每個象限內，y隨x增大而增大，D說法正確；

故答案為：C.

【思路點撥】反比例函數的性質：對于反比例函數，當k>0，反比例函數圖象在一、三象限，每個象限內，y隨x的增大而減??；當k<0，反比例函數圖象在二、四象限，每個象限內，y隨x的增大而增大.易錯分析易錯分析03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用圖像性質確定增減性。此類題目對學生數形結合的思想掌握利用要求比較高，注意細心審題，找準問題問的是什么。也很容易對數軸直線的增減性與解析式中的字母結合理解出錯。（2022·徐州）若一次函數y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關于kx＋b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞2【思路點撥】本題答案有誤，忽略題目關鍵問題，求的是另外一個不等式的解集，而不是原解析式。根據圖象可知y＝kx+b與x軸交于點（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據不等式表示出x，進而可得x的范圍.【規(guī)范解答】解：∵根據圖象可知y＝kx＋b與x軸交于點，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案為：x＞3.【思路點撥】根據圖象可知y＝kx+b與x軸交于點（2，0）且k>0，代入化簡可得b=-2k，根據不等式表示出x，進而可得x的范圍.【變式訓練01】（2022·揚州）如圖，函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為.【答案】x＜-1【規(guī)范解答】解：由一次函數圖象得，當y>3時，x＜-1，則y=kx+b>3的解集是x＜-1.故答案為：x＜-1.

【思路點撥】求不等式的解集，根據圖象可得，就是求點P左邊圖象上點的自變量的取值范圍，據此即可得出答案.【變式訓練02】（2021·阜寧模擬）已知一次函數的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為.【答案】x＞2【規(guī)范解答】由題意得，一次函數y=kx+b的圖象經過（-4，0），k＜0，∴-4k+b=0，∴b=4k，∴不等式可化為：2kx-4k＜0，解得，x＞2，故答案為：x＞2.【思路點撥】根據一次函數圖象上點的坐標特征得到b=4k，k＜0，解不等式得到答案.【變式訓練03】（2021·濱海模擬）如圖，兩條直線l1和l2的關系式分別為y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，兩直線的交點坐標為（2，1），當y1＞y2時，x的取值范圍為.【答案】x＜2【規(guī)范解答】解：∵直線l1：y1=k1x+b1與直線l2：y2=k2x+b2的交點坐標是（2，1），∴當x=2時，y1=y2=1；而當y1＞y2時，x＜2.故答案為：x＜2.【思路點撥】由圖象可知，求函數值y1＞y2時，就是求y1的圖象在y2的圖象的上方部分相應的自變量的取值范圍.易錯分析易錯分析04利用函數模型解實際問題。注意區(qū)別方程、函數、不等式模型解決不等領域的問題。這類問題容易出現多個解，對審題能力，計算及概念掌握要求比較高。需要著重掌握零散的知識點（2022·沭陽模擬）二次函數的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，當時，x的取值范圍是.【答案】【思路點撥】答案不全面，沒有考慮到圖像的完整性。由圖象可知：拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸的一個交點坐標為（3，0），則其與x軸的另一個交點坐標為（-5，0），然后根據圖象，找出二次函數圖象在x軸上方部分所對應的x的范圍即可.【規(guī)范解答】解：由圖象可知，拋物線的對稱軸為，∵與軸的一個交點坐標為，則其與x軸的另一個交點坐標為，結合圖象得：當時，.故答案為：.【變式訓練01】（2022·泰州）如圖，二次函數的圖象與y軸相交于點A，與反比例函數的圖象相交于點B(3，1).（1）求這兩個函數的表達式；（2）當隨x的增大而增大且時，直接寫出x的取值范圍；（3）平行于x軸的直線l與函數的圖象相交于點C、D（點C在點D的左邊），與函數的圖象相交于點E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點E的坐標.【答案】（1）解：二次函數的圖象與y軸相交于點A，與反比例函數的圖象相交于點，，，解得，，二次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；（2）（3）解：由題意作圖如下：當時，，，，的邊上的高與的邊上的高相等，與的面積相等，，即E點是二次函數的對稱軸與反比例函數的交點，當時，，.【規(guī)范解答】解：（2）二次函數的解析式為，對稱軸為直線，由圖象知，當隨x的增大而增大且時，；【思路點撥】（1）將B（3，1）分別代入y1=x2+mx+1、y2=中進行計算可得m、k的值，據此可得二次函數以及反比例函數的解析式；

（2）根據二次函數的解析式可得對稱軸，然后根據圖象，找出二次函數圖象在對稱軸右側、且在反比例函數圖象下方部分所對應的x的范圍即可；

（3）畫出示意圖，易得A（0，1），根據△ACE與△BDE的面積相等可得CE=DE，即E點是二次函數的對稱軸與反比例函數的交點，令反比例函數解析式中的x=，求出y的值，據此可得點E的坐標.【變式訓練02】（2022·泗洪模擬）如圖，二次函數y1＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A（﹣1，0）和點B（0，2），圖象的對稱軸交x軸于點C，一次函數y2＝mx+n的圖象經過點B、C.（1）求二次函數的解析式y1和一次函數的解析式y2；（2）點P在x軸下方的二次函數圖象上，且S△ACP＝33，求點P的坐標；（3）結合圖象，求當x取什么范圍的值時，有y1≤y2.【答案】（1）解：將點A（﹣1，0）和點B（0，2）代入y1＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函數的解析式為y1＝﹣x2+x+2.∵二次函數的對稱軸為直線x＝﹣＝2，∴C（2，0），∵一次函數y2＝mx+n的圖象經過點B、C，∴，解得，∴一次函數的解析式為y2＝﹣x+2.（2）解：設P到x的距離為h，∵A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，∵S△ACP＝33，∴AC?h＝33，∴h＝22，∴P的縱坐標為﹣22，把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2，得﹣22＝﹣x2+x+2，解得x＝10或x＝﹣6，∴P的坐標為（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；（3）解：得或，∴拋物線與直線的另一個交點為（，﹣），由圖象可知，當x≤0或x≥時，有y1≤y2.【思路點撥】（1）將點A（-1，0）和點B（0，2）代入y1＝-x2+bx+c中求出b、c的值，進而可得y1的解析式，根據解析式可得對稱軸，進而得到點C的坐標，將點B、C的坐標代入y2=mx+n中求出m、n，據此可得y2的解析式；

（2）設P到x的距離為h，根據點A、C的坐標可得AC＝3，結合三角形的面積公式可求出h，進而得到點P的縱坐標，將P點的縱坐標代入y1解析式中求出x，進而可得點P的坐標；

（3）聯立y1、y2解析式求出x、y，得到拋物線與直線的交點坐標，然后根據圖象，找出二次函數圖象在一次函數圖象下方部分所對應的x的范圍即可.易錯分析易錯分析05反比例函數K值得特殊意義及應用。對相關公式加深理解記憶，這類問題在考察作輔助線以及反比例函數與幾何圖形的綜合運用上有一定要求（2022九下·沭陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，函數y=kx與y=的圖象交于A、B兩點，過A作y軸的垂線，交函數的圖象于點C，連接BC，則△ABC的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點撥】答案有誤。忽略了輔助線的解題技巧。連接OC，設AC⊥y軸交y軸為點D，由反比例函數的對稱性得OA=OB，根據等底同高三角形面積相等得S△AOC=S△COB，根據反比例函數k的幾何意義可得S△AOD=1，S△COD=2，則S△AOC=3，據此計算.【規(guī)范解答】解：連接OC，設AC⊥y軸交y軸為點D，如圖，∵反比例函數y=-為對稱圖形，∴O為AB的中點，∴S△AOC=S△COB，∵由題意得A點在y=-上，B點在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案為：C.【變式訓練01】（2022·錫山模擬）如圖，在平面直角坐標系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點，以OA，OC為邊，在第一象限內作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點B與原點O重合，折痕為MN，點C的對應點C'落在第四象限，過M點的反比例函數y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點，則k的值為，點C'的坐標為.【答案】；【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接OB交MN于Q，由折疊的性質可得MO=MB，OQ=OB，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即點Q為OB的中點，過點Q作QH⊥x軸于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四邊形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函數圖象上，∴；過點作軸于G，∵點M在反比例函數圖象上，∴，又∵，∴，設AM=a，則BM=OM=3a，∴，∴，解得（負值已經舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四邊形OMBN是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴點C的坐標為故答案為：，.【思路點撥】連接OB交MN于Q，由折疊得MO=MB，OQ=OB，根據矩形以及平行線的性質得∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，證△BMQ≌△ONQ，得QM=QN，過點Q作QH⊥x軸于H，易證△OHQ∽△OCB，根據矩形的性質可得S△OHQ=S矩形OABC=，根據反比例函數k的幾何意義可得k=2S△OHQ=，過點C′作C′G⊥x軸于G，易得AM=AB，設AM=a，則BM=OM=3a，由勾股定理可得OA，然后結合三角形的面積公式可得a的值，易得四邊形OMBN是平行四邊形，則ON=BM，CN=C′N，利用勾股定理求出OC′，根據△OC′N的面積公式可得C′G，然后利用勾股定理求出OG，據此可得點C的坐標.【變式訓練02】（2021·江都模擬）如圖，平行四邊形ABCO的邊AB的中點F在y軸上，對角線AC與y軸交于點E，若反比例函數（x＞0）的圖象恰好經過AF的中點D，且△AEO的面積為6，則k的值為.【答案】9【規(guī)范解答】解：如圖，連接OD，∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴△AEF∽△CEO，∴＝，∵F是AB的中點，∴AB＝2AF，∴OC＝2AF，∴＝＝，∴＝＝，∵△AEO的面積為6，∴S△AEF＝S△AEO＝×6＝3，∴S△AOF＝S△AEO＋S△AEF＝6＋3＝9，∵點D是AF的中點，∴S△DOF＝S△AOF＝，∴|k|＝，且k＞0，∴k＝9.故答案為：9.【思路點撥】連接OD，由平行四邊形的性質可得AB∥OC，AB＝OC，證明△AEF∽△CEO，由中點的概念可得AB＝2AF，則OC＝2AF，根據相似三角形的性質可得＝＝，由△AEO的面積為6可得S△AEF＝3，進而求出S△AOF，S△DOF，然后結合反比例函數k的幾何意義進行求解.【變式訓練03】（2021·大豐模擬）如圖，點在反比例函數（）的圖象上，點在反比例函數（）的圖象上，且軸，，垂足為點，交軸于點.則的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【規(guī)范解答】解：過D點作y軸垂線，垂足為D，BC與x軸交于點E，∵軸，點在反比例函數上，∴S四邊形BDOE的面積為6，∵，點在反比例函數上，∴S四邊形AOEC的面積為2，∴S四邊形ACBD的面積為8，∴S四邊形ACBD=4.故答案為：B.【思路點撥】過D點作y軸垂線，垂足為D，BC與x軸交于點E，根據反比例函數k的幾何意義可得S四邊形BDOE=6，S四邊形AOEC=2，據此求出四邊形ACBD的面積，進而可得△ABC的面積.易錯分析易錯分析06與坐標軸交點坐標一定要會求。面積最大值的求解方法，距離之和的最小值的求解方法，距離之差最大值的求解方法。此類問題需要掌握一定的解題技巧，特別是輔助線的作法上，掌握必要的輔助線作法模型很重要，對解題速度，正確率都有很大的幫助。（2022·南通模擬）若拋物線的圖像與軸有交點，那么的取值范圍是．【答案】m＜1【思路點撥】答案有誤，沒有考慮到多種情況。令y=0，根據拋物線的圖象與x軸有交點可得△≥0，代入求解可得m的范圍.【規(guī)范解答】解：拋物線的圖像與軸有交點，令，有，即該方程有實數根，，．故答案是：m≤1．【變式訓練01】（2022九上·鹽城期末）二次函數的圖象如圖所示，則三個代數式①abc，②，③中，值為正數的有.（填序號）【答案】①②③【規(guī)范解答】解：∵拋物線的對稱軸在x軸的正半軸，且拋物線與x軸有兩個不同交點，與y軸交于負半軸，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如圖，直線x=-1，與拋物線的交點在x軸上方，∴＞0，故答案為：①②③.【思路點撥】拋物線的對稱軸在x軸的正半軸（左同右異）可得ab＜0，拋物線與x軸有兩個不同交點可得b2-4ac＞0，與y軸交于負半軸可得c＜0，據此可判斷①和②的正負；由圖可知直線x=-1，與拋物線的交點在x軸上方，即y=a-b+c＞0，據此判斷③的正負.【變式訓練02】（2021九上·浦口月考）已知二次函數y＝（x－m）2－1（m為常數）.（1）求證：不論m為何值，該函數圖象與x軸總有兩個公共點；（2）請根據m的不同取值，探索該函數圖象過哪些象限?（直接寫出答案）（3）當1≤x≤3時，y的最小值為3，求m的值.【答案】（1）解：y=（x－m）2－1y=x2－2mx＋m2－1，令y=0，x2－2mx＋m2-1=0，∵a=1，b=-2m，c=m2-1，∴b2－4ac＝4m2－4（m2－1）=4＞0，此方程有兩個不相等的實數根，∴該函數圖象與x軸總有兩個公共點；（2）解：∵a>0，∴圖象必經過一、二象限，令y=0，即x2－2mx＋m2-1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，∴當m+1≤0，即m≤﹣1時，圖象過一、二、三象限；當-1＜m＜1時，圖象過一、二、三、四象限；當m-1>0，m≥1時，圖象過一、二、四象限.（3）解：∵a=1＞0，圖象開口向上，又∵對稱軸為直線x=m，∴當m≤1時，y隨x的增大而增大，當x=1時y有最小值3，即3=（1－m）2－1，解得m1=﹣1，m2=3＞1（舍去）；當1＜m＜3時，當x=m時，y有最小值﹣1，y的最小值為3不可能；當m＞3時，y隨x增大而減小，當x=3時y有最小值3，即3=（3－m）2－1，解得m1=1＜3（舍去），m2=5.答：當1≤x≤3時，y的最小值為3，m的值為-1或5.【思路點撥】（1）二次函數y＝（x－m）2－1的圖象與x軸總有兩個公共點，即關于x的一元二次方程x2－2mx＋m2-1=0有兩個不相等的實數根，故證明判別式△>0即可；

（2）由a>0，圖象必經過一、二象限，再根據函數圖象與x軸的交點情況，分別進行分析判斷即可；

（3）分三種情況討論，即m≤l，1<m<3，m>3，根據二次函數的性質分別分析，結合最小值為3，建立關于m的方程求解即可.【變式訓練03】（2021九上·淮陰月考）如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，若點E為第二象限內拋物線上一動點，連接BE、CE.（1）求B、C兩點的坐標；（2）求四邊形BOCE面積的最大值.【答案】（1）解：令y=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，解得x=-3，x=1（舍）令x=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=3故B點坐標為（-3，0），C點坐標為（0，3）（2）解：連接EO，

設E點坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0）故四邊形BOCE面積最大為.【思路點撥】（1）令x=0，先求出C點的坐標，令y=0，求拋物線與x軸的交點坐標，結合B點在y軸左側，即可求出點B的坐標；

（2）連接EO，設E點坐標為（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0），觀察圖象可得四邊形BOCE的面積拆分為△BEC和△OEC，根據列式，再整理化簡，根據二次函數的性質求最大值即可.易錯分析易錯分析07數形結合思想方法的運用，還應注意結合圖像性質解題。函數圖象與圖形結合學會從復雜圖形分解為簡單圖形的方法，圖形為圖像提供數據或者圖像為圖形提供數據。（2016·丹陽模擬）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正確的結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點撥】答案有誤。根據二次函數圖象與x交點的個數來判定b2﹣4ac的符號；將x=﹣1時，y＜0來推知a﹣b+c的符號；根據函數圖象的開口方向、與坐標軸的交點的位置以及對稱軸的位置來判定abc的符號；根據圖象的對稱軸來判斷b=2a的正誤．【規(guī)范解答】解：①根據二次函數的圖象知，該拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b2﹣4ac＞0；故本選項錯誤；②根據圖示知，當x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本選項正確；③∵拋物線的開口向下，∴a＜0；又∵該拋物線與y交于正半軸，∴c＞0，而對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本選項正確；④由③知，b=2a；故本選項正確；綜上所述，正確的選項有3個．故選C．【變式訓練01】（2022·連云港）已知二次函數，其中.（1）當該函數的圖象經過原點，求此時函數圖象的頂點的坐標；（2）求證：二次函數的頂點在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖象，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數的圖象與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值.【答案】（1）解：∵二次函數圖象過O（0，0），

∴m-4=0，

∴m=4，

∴y=x2+2x=（x+1）2-1，∴頂點A坐標為（-1，-1）.（2）證明：∵拋物線頂點坐標為，m＞2，

∴＜0，又∵=-（m-4）2-1，

∴≤-1＜0∴二次函數y=x2+（m-2）x+m-4的頂點在第三象限.（3）解：設平移后的二次函數表達式為y=x2+bx+c，

∴頂點坐標為，當x=0時，B（0，c）

把代入y=-x-2中，得c=，∵B點在y軸的負半軸上，

∴c＜0，

∴OB=-c=-，如圖，過點A作AH⊥OB于點H，

由（1）可知：A（-1，-1）

∴AH=1，

∴，∵-＜0，

∴當b=-1時，此時c＜0，△AOB的面積最大，最大值為.【思路點撥】（1）由圖象過原點可知，二次函數解析式的常數項為0，即m-4=0，解得m值即可求得二次函數的表達式，即可得出頂點A的坐標；（2）由頂點坐標公式求得拋物線的頂點為，又m＞2，推出＜0，再由=-（m-4）2-1，可得＜0，確定二次函數y=x2+（m-2）x+m-4的頂點在第三象限；

（3）設平移后的二次函數表達式為y=x2+bx+c，則頂點坐標為，易得B（0，c），再把頂點坐標代入y=-x-2中得c=，進而表示OB=-，如圖，過點A作AH⊥OB于點H，由（1）可知A（-1，-1），則AH=1，再由三角形的面積公式代入數據計算得三角形AOB的面積=，再由二次函數的性質可得b=-1時，此時c＜0，△AOB的面積最大，最大值為.【變式訓練02】（2022·泗陽模擬）如圖1，已知矩形的邊長，.某一時刻，動點M從點A出發(fā)，沿以的速度向點B勻速運動：同時點N從點D出發(fā)，沿方向以的速度向點A勻速運動，點N運動到點A時停止運動，運動時間為t.（1）若是等腰直角三角形，則t=（直接寫出結果）.（2）是否存在時刻t，使以A、M、N為頂點的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由.（3）如圖2，連接，試求的最小值.【答案】（1）2（2）解：∵，∴以A、M、N為頂點的三角形與相似分為兩種情況，①當時，有，即，解得：；②當時，有，即，解得：.當或時，以A、M、N為頂點的三角形與相似；（3）解：如圖，取CN中點E，作E點關于CD的對稱點，連接.作M點關于BC的對稱點，連接，.根據作圖可知，，∴，∴當最小時最小，∵，∴的最小值為的長，即的最小值為2的長.如圖，連接并延長，交CD于點F，AB于點G.∵作E點關于CD的對稱點，∴，.又∵E為中點，∴，G為AB中點，∴，.∵作M點關于BC的對稱點，∴，∴.在中，，∵，∴時，最小，即.∴.【思路點撥】（1）由等腰直角三角形的性質得AM=AN，由題意可得AM=t，DN=2t，則AN=6-2t，然后根據AM=AN就可求出t的值；

（2）分△ACD∽△NMA、△CAD∽△NMA，結合相似三角形的性質可得t的值；

（3）取CN中點E，作E點關于CD的對稱點E′，連接CE′，作M點關于BC的對稱點M′，連接CM′，E′M′，根據作圖可知CE′=CE，CM′=CM，則CN+2CM=2(CE′+CM′)≥2E′M′，連接EE′并延長，交CD于點F，AB于點G，易得E′F=EF=t，E′G=t+6，BM′=3-t，GM′=-t，根據勾股定理可得E′M′，然后結合二次函數的性質進行解答.【變式訓練03】（2022九下·揚州期中）已知：平面直角坐標系內一直線：y＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點，拋物線在x軸上方部分上有一動點D，連結AC；（1）求拋物線解析式；（2）當D在第一象限，求D到直線BC的最大距離；（3）是否存在D點某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，請直接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）解：令y＝﹣x＋3＝0，則x＝3∴B（3，0）令y＝﹣x＋3中x＝0，則y＝3∴C（0，3）把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋3.（2）解：如圖1，設直線y＝﹣x＋3為l1，過點D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于點E，則D到線段BC的距離為FD的長.∵B（3，0），C（0，3）∴OB＝OC＝3∴∠BCO＝∠CBO＝45°∵DH⊥AB∴∠BEH＝∠CBO＝45°∴∠DEF＝∠BEH＝45°∵DF⊥BC∴∠FDE＝∠DEF＝45°∴DF＝EF∴DE＝DF∴當DE有最大值時，DF有最大值設點D（m，﹣m2＋2m＋3）則點E（m，﹣m＋3）∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－）2＋∴當m＝時，DE的最大值為∴DF的最大值為÷＝.（3）解：當點D在直線BC的下方時，如圖2，過點A作AN⊥BC于N，設BD交OC于點P∵OB＝OC＝3∴BC＝3∵拋物線y＝﹣x2＋2x＋3經過A、B兩點令y＝﹣x2＋2x＋3＝0則x＝﹣1或3∴點A（﹣1，0）∴AO＝1，AB＝4∴AC＝∵S△ACB＝×AB×CO＝×BC×AN∴4×3＝3×AN∴AN＝2∴CN＝∵∠DBC＝∠ACO∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO∴∠BPO＝∠ACB∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝∴∴OP＝∴點P（0，）設PB所在直線的一次函數為y＝kx＋b將（0，），（3，0）代入，得解得：則直線PB解析式為：y＝﹣x＋聯立方程組可得：解得：或∴點D（﹣，）當點D在直線BC的上方時，如圖3，過點A作AN⊥BC于N，過點D作DQ⊥AB于Q設點D（n，﹣n2＋2n＋3）∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n∴BQ＝3﹣n∵∠DBC＝∠ACO∴∠ACN＝∠DBQ∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝∴∴n＝3（不合題意）或n＝1∴點D（1，4）綜上所述：點D坐標為：（﹣，）或（1，4）.一、選擇題1．（2022九上·通州月考）拋物線的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【答案】B【規(guī)范解答】解：∵，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝1，故答案為：B．【思路點撥】利用拋物線y=a（x-h）2+k的對稱軸為直線x=h，由此可得到已知拋物線的對稱軸.2．（2022九上·通州月考）拋物線可以看作是由拋物線經過以下哪種變換得到的（）A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位【答案】B【規(guī)范解答】解：拋物線頂點坐標為，拋物線頂點坐標為，拋物線可以看作由拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到的，故答案為：B

【思路點撥】利用二次函數的頂點式，可得到拋物線y=2（x-1）2+3的頂點坐標，而拋物線y=2x2的頂點坐標為（0，0），利用兩個頂點坐標由此可得答案.3．（2022九上·吳江月考）如圖，已知點A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）【答案】C【規(guī)范解答】解：如圖，△ABC外接圓的圓心為P點，其坐標為（5，2）．故答案為：C.【思路點撥】作線段AB、BC的垂直平分線，交點P即為外接圓的圓心，結合點P的位置可得相應的坐標.4．（2022·南通）如圖，在中，對角線相交于點O，，若過點O且與邊分別相交于點E，F，設，則y關于x的函數圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：過O點作OM⊥AB于M，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝90°-60°=30°，

∴AB＝2BC=8，

，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AO＝AC＝，

∴，

∴；

設BE＝x，OE2＝y，則EM＝AB?AM?BE＝8?3?x＝5?x，

∵OE2＝OM2＋EM2，

∴y＝（x?5）2＋3，

∵0≤x≤8，當x＝8時y＝12，

符合解析式的圖象為C.

故答案為：C.

【思路點撥】過O點作OM⊥AB于M，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AB的長，利用勾股定理求出AC的長；利用平行四邊形的性質可求出AO的長，從而可得到OM的長，利用勾股定理求出AM的長；設BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的長；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y與x之間的函數解析式及x的取值范圍，即可得到符合題意的函數圖象.5．（2022·南通）根據圖像，可得關于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【規(guī)范解答】解：∵直線y=kx和直線y=-x+3兩函數的交點坐標為（1，2），

∴當x＞1時kx＞-x+3.

故答案為：D.

【思路點撥】觀察圖象可知直線y=kx和直線y=-x+3兩函數的交點坐標為（1，2），由此可得到kx＞-x+3的解集.二、填空題6．（2022·淮安）在平面直角坐標系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數的圖象上，則的值是.【答案】-4【規(guī)范解答】解：將點A（2，3）向下平移5個單位長度得到點B，則B（2，-2），∵點B恰好在反比例函數的圖象上，∴，故答案為：-4.【思路點撥】根據點的坐標的平移規(guī)律：橫坐標左移減右移加，縱坐標上移加下移減，得出點B的坐標，進而將點B的坐標代入反比例函數即可算出k的值.7．（2022九上·通州月考）拋物線開口方向是．【答案】向下【規(guī)范解答】解：∵拋物線，a＝﹣3＜0，∴該拋物線的開口向下，故答案為：向下．

【思路點撥】觀察函數解析式，可知a＜0，可得到拋物線的開口向下.8．（2022九上·洪澤月考）如圖，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點B在反比例函數圖象上，點C的坐標為（3，4），則反比例函數的關系式為．【答案】【規(guī)范解答】解：∵菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為（3，4），∴，∴AO=BC=5，∴B（8，4），∴k=4×8=32，∴反比例函數的關系式為．故答案為：．【思路點撥】根據點C的坐標結合勾股定理可得CO的值，由菱形的性質可得AO=BC=OC=5，則B（8，4），然后根據點B在反比例函數圖象上可得對應的函數關系式.9．（2022九上·海陵月考）如圖，反比例函數在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點，直線與x軸相交于點C，D是線段上一點．若，連接，記，的面積分別為，，則的值為．【答案】4【規(guī)范解答】解：∵A（1，6）在反比例函數圖象上，∴k=6，即反比例函數解析式為：，∵B（3，b）在反比例函數圖象上，∴b=2，即B（3，2）．設直線AB為：，∴，解得：，∴直線AB解析式為：y=?2x+8．∴對于y=?2x+8，當y=0時，即?2x+8=0，解得：x=4，∴C（4，0），∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：4.【思路點撥】將A（1，6）代入y=中求出k的值，可得反比例函數的解析式，將B（3，b）代入求出b的值，得到點B的坐標，利用待定系數法求出直線AB的解析式，得到C（4，0），根據三角形的面積公式求出S△AOC，證明△DAB∽△OAC，得到∠ADB=∠AOC，易得yD=yB=2，由三角形的面積公式可得S△DOC，由S△ADC=S△AOC-S△DOC可得S△ADC，據此求解.10．（2022·鹽城）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數恒成立，則的最小值為．【答案】2【規(guī)范解答】解：直線與y軸的夾角是45°，，，…都是等腰直角三角形，，，，…點A的坐標為(0，1)，點O1的坐標為1，當時，，點的坐標為，，點的橫坐標，當時，，點的坐標為，，……以此類推，得，，，，……，，，的最小值為2．

故答案為：2.【思路點撥】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，則OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出點A1、A2的坐標，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，據此計算.三、解答題11．（2022·泗洪模擬）把二次函數y＝x2+bx+c的圖象向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，所得的拋物線頂點坐標為（﹣3，2），求原拋