專(zhuān)練06幾何題(20題)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考點(diǎn)必殺150題(人教版)(原卷版+解析)

專(zhuān)練06幾何題（20題）1．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）如圖，一塊邊長(zhǎng)為5的正方形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E．(1)求證：△ABE≌△BCO；(2)若OC＝3，求EO的長(zhǎng)．2．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求△ACB的面積．3．（2020·福建·三明市列東中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD=．(1)求AD=______；(2)求證：△ABC是直角三角形．4．（2022·海南海口·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，連接DE、DF、EF．(1)求證：≌；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)求四邊形AEDF的面積；(4)若，求EF的長(zhǎng)．5．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)八年級(jí)期末）（1）如圖①，AC平分，，若，則______．（2）探究：如圖②，四邊形ABCD中，AC平分，，求證：．（3）應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，AC平分，，，，，求AC的長(zhǎng)．6．（2022·河南平頂山·八年級(jí)期末）一梯子長(zhǎng)2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的頂端下滑了，請(qǐng)問(wèn)這時(shí)使用是否安全．7．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）伊通河，是長(zhǎng)春平原上的千年古流，是松花江的二級(jí)支流，它發(fā)源于吉林省伊通縣境內(nèi)哈達(dá)嶺山脈青頂山北麓，如圖，在伊通河筆直的河流一側(cè)有一旅游地，河邊有兩個(gè)景點(diǎn)、其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)景點(diǎn)H（、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求原路線(xiàn)的長(zhǎng)．8．（2022·江西·新余市第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A（3，4）、C（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)判斷格點(diǎn)△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值是______．9．（2022·陜西·西安市曲江第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若建立平面直角坐標(biāo)系，則圖中點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立滿(mǎn)足條件的平面直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)你認(rèn)為是直角三角形嗎？并說(shuō)明理由．10．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角△ABC中，，，點(diǎn)D是CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線(xiàn)交DE于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．(1)當(dāng)，求∠AGC的度數(shù)；(2)用等式表示線(xiàn)段CG與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．（2022·重慶九龍坡·八年級(jí)期末）如圖所示，在△ABC中，AD為中線(xiàn)，過(guò)C作CE⊥AD于E．(1)如圖1，若∠B＝30°，∠A＝90°，AC＝BD，AE＝1，求BC的長(zhǎng)．(2)如圖2，延長(zhǎng)DA至F，連接FC．若∠F＝∠BAD，求證：AF＝2DE．12．（2021·重慶巫溪·八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，且，．(1)求證：；(2)若，．求證：．13．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，AM是△ABC的中線(xiàn)，D是線(xiàn)段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE//AB交AC于點(diǎn)F，CE//AM，連結(jié)AE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形．(1)證明：四邊形AEFD是平行四邊形；(2)求∠DFE的度數(shù)．15．（2021·重慶市墊江第一中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交DC于點(diǎn)F，求證：(1)△ABE≌△CFE；(2)四邊形ABFD是平行四邊形．16．（2022·湖南·道縣朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：BE＝DF．17．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知在等邊三角形ABC中，E、F分別是BC、AC上的兩點(diǎn)，連結(jié)AE、BF交于D，．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，G是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CG交AE、BF于點(diǎn)H、I，若，求證：；(3)在（2）的條件下，，，求AH的長(zhǎng)．18．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接CE．(1)如圖1，點(diǎn)G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過(guò)G作GH⊥CE于點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點(diǎn)N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線(xiàn)，線(xiàn)段PQ（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）在線(xiàn)段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ＝，連接BP、NQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP+PQ+QN的最小值．19．（2021·廣東·深圳市海灣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形BDFC是平行四邊形；(2)若BC＝BD，求BF的長(zhǎng)．20．（2021·湖南·長(zhǎng)沙市第二十一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，把矩形OABC放入平面直角坐標(biāo)系xOy中，使分別落在x，y軸的正半軸上，其中，對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)解析式為，將矩形OABC沿著B(niǎo)E折疊，使點(diǎn)A落在邊OC上的D處．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求EA的長(zhǎng)度；(3)點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PBE的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)練06幾何題（20題）1．（2022·福建漳州·八年級(jí)期末）如圖，一塊邊長(zhǎng)為5的正方形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E．(1)求證：△ABE≌△BCO；(2)若OC＝3，求EO的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7【解析】(1)解：證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵OC⊥OB，AE⊥OB，∴∠AEB=∠BOC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°=∠ABE+∠OBC，∴∠BAE=∠OBC，在△ABE和△BCO中，，∴△ABE≌△BCO；(2)∵△ABE≌△BCO，∴BE=OC=3，在Rt△BOC中，BO=，∴OE=OB+BE=7．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求△ACB的面積．【答案】(1)AB=10(2)24【解析】(1)解：∵△ABE的面積為35，DE=7，DE⊥AB，∴AB×7=35，解得：AB=10；(2)解：在△ABC中，AB2=102=100，AC2+BC2=62+82=100，則AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∴S△ABC=AC?BC=×6×8=24，答：△ACB的面積24．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面積計(jì)算，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C=90°是解題的關(guān)鍵．3．（2020·福建·三明市列東中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD=．(1)求AD=______；(2)求證：△ABC是直角三角形．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，在Rt△BDC中，由勾股定理得：，在Rt△ADC中，由勾股定理得：，故答案為：；(2)證明：由（1）知：AD=，∵，∴，∵BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟記知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．4．（2022·海南?？凇ぐ四昙?jí)期末）如圖，在中，，，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，連接DE、DF、EF．(1)求證：≌；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(3)求四邊形AEDF的面積；(4)若，求EF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)(4)【解析】(1)證明：，，D為BC邊的中點(diǎn)，，在與中，≌；(2)≌，，，即，是等腰直角三角形，(3)≌，四邊形AEDF的面積(4)在中【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·晉江市季延中學(xué)八年級(jí)期末）（1）如圖①，AC平分，，若，則______．（2）探究：如圖②，四邊形ABCD中，AC平分，，求證：．（3）應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，AC平分，，，，，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）5；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）5；【解析】解：（1），∵AC平分，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD=5；故BC的長(zhǎng)為：5．（2）如下圖：過(guò)C作CE⊥AB于E，過(guò)C作CF⊥AD延長(zhǎng)線(xiàn)于F；∵∠B＋∠ADC=180°，A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，∴∠B=∠CDF，由（1）問(wèn)結(jié)論：CE=CF，∵∠CEB=∠CFD=90°，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴DC=BC．（3）如下圖：過(guò)點(diǎn)C分別作CM⊥AB于M，CN⊥AD延長(zhǎng)線(xiàn)于N；由（1）問(wèn)結(jié)論：CM=CN，△CMB中∠B=45°，∠CMB=90°，∴∠BCM=45°，∴△CMB是等腰直角三角形，∴CM=3，△CDN中∠CDN=180°-∠ADC=45°，∴△CDN是等腰直角三角形，∴DN=CN=CM=3，△CAN中∠CAN=90°，AN=AD＋DN=4，由勾股定理∴AC==5，故AC的長(zhǎng)為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握勾股定理是求直角三角形邊長(zhǎng)的關(guān)鍵．6．（2022·河南平頂山·八年級(jí)期末）一梯子長(zhǎng)2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的頂端下滑了，請(qǐng)問(wèn)這時(shí)使用是否安全．【答案】(1)這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)此時(shí)使用不安全【解析】(1)解：由題意可知在中，，，，∴由勾股定理可得，，即，∴，即這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)解：如圖所示，，則在中，，，∴由勾股定理可得，，∴可得，∴此時(shí)使用不安全．．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握勾股定理的計(jì)算公式及正確理解題意是解題的關(guān)鍵．7．（2022·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）伊通河，是長(zhǎng)春平原上的千年古流，是松花江的二級(jí)支流，它發(fā)源于吉林省伊通縣境內(nèi)哈達(dá)嶺山脈青頂山北麓，如圖，在伊通河筆直的河流一側(cè)有一旅游地，河邊有兩個(gè)景點(diǎn)、其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)景點(diǎn)H（、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求原路線(xiàn)的長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)原來(lái)的路線(xiàn)的長(zhǎng)為千米【解析】(1)是直角三角形，理由是：在中，∵，∴∴是直角三角形且；(2)設(shè)千米，則千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴解這個(gè)方程，得，答：原來(lái)的路線(xiàn)的長(zhǎng)為千米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵8．（2022·江西·新余市第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在7×7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A（3，4）、C（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)判斷格點(diǎn)△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值是______．【答案】(1)（0，0）(2)△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)詳解．(3)【解析】(1)解：B的坐標(biāo)是（0，0）故答案為：（0，0）(2)解：∵AC2=22+12=5，BC2=22+42=20，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．(3)如圖1所示：作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′連接AC′交x軸與點(diǎn)P，連接PC．∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴PC=P．∴AP+PC=AP+P．∴當(dāng)A，P，在一條直線(xiàn)上時(shí)，AP+PC有最小值，最小值為A的長(zhǎng)．∵A==．∴AP+PC的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)路徑最短問(wèn)題、勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)A，P，在一條直線(xiàn)上時(shí)，AP+PC有最小值．9．（2022·陜西·西安市曲江第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若建立平面直角坐標(biāo)系，則圖中點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中建立滿(mǎn)足條件的平面直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)你認(rèn)為是直角三角形嗎？并說(shuō)明理由．【答案】(1)(5，-3)；(2)不是直角三角形，理由見(jiàn)解析．【解析】(1)解：如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-3)；(2)解：不是直角三角形，理由如下：如圖1，連接AC、C、A，，，，，不是直角三角形；【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)變換作圖以及勾股定理及其逆定理，熟知關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵。10．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角△ABC中，，，點(diǎn)D是CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線(xiàn)交DE于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．(1)當(dāng)，求∠AGC的度數(shù)；(2)用等式表示線(xiàn)段CG與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)25°(2)，理由見(jiàn)解析【解析】(1)解：∵∠BAC=90°，，∴∠DAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠D+∠AED=90°，∵AF⊥DE，∴∠D+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠AED=20°，∴∠CAG=20°，∵∠ACB=∠CAG+∠AGC，∴∠AGC=25°；(2)解：，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AE于點(diǎn)E，交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∴∠BEH=90°，∠EBH=∠ABC=45°，∴∠BHE=∠EBH=45°，∴BE=HE，∴AD=BE=HE，∴BH2=BE2+HE2=2BE2，∴BH=BE，∵AD=BE，∴BH=AD，在△AEH和△EAD中，∵EH=AD，∠AEH=∠EAD=90°，AE=EA，∴△AEH≌△EAD（SAS），∴∠BAH=∠AED=∠DAF=∠CAG，∵∠ABH=180°-∠ABC=135°，∠ACG=180°-∠ACB=135°，∴∠ABH=∠ACG，在△ABH和△ACG中，

∵∠BAH=∠CAG，AB=AC，∠ABH=∠ACG，∴△ABH≌△ACG（ASA），∴BH=CG，∴CG=AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·重慶九龍坡·八年級(jí)期末）如圖所示，在△ABC中，AD為中線(xiàn)，過(guò)C作CE⊥AD于E．(1)如圖1，若∠B＝30°，∠A＝90°，AC＝BD，AE＝1，求BC的長(zhǎng)．(2)如圖2，延長(zhǎng)DA至F，連接FC．若∠F＝∠BAD，求證：AF＝2DE．【答案】(1)4(2)見(jiàn)解析【解析】(1)∵∠BAC=90°，AD為中線(xiàn)，∴BD=CD=AD=BC，∵∠B=30°，∴∠BAD=30°，∴∠DAC=60°，∵CE⊥AD，∴∠ACE=30°，∴AC=2AE=2，在Rt△ABC中，BC=2AC=4；(2)延長(zhǎng)ED到G，使DG=DE，則EG=2DE，連接GB，如圖：∵AD為中線(xiàn)，∴BD=CD，在△BDG和△CDE中，，∴△BDG≌△CDE（SAS），∴BG=CE，∠G=∠CED=90°=∠CEF，在△ABG和△FCE中，，∴△ABG≌△FCE（AAS），∴AG=EF，∴AG-AE=EF-AE，即EG=AF，∵EG=2DE，∴AF=2DE．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，涉及30°的直角三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用全等三角形的判定定理．12．（2021·重慶巫溪·八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，且，．(1)求證：；(2)若，．求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【解析】(1)證明:∵BF∥AD，且BF=DE，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴BD=EF，又CD=EF，∴BD=CD．(2)延長(zhǎng)AD到G，使DG=AD，連接BG，在△CDA和△BDG中，，∴△CDA≌△BDG，∴BG=AC，∠CAD=∠BGD，又∵∠BED=∠CAD，∴∠BED=∠G，∴BE=BG，∴BE=AC，又AD=BE，∴AC=AD．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)，第二問(wèn)利用倍長(zhǎng)中線(xiàn)法構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，AM是△ABC的中線(xiàn)，D是線(xiàn)段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE//AB交AC于點(diǎn)F，CE//AM，連結(jié)AE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析【解析】(1)證明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，∵AM是△ABC的中線(xiàn)，且D與M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形；(2)解：結(jié)論成立，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG∥DE交CE于G，∵CE∥AM，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED=GM，且ED∥GM，由（1）知，AB=GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解綁的關(guān)鍵．14．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形．(1)證明：四邊形AEFD是平行四邊形；(2)求∠DFE的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠DFE=150°．【解析】(1)證明：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°，∴∠DBF=∠ABC，在△ABC與△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE=4，同理可證：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB=EF=AD=3，∴四邊形AEFD是平行四邊形；(2)解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAE=360°-60°-90°-60°=150°，∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∠DFE=∠DAE=150°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DBF是解題的關(guān)鍵．15．（2021·重慶市墊江第一中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，交DC于點(diǎn)F，求證：(1)△ABE≌△CFE；(2)四邊形ABFD是平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)證明：∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE，∵△ACD是等邊三角形，∴∠CAD=∠ACD=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAC=∠ACD=60°，在△ABE和△CFE中，∴△ABE≌△CFE（ASA）；(2)證明：∵∠CAB=60°，∠ABC=90°∴∠ACB=30°，∵∠ACD=60°,∠BCD=∠BCA+∠ACD，,∴∠BCD=90°，∴AB∥CD，即AB//DF∵E是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴EC=AE=AB，∴∠ABF=∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°，∴∠ABF+∠BAD=180°∴AD∥BF，∴四邊形BCFD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·湖南·道縣朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：BE＝DF．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴BE＝DF．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）已知在等邊三角形ABC中，E、F分別是BC、AC上的兩點(diǎn)，連結(jié)AE、BF交于D，．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，G是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CG交AE、BF于點(diǎn)H、I，若，求證：；(3)在（2）的條件下，，，求AH的長(zhǎng)．【答案】(1)60°(2)見(jiàn)解析(3)6【解析】(1)解：如圖1，是等邊三角形在與中即(2)如圖2，，設(shè)，，，，則(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是等邊三角形，，，，，，

設(shè)，則作正方形，，，解得【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接CE．(1)如圖1，點(diǎn)G在BD上，且DG＝DC，連接CG，過(guò)G作GH⊥CE于點(diǎn)H，連接DH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，若HG＝BM，求證：BM+DH＝DB；(2)如圖2，∠ABC＝120°，AB＝，點(diǎn)N在BC邊上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分線(xiàn)，線(xiàn)段PQ（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)）在線(xiàn)段CE上運(yùn)動(dòng)，PQ＝，連接BP、NQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP+PQ+QN的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DM交CE于點(diǎn)F，設(shè)CE與BD交于點(diǎn)K，∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE，∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°，∴∠CDF＝∠GDH，∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC，∴∠DCF＝∠DGH，在△DCF和△DGH中，，∴△DCF≌△DGH（ASA），∴DF＝DH，CF＝GH，∵∠FDH＝90°，∴△DFH是等腰直角三角形，∴∠DFH＝∠DHF＝45°，F(xiàn)H＝DH，∵DC＝DG，∠CDG＝90°，∴∠CGD＝DCG＝45°，∴∠CGD＝∠DHF，∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH，∴∠GCH＝∠BDM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG，在△DMB和△CGH中，，∴△DMB≌△CGH（AAS），∴DB＝CH，∵CF＝GH，BM＝GH，∴CF＝BM，∵CF+FH＝CH，∴BM+DH＝DB；；(2)如圖2，在CD上截取CG＝CN，連接GQ，過(guò)點(diǎn)B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，連接DF交CE于點(diǎn)T，連接QF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD，CD＝AB＝，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵BD⊥CD，CD＝，∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝2CD＝2，∴BD＝＝＝，∵CE平分∠DCB，∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°，∵BFCE，∴∠CBF＝∠BCE＝30°，∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°，∵FM⊥BD，BF＝，∴BM＝BF＝＝，F(xiàn)M＝BM＝×＝，∴DM＝BD-BM＝＝，∴DF＝＝＝，∵DF2+BF2＝，∴DF2+BF2＝BD2，∴BF⊥DF，∵BFCE，∴CE⊥DF，∵∠DCE＝30°，∴∠CDF＝90°-30°＝60°，∵BC＝2，BC＝4CN，∴CN＝＝，∴CG