專(zhuān)項(xiàng)18利用垂徑定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度(原卷版+解析)

專(zhuān)項(xiàng)18利用垂徑定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度考點(diǎn)1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.符號(hào)語(yǔ)言：∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，∴AE＝BE,推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦（不是直徑），且AE＝BE.弦心距：圓心到弦的距離（垂線(xiàn)段OE）常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分考點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【典例1】（2021九上·溫州期末）如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.已知OC=5，OD=4，則弦AB的長(zhǎng)為()A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2021九上·平谷期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CDAB，垂足為點(diǎn)E，若⊙O的半徑為5，CD=8，則AE的長(zhǎng)為（）A．3 B．2 C．1 D．3【變式1-2】（2022九上·東陽(yáng)期末）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【變式1-3】（2021九上·東營(yíng)月考）如圖，將一個(gè)半徑為2cm的圓形卡片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.【變式2-1】（2021九上·五常期末）如圖，某小區(qū)的一個(gè)圓形管道破裂，修理工人準(zhǔn)備更換一段新管道，現(xiàn)在量得污水水面寬度為80cm，水面到管道頂部的距離為20cm，則修理工人應(yīng)準(zhǔn)備的新管道的內(nèi)直徑是cm．【變式2-2】（2021九上·杭錦后旗月考）如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，CD=4，EM=6，則CED所在圓的半徑是．【變式2-3】（2021九上·溫州月考）如圖是鄭州圓形“戒指橋”，其數(shù)學(xué)模型為如圖所示.已知橋面跨徑AB＝20米，D為圓上一點(diǎn)，DC⊥AB于點(diǎn)C，且CD＝BC＝14米，則該圓的半徑長(zhǎng)為米.【典例3】（2021九上·黔西南期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN=4m時(shí)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施.【變式3-1】（2020九上·廣東開(kāi)學(xué)考）有一輛載有集裝箱的卡車(chē)，高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長(zhǎng)方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長(zhǎng)方形的另一條邊長(zhǎng)是2.3米，這輛卡車(chē)能否通過(guò)此橋洞？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.1.（2021九上·寧波月考）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則CD的長(zhǎng)是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm2．（2021九上·余杭月考）如圖，已知⊙O的半徑為4，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E.若∠B＝22.5°，則CD長(zhǎng)度為（）A．22 B．4 C．423．（2021九上·豐臺(tái)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑．如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為C，交AB于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量AB=8cm，CD=2cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為cm．4.（2021九上·鄂爾多斯期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=10，CD=8，那么AE的長(zhǎng)為；5．（2020九上·臺(tái)山期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別等于3和6，大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，則AB=．6．（2021九上·長(zhǎng)沙月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AE＝1，CD＝4，則OC長(zhǎng)為.7.（2021九上·南寧月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，若CD＝8cm，MB＝2cm，則直徑AB的長(zhǎng)為cm.8．（2021九上·香洲期末）如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求CED所在圓的半徑．9.（2020九上·金昌期中）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，點(diǎn)P為切點(diǎn).求證：AP=BP.10.（2020九上·金華期中）2020年8月4日，臺(tái)風(fēng)“黑格比”來(lái)襲，東陽(yáng)南馬鎮(zhèn)被雨水“圍攻”．如圖，當(dāng)?shù)赜幸蛔鶊A弧形拱橋，跨度AB=60m，拱高PM=18m，當(dāng)洪水泛濫，水面跨度縮小到30m時(shí)要采取緊急措施，當(dāng)時(shí)測(cè)量人員測(cè)得水面A1B1到拱頂距離只有4m時(shí)，問(wèn)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)項(xiàng)18利用垂徑定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度考點(diǎn)1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.符號(hào)語(yǔ)言：∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，∴AE＝BE,推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵CD為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦（不是直徑），且AE＝BE.弦心距：圓心到弦的距離（垂線(xiàn)段OE）常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分考點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【典例1】（2021九上·溫州期末）如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D.已知OC=5，OD=4，則弦AB的長(zhǎng)為()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵OC⊥AB，

∴AD=DB，

∵OC=OB=5，OD=4

∴在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD=OB2?OD2=52?4A．3 B．2 C．1 D．3【答案】B【解答】解：連接OC，如圖∵AB為⊙O的直徑，CDAB，垂足為點(diǎn)E，CD=8，∴CE=1∵AO=CO=5，∴OE=C∴AE=5?3=2；故答案為：B．【變式1-2】（2022九上·東陽(yáng)期末）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【解答】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點(diǎn)為M、N由題意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON?OM=1cm②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF的交點(diǎn)為N、P，連接OB由題意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案為：D.【變式1-3】（2021九上·東營(yíng)月考）如圖，將一個(gè)半徑為2cm的圓形卡片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【答案】C【解答】解：如圖，連接OA，連接點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，由折疊得OD=DE=12OE=1cm，OD⊥∴AD=BD=12在Rt△AOD中，OD∴AD=OA∴AB=2AD=23故答案為：C．【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為寸.【答案】26【解答】如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，過(guò)O作OD⊥AB于D，延長(zhǎng)OD與⊙O交于E，連接AO，在Rt△AOD中，AD=12AB=5寸，OD=OE?DE=r?1由勾股定理可得AD2+O解得r=13，∴該圓材的直徑為26寸，故答案為26【變式2-1】（2021九上·五常期末）如圖，某小區(qū)的一個(gè)圓形管道破裂，修理工人準(zhǔn)備更換一段新管道，現(xiàn)在量得污水水面寬度為80cm，水面到管道頂部的距離為20cm，則修理工人應(yīng)準(zhǔn)備的新管道的內(nèi)直徑是cm．【答案】100【解答】解：如圖所示，作管道圓心O，管道頂部為A點(diǎn)，污水水面為BD，連接AO，AO與BD垂直相交于點(diǎn)C．設(shè)AO=OB=r則OC=r-20，BC=1有Or化簡(jiǎn)得r=50故新管道直徑為100cm．故答案為：100．【變式2-2】（2021九上·杭錦后旗月考）如圖，M是CD的中點(diǎn)，EM⊥CD，CD=4，EM=6，則CED所在圓的半徑是．【答案】10【解答】解：如圖，連接OC，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，CD=4，∴CM=1∵EM⊥CD，∴EM過(guò)⊙O的圓心O，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=EM-OE=6-r，在Rt△COM中，OM∴(6?r)2解得：r=10即CED所在圓的半徑是103故答案為：10【變式2-3】（2021九上·溫州月考）如圖是鄭州圓形“戒指橋”，其數(shù)學(xué)模型為如圖所示.已知橋面跨徑AB＝20米，D為圓上一點(diǎn)，DC⊥AB于點(diǎn)C，且CD＝BC＝14米，則該圓的半徑長(zhǎng)為米.【答案】26【解答】解：作OE⊥AB，作DF⊥OE，如下圖：則四邊形CDFE為矩形，DF=EC，EF=CD=14，∵OE⊥AB，∴BE=1∴CE=DF=BC+BE=24，設(shè)OF=x，則OE=OF+EF=x+14，由勾股定理可得：OBOD∵OB=OD，∴x2解得x=10，OD=O故半徑長(zhǎng)為26米.故答案為：26.【典例3】（2021九上·黔西南期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN=4m時(shí)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施.【答案】解：設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連結(jié)OA，OA設(shè)半徑為x(m)則OA=OA'=OP=x(m)由垂徑定理可知AM=BM，A'N=B'N∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP?PM=(x?18)m在RtΔAOM中，由勾股定理可得A即x2=∴ON=OP?PN=34?4=30(m)在ΔA'ON中，由勾股定理可得A'N=∴A'B'=32m>30m∴不需要采取緊急措施.【變式3-1】（2020九上·廣東開(kāi)學(xué)考）有一輛載有集裝箱的卡車(chē)，高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)如圖所示的上邊是半圓，下邊是長(zhǎng)方形的橋洞，已知半圓的直徑為2米，長(zhǎng)方形的另一條邊長(zhǎng)是2.3米，這輛卡車(chē)能否通過(guò)此橋洞？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.【解答】解：如圖，

設(shè)M，N為卡車(chē)的寬度，

過(guò)M，N作AB的垂線(xiàn)交半圓于點(diǎn)C，D，過(guò)O作OE⊥CD，E為垂足，

則CD=MN=1.6，AB=2，

∴CE=DE=0.8，

∵OC=OA=1，

在Rt△OCE中，OE=OC2?CE2=121.（2021九上·寧波月考）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則CD的長(zhǎng)是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：連接OA，則OA=10cm，∵OC⊥AB，OC過(guò)點(diǎn)O，AB=16cm，∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=OA∵OC=10cm，∴CD=OC-OD=4cm.故答案為：C.2．（2021九上·余杭月考）如圖，已知⊙O的半徑為4，直徑AB垂直于弦CD，垂足為點(diǎn)E.若∠B＝22.5°，則CD長(zhǎng)度為（）A．22 B．4 C．42【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵∠AOC=2∠B=2×22.5°=45°，∴△OCE為等腰直角三角形，∴CE=22OC=22×4=∴CD=2CE=42故答案為：C.3．（2021九上·豐臺(tái)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑．如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為C，交AB于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量AB=8cm，CD=2cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為cm．【答案】5【解答】解：設(shè)圓心為O，連接OB．Rt△OBC中，BC＝12根據(jù)勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB?2）2＋42＝OB2，解得：OB＝5；故輪子的半徑為5cm．故答案為：5．4.（2021九上·鄂爾多斯期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=10，CD=8，那么AE的長(zhǎng)為；【答案】2【解答】解：連接OC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，AB＝10，∴OC＝OA＝5，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，∴OE＝52∴AE＝OA?OE＝5?3＝2，故答案為：2．5．（2020九上·臺(tái)山期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別等于3和6，大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，則AB=．【答案】6【解答】解：連接OP、OA，如圖，∵大圓的弦AB是小圓的切線(xiàn)，點(diǎn)P為切點(diǎn)，∴OP⊥AB，∴AP=BP，在Rt△AOP中，∵OP=3，OA=6，∴AP=OA∴AB=2AP=63故答案為636．（2021九上·長(zhǎng)沙月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AE＝1，CD＝4，則OC長(zhǎng)為.【答案】5【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE=12設(shè)OC=OA=r，則OE=r-1，在Rt△COE中，由OC2=OE2+CE2知r2=（r-1）2+22，解得r=52，即⊙O的半徑OC為5故答案為：527.（2021九上·南寧月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，若CD＝8cm，MB＝2cm，則直徑AB的長(zhǎng)為cm.【答案】10【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑是rcm，則OB＝OC＝rcm，∵AB⊥CD，AB過(guò)圓心O，CD＝8cm，∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，即⊙O的半徑是5cm，∴直徑AB的長(zhǎng)是10cm