陜西省乾縣晨光中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試卷

2024~2025學(xué)年度乾縣晨光中學(xué)高二上學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.92.若，則（）A.B.C.22D.293.若函數(shù)在上單調(diào)遞減且對任意滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.4.在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（）A. B.1 C. D.5.已知向量為平面法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.6.隨機變量服從若則下列選項一定正確的是（）A B.C. D.7.點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（）A.B.C.D.8.在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知，，則在上的投影向量為B.若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，則C.若，則A，B，C，G四點共面D.若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為10.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，內(nèi)角A的平分線交BC于點D，，，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的面積為11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.平面與平面夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為______.13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則三棱錐的體積為__________.14.如果一個直角三角形的斜邊長等于，則當(dāng)這個直角三角形周長取最大值時，其面積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．16.如圖，已知多面體的底面是菱形，側(cè)棱底面，且.（1）證明：；（2）若，，，求直線BC與平面所成的角的正弦值.17.如圖，三棱臺，，，平面平面，，，，與相交于點，，且平面.（1）求三棱錐的體積；（2）平面與平面所成角為，與平面所成角為，求的值.18.如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，側(cè)棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值的最小值.19.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．1.C由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選C.2.A由，得，所以.故選A.3.D因為，所以的對稱軸為，在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，又因為，由對稱性可得，所以，，.故選D.4.C由題可知，，,所以有，所以，得.故選C5.B因為，所以，因為平面的法向量，所以點到平面的距離.故選B6.C因為由正態(tài)分布的對稱性，可得，正態(tài)分布方差無法判斷，，，所以ABD錯誤.故選:C7.B將直線方程變形為，所以解得由此可得直線恒過點，所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時直線垂直于到直線的最短距離為0，此時直線經(jīng)過點.又，所以到直線的距離的取值范圍是.故選B.8.D在正三棱錐中，，所以，又，所以.故選D.9.BD對于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯誤；對于B：若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，，則，故B正確；對于C：由于，對于，故A，B，C，G四點不共面，故C錯誤；對于D：p在單位正交基底下的坐標(biāo)為（1，2，3），即，所以在基底下滿足，故，，，解得，，，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.故選BD.10.ACD在中，∵，則，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，則，故選項A正確；在中，則，故選項B錯誤；由題意可知：，即，由，解得，故選項C正確；在中，∵，則，∴，故選項D正確.故選：ACD.11.BCD根據(jù)題意可知兩兩垂直，不妨以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，所以，所以，不垂直，故A錯誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因為直線平面，所以平面，故B正確；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，可得，而即底面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角，則,故C正確；設(shè)直線與平面所成角為，，則，故D正確.故選：BCD.12.解：某人參加考試，4道題目中，答對的題目數(shù)滿足二項分布，所以故答案為：13.2由題意得，所以的面積為，點都在平面上，點到平面的距離3，所以三棱錐的體積為.14.2如圖所示：在中，，而直角三角形周長，由勾股定理可知，若要使最大，只需最大即可，即最大即可，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，此時，其面積為.故答案為：.15.（1）因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因為，所以，根據(jù)平面知識可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過點D作于，再過點作于，連接，因為平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因為，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．16.解：（1）因為，所以，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為四邊形是菱形，所以，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）設(shè)AC交BD于，以為原點，以O(shè)B為軸，OC為軸，過作為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可知，，，，.，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以.設(shè)直線BC與平面所成角為，則，因此直線BC與平面所成角的正弦值為.17.（1）略（2）由題意及（1）得，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，則，平面的一個法向量為，所以，.又因為，，所以，.，又，所以.18.（1）證明：因為是等邊三角形，點是棱的中點，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：在平面中，過點作，所以，又平面平面，所以，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因為是等邊三角形，，所以，，因為，所以.設(shè)，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，因為所以令，得，，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，因為所以令，得，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面所成角為，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以當(dāng)，即時，取到最小值.19.（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結(jié)交于點N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由