冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 28.3 圓心角和圓周角（學(xué)習(xí)、上課課件）

28.3圓心角和圓周角第二十八章圓逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2弧、弦、圓心角之間的關(guān)系圓周角圓周角定理的推論圓內(nèi)接四邊形知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系11.圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角，如圖28-3-1，∠AOB是AB

所對(duì)的圓心角，AB是∠AOB所對(duì)的弧.注意：一條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè).⌒⌒感悟新知2.圓心角與弧、弦之間的關(guān)系(1)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧也相等.(2)在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及其所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等.知1－講感悟新知知1－講警示誤區(qū)不能忽略在同圓或等圓中這個(gè)前提，如果丟掉了這個(gè)前提，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等.如圖28-3-2，兩個(gè)圓的圓心相同，AB與A′B′對(duì)應(yīng)的圓心角相等，但AB

≠A′B′，AB≠A′B′.⌒⌒⌒⌒感悟新知3.示例如圖28-3-3，若∠AOB=∠A′OB′，則AB=A′B′，AB=A′B′.知1－講⌒⌒知1－練感悟新知如圖28-3-4，AB，CD是⊙O

的兩條直徑，弦CE∥AB，求證：BC=AE.例1⌒⌒知1－練感悟新知證明：如圖28-3-4，連接OE.∵OE=OC，∴∠C=∠E.∵CE∥AB，∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.解題秘方：構(gòu)造圓心角，利用在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等證明.知1－練感悟新知1-1.如圖，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD

分別交AB

于點(diǎn)E，F(xiàn)，且OE=OF．求證：AC=BD．⌒⌒知1－練感悟新知知1－練感悟新知[母題教材P154練習(xí)T1]如圖28-3-5，在⊙O

中，AB=CD，有下列結(jié)論：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD

.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4例2

⌒⌒⌒⌒知1－練感悟新知解題秘方：緊扣弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理的推論判斷.答案：D解：∵AB=CD，∴AB=CD，故①正確.∵AB=CD，∴AB

－BC=CD－BC

，即AC=BD，∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故②③④正確.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒知1－練感悟新知2-1.

[中考·河北]如圖，點(diǎn)P1

～P8

是⊙O

的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7

的周長(zhǎng)分別為a，b，則下列結(jié)論正確的是(

)A.a<bB.a=bC.a>bD.a，b

的大小無法比較A感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)圓周角21.圓周角的定義?頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.特征：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②兩邊都和圓相交.感悟新知知2－講示例：如圖28-3-6①中的角是圓周角.感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別提醒圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系：項(xiàng)目圓心角圓周角區(qū)別頂點(diǎn)在圓心頂點(diǎn)在圓上在同圓中，一條弧所對(duì)的圓心角唯一在同圓中，一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)聯(lián)系圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

感悟新知知2－練[母題教材P158習(xí)題B組T1]如圖28-3-8，AB是⊙O的直徑，弦BC=BD，若∠BOD=50°，則∠A的度數(shù)為_________.例325°知2－練感悟新知解題秘方：連接OC，將求BC

所對(duì)的圓周角轉(zhuǎn)化為求BC所對(duì)的圓心角來解.

⌒⌒知2－練感悟新知3-1.

[中考·杭州]如圖，在⊙O

中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C

在劣弧AB上．若∠ABC=19°，則∠BAC=(

)A.23°B.24°C.25°D.26°D感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)圓周角定理的推論31.推論(1)直徑所對(duì)的圓周角是直角；(2)

90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.2.推論?在同圓(或等圓)中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.感悟新知知3－講3.“四量關(guān)系”定理(拓展)在同圓或等圓中，如果兩條弧、兩條弧所對(duì)的圓心角、圓周角、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.知3－講感悟新知特別提醒“同弧或等弧”若改為“同弦或等弦”，結(jié)論就不成立了.因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩種情況：優(yōu)弧上的圓周角和劣弧上的圓周角.知3－練感悟新知如圖28-3-9，AB是⊙O

的直徑，BD

是⊙O

的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，連接AC，使AC=AB.求證：BD=CD.例4

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，并結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求解.證明：如圖28-3-9，連接AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.知3－練感悟新知4-1.如圖，AB

是⊙O的直徑，C，D

是⊙O上的兩點(diǎn)，且BC

平分∠ABD，連接OC，交AD

于點(diǎn)E，求證：OC

⊥AD．證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD.知3－練感悟新知如圖28-3-10，已知經(jīng)過原點(diǎn)的⊙P

與x

軸，y

軸分別交于A，B

兩點(diǎn)，點(diǎn)C

是AB

上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是()A.80°B.90°C.100°D.無法確定例5⌒知3－練感悟新知解題秘方：利用“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，并結(jié)合“直徑所對(duì)的圓周角是直角”求解.解：連接AB，如圖28-3-10.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙P的直徑.∴∠ACB=90°.答案：B知3－練感悟新知通用技巧：常見的作輔助線的方法：(1)有直徑，通常作直徑所對(duì)的圓周角，從而得出兩直線互相垂直，簡(jiǎn)記為見直徑作直角.(2)有90°的圓周角，通常作直徑，簡(jiǎn)記為有直角作直徑.知3－練感悟新知5-1.如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)都在⊙O

上，點(diǎn)E

為AD

上的點(diǎn)，OE

∥CD，OE=CD，連接AE，則∠EAD=

________.30°⌒知3－練感悟新知如圖28-3-11，A，B，C，D

是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∠ABD=∠DBC．求證：△ACD是等腰三角形.例6

知3－練感悟新知解題秘方：緊扣“同弧所對(duì)的圓周角相等”證明.證明：∵A，B，C，D是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∴∠ACD=∠ABD，∠DBC=∠CAD.又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ACD=∠CAD.∴△ACD

是等腰三角形.知3－練感悟新知6-1.如圖，以AB

為直徑的⊙O

經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE

分別平分∠BAC

和∠ABC，AE

的延長(zhǎng)線交⊙O

于點(diǎn)D，連接BD．判斷△

BDE的形狀，并證明你的結(jié)論．知3－練感悟新知解：△BDE為等腰直角三角形．證明如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED，∴△BDE為等腰三角形．∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形．感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形41.圓內(nèi)接四邊形四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).感悟新知知4－講3.拓展圓內(nèi)接四邊形的每一個(gè)外角都等于與它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角.知4－講感悟新知特別解讀每一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓.感悟新知知4－練[中考·常德][教材P174復(fù)習(xí)題A組T5[如圖28-3-12，四邊形ABCD

為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數(shù)為()A.50°B.80°C.100°D.130°例7知4