2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）1.2.3 第1課時 等差數(shù)列的前n項和

1.2.3等差數(shù)列的前n項和第1課時等差數(shù)列的前n項和A級必備知識基礎練1.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a5+a6=31,S7=77,則數(shù)列{an}的公差為()A.2 B.3C.4 D.62.在等差數(shù)列{an}中,S3=6,S5=20,則a4=()A.2 B.4C.6 D.83.[2024甘肅慶陽高二期末]在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,若a2+a8=8,則S9=()A.20 B.27C.32 D.364.[2024甘肅武威高二階段練習]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a8=17,S17=340,則數(shù)列{an}的公差是()A.-4 B.-3C.14 D.5.一百零八塔,因塔群的塔數(shù)而得名,是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一,塔群隨山勢鑿石分階而建,由下而上逐層增高,依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,….若該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列,則該塔群共有()A.10層 B.11層C.12層 D.13層6.(多選題)已知等差數(shù)列{an},Sn是其前n項和,若S10=a10=10,則()A.a1=-8 B.a5=0C.S5=18 D.S5=-207.某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品,第1年獲得的利潤為200萬元,從第2年起由于市場競爭等方面的原因,利潤每年比上一年減少20萬元,按照這一規(guī)律,若該公司不調(diào)整經(jīng)營策略,則an(an為第n年獲得的利潤)與n的關(guān)系為,Sn(Sn為前n年獲得利潤的總和)與n的關(guān)系為.

8.為了參加學校的長跑比賽,某學校高二年級小李同學制定了一個為期15天的訓練計劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎上增加相同距離.若小李同學前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,求這15天小李同學總共跑的路程.B級關(guān)鍵能力提升練9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=4n2-10n,則a2a6=()A.52 B.68 C.96 D.10810.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和,則最大的一份為(A.1153 B.1183 C.121311.(多選題)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=n2-4n D.Sn=12n2-212.(多選題)在等差數(shù)列{an}中,已知a3=10,a11=-6,Sn是其前n項和,則()A.a7=2 B.S10=54C.d=-2 D.S13.漢代將1000枚銅錢用緡(絲繩或麻繩)串起來,稱為一“緡”(mín),再放在一起成為一堆.為清點一批銅錢的數(shù)目,工作者先將其串成緡,并在最底層放置70緡,然后一層一層往上碼,每層遞減一緡,最上面一層為31緡,則這堆銅錢共有緡.

14.[2024甘肅白銀高二期末]在等差數(shù)列{an}中,前五項和為10,最后五項之和為90,前n項之和為180,則項數(shù)n=.

15.從①a4+a5=-4,②a2+a6=-6,③S7=14這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,若問題中的k存在,求k的值;若k不存在,說明理由.問題:已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a7=3.若,則是否存在k,使得Sk-1>Sk且Sk<Sk+1?

C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通項公式an;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍.

第1課時等差數(shù)列的前n項和1.B∵a5+a6=31,S7=77,∴2a解得d=3,故選B.2.C設等差數(shù)列{an}的公差為d,則3a1+3d=6,5a1+10d=20,解得3.D等差數(shù)列{an}中,由等差數(shù)列的性質(zhì)得,a2+a8=a1+a9=8,則S9=9(a1+a94.D因為S17=17(a1+a17)2=17·2a92=17a9=340,所以a9=20,又a8=17,5.C設塔群共有n層,依山勢自上而下各層的塔數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an},前n項和為Sn.依題意,得a5,a6,…,an成等差數(shù)列,且公差為2,a5=5,所以Sn=1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,6.ABD設數(shù)列{an}的公差為d,由題意可得10a1所以a5=a1+4d=-8+4×2=0,S5=5a1+5×42d=5×(-8)+10×2=-20,7.an=-20n+220Sn=-10n2+210n依題意,每年獲得的利潤依次排成一列構(gòu)成等差數(shù)列{an},且首項a1=200,公差d=-20,于是得an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.Sn=n(a1+an)28.解設小李第n天跑an米,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設{an}的公差為d.∵小李同學前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,∴a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400,∴a1+a15=4800.∴這15天小李同學總共跑的路程為S15=152(a1+a15)=152×4800=360009.B由題意,數(shù)列{an}滿足Sn=4n2-10n,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故選B.10.A設5人分到的面包數(shù)量從小到大記為{an},{an}的公差為d,依題意可得S5=5(a1+a5)2=5a3∵a3+a4+a5=7(a1+a2),∴60+3d=7(40-3d),解得d=556∴a5=a3+2d=20+553=115311.AC設等差數(shù)列{an}的公差為d,由S4=0,a5=5,得4a1+6d=0,a1+4d=5,解得a1=-3,d12.ACD設等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a3=10,a11=-6,∴a1+2d=10,a1+10d=-6,解得a1=14,d=-2.∴Sn=14n+n(n-1)2×(-∴a7=14-2×6=2,S10=15×10-102=50,S77-S88=15-7-(15-8)=1>0,13.2020由題意知,這堆銅錢的緡數(shù)從上到下構(gòu)成以31為首項、以1為公差的等差數(shù)列,且末項為70,設這堆銅錢擺放了n層,故70=31+(n-1)×1,解得n=40,所以共有40層,故這堆銅錢共有40×(31+70)2=14.18因為a1+a2+a3+a4+a5=10,an+an-1+an-2+an-3+an-4=90,所以(a1+a2+a3+a4+a5)+(an+an-1+an-2+an-3+an-4)=100,所以5(a1+an)=100,即a1+an=20.因為Sn=n(a1+an15.解若存在k,使得Sk-1>Sk且Sk<Sk+1,則ak<0,ak+1>0.設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.若選擇條件①:由a7=3所以an=-9+2(n-1)=2n-11.令an<0,得n<112,所以當k=5時,滿足a5<0,a6>0,所以k=5滿足題意若選擇條件②:由a7=3所以an=-9+2(n-1)=2n-11.由an<0,得n<112所以當k=5時,滿足a5<0,a6>0,所以k=5滿足題意.若選擇條件③:由a7=3所以an=1+13(n-1)=13n+易知an>0恒成立,所以不存在滿足條件的k.16.解(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為S9=-a5,所以(a1+a9)×92因為a3=4,所以d=a5-a故