三角函數(shù)性質(zhì)難點(diǎn)參數(shù)類問題歸納（教師版）

三角函數(shù)性質(zhì)難點(diǎn)參數(shù)類問題歸納（教師版）值域類含參問題單調(diào)性參數(shù)問題奇偶性參數(shù)問題對稱性參數(shù)問題周期性變形零點(diǎn)參數(shù)問題值域類含參問題已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析：由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，知x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，a＋\f(π,6))).∵x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))時(shí)，f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴由函數(shù)的圖象知eq\f(π,2)≤a＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴eq\f(π,3)≤a≤π.例2.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx-π3)+1，（ω>0）的圖象在區(qū)間(0A．(0，53] B．(23，5【答案】A【解析】【解答】解：由x∈(0，2π)，可得ωx-π3∈-π3，2ωπ-π3，畫出f(x)=2cos(ωx-故答案為：A.單調(diào)性參數(shù)問題例1.若f(x)＝2sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是________．【答案】因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))(ω>0)，所以ωx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(πω,2)，\f(2πω,3)))，因?yàn)閒(x)＝2sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(2π,3)))上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(πω,2)≥－\f(π,2)，,\f(2πω,3)≤\f(π,2)，,ω>0，))故0<ω≤eq\f(3,4).例2.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f(π4)=2，f(4π3)=0，且f(x)在區(qū)間【答案】30【解析】【解答】因?yàn)閒(x)在區(qū)間(π4，2π3)上單調(diào)，所以T2≥因?yàn)閒(π4)=2所以2k-14T=4π3-所以ω=6當(dāng)ω=6(2k-1)13故答案為：3013例3.若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在(-π6，π6)A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】∵x∈(-π6，π6)∴ωx∈(-π6則(-π6可得π6ω≤π2-π6ω≥-π2，解得故答案為：A.奇偶性參數(shù)問題例1.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)A．關(guān)于點(diǎn)(5π12，0)對稱 C．關(guān)于點(diǎn)(π12，0)對稱 【答案】A【解析】【解答】由題意ω=2ππ=2，平移得函數(shù)式為g(x)=sin[2f(f(5π12∴(5π故答案為：A.例2.函數(shù)f(x)=cos(2x-2π3)-sin(2x-3π2)，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(A．π12 B．5π12 C．π6 【答案】B【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=cos(2x-=3所以g(x)=f(x+φ)=3sin(2x+2φ-π3)，而g(x)為偶函數(shù)，所以2φ-π3=故答案為：B．對稱性參數(shù)問題例1.將函數(shù)f(x)=2cos2x2-cos(x+πA．π24 B．π12 C．π6 【答案】B【解析】【解答】f=2×==sin因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2，再向左平移所以g(因?yàn)間(所以g(x)所以2×π12+2φ+因?yàn)棣?gt;0，所以當(dāng)k=0時(shí)，φ取得最小值π12故答案為：B.例2.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0A．23 B．12 C．1 D【答案】A【解析】【解答】解：∵f(2π3-x)=f(x-π6)，∴f(x)關(guān)于x=2π3-π62=π4對稱，故答案為：A.周期性變形例1.已知函數(shù)f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)滿足f(x1)-f(x2)=4，且|A．6-22 B．1 C．3 【答案】A【解析】【解答】∵f(x)=3sinωx-cosωx=2sin(ωx-π6)(ω>0)，則f(x)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則|x1-x2|=T2=π∴f(x)=3sin2x-cos2x故答案為：A.例2.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))))(ω>0)的最小正周期為π，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)解析：由題設(shè)及周期公式得T＝eq\f(π,ω)＝π，所以ω＝1，即f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))＝eq\f(\r(3),2).零點(diǎn)參數(shù)問題例1.已知函數(shù)f(x)=6cos（1）求f(x)的最小正周期和對稱中心；（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)y=f(x)-a在x∈[π12，5π【答案】（1）解：f(x)=6==3(3所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π2令2x-π6=kπ，k∈Z，解得，x=所以函數(shù)f(x)的對稱中心為(π12+（2）解：令-π2+2kπ≤2x-解得-π6+kπ≤x≤所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π6+kπ（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-a在x∈[π即方程sin(2x-π6當(dāng)x∈[π12，5π12所以0≤a3≤1，即0≤a≤3，故實(shí)數(shù)a例2.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在區(qū)間(0，【答案】(【解析】【解答】解：由x∈(0，π)，得ωx+π3∈(π3，πω+π3)，已知函數(shù)故答案為：(5跟蹤訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx-π3)+1，（ω>0）的圖象在區(qū)間(0A．(0，53] B．(23，5【答案】A【解析】【解答】解：由x∈(0，2π)，可得ωx-π3∈-π3，2ωπ-π3，畫出f(x)=2cos(ωx-故答案為：A.2.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|≤π2)，已知點(diǎn)(-π4，0)A．25 B．85 C．125 【答案】C【解析】【解答】解：由f(x)在區(qū)間[π，3π2]上單調(diào)遞減，可得32π-π≤T2，即T≥π

由點(diǎn)(-π4，0)為f(x)圖象的一個(gè)對稱中心，直線x=π為f(x)圖象的一條對稱軸，可得π--π4=54π

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知54π=T4+kT2，k∈Z

當(dāng)54π=T4時(shí)，T=5π，故ω=2πT=25，f(x)=sin(25x+φ)，由于f(x)在x=π處取得最大值，故

25π+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π10+2kπ，k∈Z，又φ≤π2，可得φ=π10，符合題意；

當(dāng)A．73 B．13 C．3 D【答案】B【解析】【解答】解：將函數(shù)f(x)得到函數(shù)g(因?yàn)閤∈[0，π4又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)所以ωπ4≤所以ω的值可能為13故答案為：B4.已知函數(shù)f(x)=4cos(π2-ωx2A．[0，34] B．(0，89]．【答案】C【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=4=23因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-π3，3π4則-π3ω-π6當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，故只需π2≤ωπ-π綜上所述，ω的取值范圍為[2故答案為：C.5（多選）.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，A．f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-πB．f(x)的圖像關(guān)于直線x=-5πC．將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移π6個(gè)單位長度，可得到余弦函數(shù)g(x)=cosxD．若方程f(x)=m在[-π2，0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則【答案】B,C,D【解析】【解答】解：易得A=2，T4=π3-π12=π4，可得T=π，即ω=2πT=2，又因?yàn)閒π3=2sin2π3+φ=0，所以2π3+φ=kπ，k∈z，由于φ<π2，所以φ=π3，即函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)

A、因?yàn)楫?dāng)x=-π3時(shí)，f(-π3)=2sin(2-π3+π3)=-3，所以f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(-π3，0)對稱，故A錯(cuò)誤；

B、因?yàn)楫?dāng)x=-5π12時(shí)，函數(shù)f(x)=-2，所以函數(shù)故答案為：BCD.6.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+φ)(-π2<φ<A．f(x)滿足f(B．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π4個(gè)單位長度后與g(x)=cos3xC．若|f(x1)-f(xD．若y=|f(x)|在[a，b]上單調(diào)遞減，那么b-a【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(3x+φ)(-π2<φ<π所以3π4+φ=π因?yàn)?π2<φ<π2對于A，f(π12+x)=sin(π4對于B，函數(shù)f(x)的圖像向左平移π4個(gè)單位長度后得到的函數(shù)解析式為y=sin[3(x+對于C，設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則T=2π3，因?yàn)閒(x)max=1，f對于D，y=|f(x)|=|sin(3x-π4)|在[a，b]上單調(diào)遞減，那么故答案為：ABC7.已知函數(shù)f(（1）求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)g(x)=3f(12x+【答案】（1）解：由圖可知：T2=π3所以ω=4，∵A>0，∴由圖易得A=1則f(x)則sin(π3+φ)=1所以φ=2kπ+π6，所以f(令2kπ-π2≤4x+解得kπ2-π所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ2-（2）解：由題g(x當(dāng)x∈[-5π12，0]，因?yàn)閨g(x則g(x)max≤1+tg(x)8．已知函數(shù)f(x)=23（1）若x∈R，求f(x)在[0，（2）若f(x)在[0，m]上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)【答案】（1）f(令-π解得-πf(x)在R當(dāng)k=0時(shí)，得到x∈[-π6，π3故f(x)在[0，π]（2）x∈[0，f(x)在[0，m]上的最小值為2，故y=故-π6+2m?8．已知函數(shù)f(x)=sin(（1）求φ的值；（2）請把f(x)（3）當(dāng)x∈[-π6，π3]時(shí)，若曲線y=f(【答案】（1）解：由題設(shè)f(-π12所以sin(φ-因?yàn)?π2<φ<所以φ-π所以φ=-π（2）解：由（Ⅰ）f==sin（3）解：因?yàn)?π6≤x≤π于是，當(dāng)且僅當(dāng)2x+π6=π2，即x=當(dāng)且僅當(dāng)2x+π6=-π6，即x=-又2x+π6=5π6所以m的取值范圍是[19．已知函數(shù)f(x)=sin（1）若f(x)的周期為π，且△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，C，滿足f(A2)=32，（2）若f(x)在(0，π3【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)的周期T=2π|ω|=π，故|ω|=2，又ω>，故ω則f(x)=sin(2x+π3)解得A=π3或因?yàn)閏osB=223，則由正弦定理得：2R=故b=2RsinB=6×1（2）解：因?yàn)閒(x)=sin(ωx+π3)，又因?yàn)楫?dāng)0<x<π3，所以ωx+