第11講解直角三角形及其應(yīng)用（5種題型）（原卷版）

第11講解直角三角形及其應(yīng)用（5種題型）【知識梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）二．解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問．如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．（2）解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．三．解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．四．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．五．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．【考點剖析】一．解直角三角形（共10小題）1．（2022秋?廬陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC長．2．（2023?來安縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D和點E分別是BC和AB上的點，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，則DE的長為（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.83．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，△ABC的頂點在小正方形頂點位置，那么∠ABC的正切值為．4．（2023?肥東縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠C＝90°，E為邊BC上的點，△ADE為等邊三角形，BE＝8，CE＝2，則tan∠AEB的值為（）A． B． C． D．5．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p＝，那么三角形的面積S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，則△ABC的面積為．6．（2023?亳州模擬）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosC＝．7．（2023春?安慶月考）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點D和點E分別在BC、AB上，若AC＝8、CD＝2、DE⊥AB，sinB＝，則ED的長度為（）A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.88．（2023?懷寧縣一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cosC的值．9．（2022秋?蚌埠期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，BD⊥AC于點D．（1）求tan∠ABC的值；（2）求BD的長．10．（2022秋?合肥月考）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，點E是邊BC的中點．（1）求邊AC的長；（2）求∠EAB的正弦值．二．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）11．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC＝60km，∠CAB＝30°，∠CBA＝50°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路（Ⅰ）求改直的公路AB的長；（Ⅱ）問公路改直后比原來縮短了多少km？（參考數(shù)據(jù)：，sin50°≈0.77．cos50°≈0.66，tan50°≈1.19）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）12．（2023春?定遠縣月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，點D、點E、點F分別是AC，AB，BC邊的中點，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點D1、點E1、點F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點，連接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面積記作S1，照此規(guī)律作下去，則S2023＝．13．（2022秋?合肥月考）如圖，“人字梯”放在水平地面上（AB＝AC），當(dāng)梯子的一邊與地面所夾的銳角α為45°時，兩梯腳之間的距離BC為2米，當(dāng)α＝60°時，則梯子頂端距地面的高度AD上升了米．（結(jié)果保留根號）14．（2023?繁昌縣校級模擬）十一國慶節(jié)期間，小明（A）與小亮（B）兩人來到廣場，一前一后在水平地面AD上放風(fēng)箏，結(jié)果兩人的風(fēng)箏在空中C處糾纏在一起．如圖，小明和小亮測得∠CAD＝30°，∠ACB＝15°，且小明和小亮之間的距離AB為11.7m，求此時C處的風(fēng)箏距離地面的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）15．（2023?金安區(qū)一模）如圖，某旅游景區(qū)開發(fā)一個三角形養(yǎng)殖池塘，記為△ABC，為方便游客垂釣，修建了棧道AD，已知∠C＝30°，∠ADB＝70°，AC＝200米，求棧道AD的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，結(jié)果取整數(shù)）三．解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題（共8小題）16．（2023?貴池區(qū)二模）池州市創(chuàng)建文明城市，在市區(qū)各路口設(shè)立遮陽棚的立柱AB與地面PQ夾角∠PBA＝64°，棚頂CD與AB夾角∠CAB＝142°，AB＝100cm，點C到地面的距離為156cm，求AC的長度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)；sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）17．（2023春?宣城月考）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，若坡比i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．45m D．30m18．（2022秋?金安區(qū)校級期末）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1：3，則AB的長為（）A．12米 B．米 C．米 D．米19．（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米．20．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）周末爬大蜀山，是合肥市民周末娛樂休閑、鍛煉身體的方式之一，如圖，某個周末小張同學(xué)從大蜀山西坡沿坡角為37°的山坡爬了280米，到達點E處，緊接著沿坡角為45°的山坡又爬了160米，到達山頂A處；請你計算大蜀山的高度．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）21．（2022秋?寧國市期末）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若BD的坡度是1：2，則tan∠DEC的值是．22．（2023?長豐縣二模）安徽浮山是中國第一，爬山是居民周末娛樂休閑、鍛煉身體的方式之一．如圖，某個周末小明同學(xué)從浮山山底沿斜坡AB爬了260米到達B處，緊接著又向上爬了坡角為45°的山坡90米，最后到達山頂P處，若AB的坡度為1：2.4，請你計算浮山的高度PC（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）．23．（2023?太湖縣一模）如圖是某段河道的坡面橫截面示意圖，從點A到點B，從點B到點C是兩段不同坡度的坡路，CM是一段水平路段．為改建成河道公園，改善居民生活環(huán)境．決定按照AB的坡度降低坡面BC的坡度，得到新的山坡AD，經(jīng)測量獲得如下數(shù)據(jù)：CM與水平面AN的距離為12m，坡面AB的長為10m，∠BAN＝15°，坡面BC與水平面的夾角為31°．降低BC坡度后，A，B，D三點在同一條直線上，即∠DAN＝15°．為確定施工點D的位置，試求坡面AD和CD的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，結(jié)果精確到0.1m）四．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題（共6小題）24．（2022春?淮南月考）如圖所示，小穎在自家樓房的窗戶A處，測量樓前的一棵樹CD的高．現(xiàn)測得樹頂C處的俯角為45°，樹底D處的俯角為60°，樓底到大樹的距離BD為30m．則樹的高度為（結(jié)果保留根號）．25．（2023?黟縣校級模擬）某住宅小區(qū)計劃在1號樓頂部D處和小區(qū)大門的上方A處之間掛一些彩燈．經(jīng)測量，得到大門的高度AB為3.8米，大門與1號樓之間的距離BC為30米．在大門E處測得1號樓頂部D處的仰角為30°，且測傾器離地面的距離EB為1.48米．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）（1）求該小區(qū)1號樓CD的高度；（2）求大門頂部A處與1號樓頂部D處之間的距離．26．（2023?舒城縣模擬）如圖，為測量某建筑物的高度，某人在點F處測得建筑物頂端C處的仰角為37°，往前走10米到達點G處，測得建筑物頂端C處的仰角為45°，已知測量工具距離地面的高度AF為1.7米，求這個建筑物的高度DE．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，）27．（2023?廬陽區(qū)校級三模）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視．小燕和小慧五一假期出外門旅游，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機，她們想知道風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度．如圖，小燕站在C點測得C點與塔底D點的距離為25米，小慧站在斜坡BC的坡頂B處，測得輪轂A點的仰角α＝38°，已知斜坡BC的坡度i＝：1，坡面BC長30米，請根據(jù)測量結(jié)果幫她們計算風(fēng)力發(fā)電機塔架AD的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）28．（2023?合肥三模）如圖，在某居民樓AB的正前方8m處有一生活超市CD，在生活超市的頂端C處測得居民樓頂端A的仰角為67°，測得居民樓底端B的俯角為22°，求居民樓AB的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）29．（2023?利辛縣模擬）如圖，兒子和爸爸分別站在C，D兩點測得大樓AB的頂端A的仰角∠AEG＝42°，∠AFH＝22°，兩人的身高CE＝1.6m，DF＝1.8m，CD＝50m，B，C，D三點在同一條直線上，求大樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）五．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題（共6小題）30．（2023?定遠縣校級開學(xué)）如圖，某船由西向東航行，在點A測得小島O在北偏東60°方向上，船航行了10海里后到達點B，這時測得小島O在北偏東45°方向上，船繼續(xù)航行到點C時，測得小島O恰好在船的正北方，則此時船到小島的距離為海里．31．（2023?郊區(qū)校級模擬）如圖，某工程隊從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達B處，測得A處在博物館C的南偏東35°方向，B處在博物館C的東南方向．（1）請計算博物館C到B處的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道，通過計算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時，只需沿北偏東15°的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地．請計算博物館C周圍至少多少米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）32．（2018秋?淮北期末）某艦艇上午9時在A處測得燈塔C在其南偏東75°的方位上，然后以每小時10海里的速度沿南偏東30°的方向航行，11時到達B處，在B處測得燈塔C在其北偏東15°的方位上，則B處到燈塔C的距離是．33．（2023春?定遠縣校級月考）如圖在南北方向的海岸線MN上，有AB兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B相距海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．（1）求AC的長；（2）已知距離觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C．在去營救的途中有無觸礁的危險？34．（2023?包河區(qū)三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸點A處測得河的北岸點B在其北偏東13°方向，然后向西走80米到達C點，測得點B在點C的北偏東53°方向，求河寬．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33）35．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖，燈塔B位于港口A的北偏東67.4°方向，燈塔C位于燈塔B的正東方向，且B，C之間的距離為18km．一艘輪船在港口A的正南方向距港口46km的D處，測得燈塔C在輪船北偏東37.0°方向上，求港口A距離燈塔B有多遠？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝，sin37.0°＝，cos37.0°＝，tan37.0°＝）

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）在中，，當(dāng)已知和a時，求c，應(yīng)選擇的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一個小球由坡底沿著坡比為的坡面前進了12米，此時小球在豎直方向上升了（

）A．4米 B．米 C．米 D．米3．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點D和點E分別是邊和上的點，，，，，則的長為（

）

A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.24．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．5．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，則的長為(

)

A．3 B． C． D．46．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點在上，．若，，則的長度為（

）A． B． C． D．47．（2023·安徽六安·?？既＃cP為正方形的邊上的一點，連接，以為邊作正方形，E在的延長線上，連結(jié)，作交于G．則下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B． C． D．8．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋19．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段，點P為線段上一動點，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點M為的中點，連接，則AM的最小值為（

）A．1 B． C．3 D．610．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，現(xiàn)以為邊在的下方作正方形并連接，則的最大值為（

）

A． B．6 C． D．二、填空題11．（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）已知銳角中，，，則的長為_______．12．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，G、F是上的動點，且，點E是的中點．請完成下列問題：（1）若，則的大小為________；（2）當(dāng)?shù)闹底钚r，的長度為____________________．13．（2023·安徽蕪湖·?？家荒＃┤鐖D，在中，，M為斜邊AB上的一個動點，過點M作于點D，于點E．若線段的最小值是，則此時______．

14．（2023·安徽六安·統(tǒng)考三模）如圖1，工人正在用撬棒撬石頭，撬棒是杠桿，O為杠桿的支點．當(dāng)支點和石頭的大小不變時，工人師傅用的力F與其力臂l之間的關(guān)系式為，其圖像如圖2所示，點P為圖像上一點，過點P作軸于點M，，若，撬棒與水平地面的夾角為，則這塊石頭重力為______N．

15．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）中，，平分，點為中點，，.

（1）寫出一對相似三角形__________；（2）的長為_____________.16．（2023·安徽馬鞍山·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，E為上一點，連接，將沿折疊得到．若與交于點F且，則的長為___________．

三、解答題17．（2022秋·安徽宣城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，求的面積．18．（2021春·安徽安慶·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，某風(fēng)景區(qū)有三個景點，，，景點在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景點在的正西方向上，千米，求景點到的距離（結(jié)果保留根號）．19．（2023·安徽六安·?？级＃┲R小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）如圖，現(xiàn)有一架長4m的架子AB斜靠在一豎直的墻AO上．

(1)當(dāng)人安全使用這架梯子時，求梯子頂端A與地面距離的最大值；(2)