專題全等三角形常見的基本模型（原卷版）

八年級上冊數(shù)學《第十二章全等三角形》專題全等三角形常見的基本模型題型一題型一平移模型平移模型展示平移模型展示沿同一直線(BC)平移可得兩三角形重合(BE=CF)【例1】已知：如圖，點E是AC的中點，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，∠B＝∠D，求證：BE＝DC．【變式11】（2022秋?棗陽市期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求證：AC＝DF．【變式12】（2023春?埇橋區(qū)期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．試說明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠A＝∠EGC．【變式13】已知：如圖，點B，E，C，F(xiàn)有同一直線l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，試判斷線段AC與DF的數(shù)量關系以及位置關系．并證明．【變式14】如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AC與DE相交于點O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求證：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度數(shù)．【變式15】如圖，A、D、B、E四點在同一條直線上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．（1）求證：AC＝DF；（2）若CD為∠ACB的平分線，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度數(shù)．題型二題型二對稱模型對稱模型展示對稱模型展示有公共邊：有公共頂點：所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過公共頂點的某條直線折疊，兩個三角形完全重合.【例2】（2023?越秀區(qū)校級二模）已知：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求證：AD平分∠BAC．【變式21】（2023春?桑植縣期末）如圖，∠A＝∠D＝90°，點B，E，F(xiàn)，C在同一直線上，AB＝CD，BE＝CF，求證：∠B＝∠C．【變式22】（2022?永安市模擬）如圖，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2．求證：BC＝ED．【變式23】（2022?蓬安縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在BC上，BD＝CE，∠G＝∠F．求證：AF＝AG．【變式24】（2022春?城陽區(qū)期末）已知：OA＝OB，OC＝OD．（1）求證：△OAD≌△OBC；（2）若∠O＝85°，∠C＝25°，求∠BED的度數(shù)．【變式25】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖所示，已知CD＝BD，點E、F分別是CD、BD的中點，∠CAF＝∠BAE，∠B＝∠C．求證：AE＝AF．【變式26】（2023春?明水縣期中）如圖，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，BE＝CF．求證：（1）∠1＝∠2．（2）CM＝BN．?題型三題型三旋轉(zhuǎn)共頂點模型旋轉(zhuǎn)模型展示旋轉(zhuǎn)模型展示繞公共頂點旋轉(zhuǎn)可得兩個三角形重合.【例3】（2023?大連）如圖，在△ABC和△ADE中，延長BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．【變式31】如圖所示，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求證：AC＝AE．【變式32】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【變式33】（2023?宜興市二模）如圖，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，點D在線段AB上（與A，B不重合），連接BE．（1）證明：△ACD≌△BCE．（2）若BD＝3，BE＝7，求AB的長．【變式34】（2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB邊上一點（不與A，B重合），以CD為邊作等腰△CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB與DE交于點F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當AD＝BF時，求∠BFE．【變式35】（2022秋?大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE與BD交于點F．（1）如圖1．當α＝90°時．求證：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如圖2．當α＝60°時，直接寫出∠AFB的度數(shù)為；（3）如圖3，直接寫出∠AFD的度數(shù)為（用含α的式子表示）．題型四題型四旋轉(zhuǎn)不共頂點模型【例4】（2023春?天橋區(qū)期末）已知：如圖，A、B、C、D在同一直線上，且AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．求證：∠E＝∠F．【變式41】（2022秋?隆回縣期末）如圖，點B，C，E，F(xiàn)在同一條直線上，∠B＝∠E，AC∥DF，AB＝DE．（1）求證：AC＝DF．（2）若AM，DN分別是△ABC和△DEF的角平分線，求證：AM＝DN．【變式42】（2023春?碑林區(qū)校級期末）如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AF＝CE，BE＝FD，∠AEB＝∠CFD．（1）求證：△AEB≌△CFD；（2）若DF＝CF，∠ABE＝20°，∠DAC＝30°，求∠ADC的度數(shù)．【變式43】（2022春?城陽區(qū)期末）已知：點A，D，C，B在同一條直線上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求證：（1）CF＝DE；（2）AF∥EB．【變式44】如圖所示，點A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過點E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．（1）如圖①所示，若EF與BD相交于點G，則EG與FG相等嗎？試說明理由．（2）如圖②所示，若將△DEC的邊EC沿AC方向移動至圖中所示位置時，其余條件不變，（1）中結(jié)論是否還能成立？請說明理由．題型五題型五三垂直模型三垂直模型展示三垂直模型展示已知A,B,C三點共線,且∠1=∠2=∠3=90°.【例5】（2023?懷化三模）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長．【變式51】（2022春?鋼城區(qū)期末）如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F．求證：△ABE≌△CAF．【變式52】（2022春?橫山區(qū)期末）如圖，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點A，點D在直線AB上，AD＝BC，AF＝BD．（1）如圖1，若點D在線段AB上，判斷DF與DC的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由；（2）如圖2，若點D在線段AB的延長線上，其他條件不變，試判斷（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．【變式53】如圖，AB＝BC，AD＝DE，且AB⊥BC，AD⊥DE，又CG⊥BD的延長線于點G，EF⊥BD交BD的延長線于點F．求證：CG+EF＝BD．【變式54】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，在MN繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，以上關系保持不變（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，DE、AD、BE三者之間有怎樣的等量關系，證明你的結(jié)論；（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，試問：DE、AD、BE三者之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結(jié)論．【變式55】（2022秋?陽信縣期中）在△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝BO，直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D（1）當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：CD＝AC+BD；（2）當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，求證：CD＝AC﹣BD；（3）當直線MN繞點O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．題型六一線三等角模型題型六一線三等角模型一線三等角模型展示一線三等角模型展示（1）點P在線段AB上:（2）點P在線段AB的延長線上:已知A,P,B三點共線,且∠1=∠2=∠3.【例6】圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝∠B，D、E分別為AB、BC上一點，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求證：CD＝DE．【變式61】（1）課本習題回放：如圖①，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm．求BE的長．（2）探索證明：如圖②，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．【變式62（2023春?寬甸縣期中）已知：CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，點E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，如圖1，若∠BCA＝90°，∠a＝90°，則BE與CF的數(shù)量關系是．（2）如圖2，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鲫P于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關系的合理猜想：.并說明理由．【變式63】（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別為D、E，求證：BD+CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD，CE與DE之間滿足BD+CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與DE之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．【變式64】問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，可知：∠BAD＝∠C（不需要證明）；（1）特例探究：如圖2，∠MAN＝90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于點F，BD⊥AE于點D．證明：△ABD≌△CAF；（2）歸納證明：如圖3，點B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；（3）拓展應用：如圖4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．點D在邊BC上，CD＝2BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為3，則△ACF與△BDE的面積之和為．【變式65】（2023春?平陰縣期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與A