專題04M型鋸齒型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

04M型鋸齒型一、單選題1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【答案】B【詳解】作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．2．如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：B．3．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（

）A．70° B．65° C．35° D．50°【答案】B【詳解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故選：B．4．如圖，ABDE，∠A=30°，∠ACE=110°，則∠E的度數(shù)為(

)A．30° B．150° C．100° D．120°【答案】C【詳解】解：過C作CQAB，∵ABDE，∴ABDECQ，∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°30°=80°，∴∠E=180°80°=100°，故選：C．5．如圖，直線，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，作直線，，

∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故選：A．6．如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β∠γ=180°，故選：C．7．如圖,ABEF,∠D=90°,則,,的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：如圖,過點(diǎn)C和點(diǎn)D作CGAB,DHAB,∵CGAB,DHAB,∴CGDHAB,∵ABEF,∴ABEFCGDH,∵CGAB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD∠BCG=βα,∵CGDH,∴∠CDH=∠GCD=βα,∵HDEF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+βα=90°,∴β=α+90°γ．故選：D．8．如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．9．如圖，，點(diǎn)在上，，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正確，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，∴∠D+∠CED＝110°，∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正確，∵點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，∴AE無法判斷等于CE，∠BED無法判斷等于45°，故（1）、（4）錯誤，故選：B．10．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上（P在E的右側(cè)），點(diǎn)G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點(diǎn)，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：①過點(diǎn)F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°2∠2∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°∠CGF，∵∠PQG=180°(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°2(∠2+∠1)=360°(180°∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．二、填空題11．如圖所示，直角三角板的60°角壓在一組平行線上，，，則度．【答案】20【詳解】解：由題意可得：．如圖，過點(diǎn)E作，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即：．故答案為：20．12．如圖，，設(shè)，那么x，y，z的關(guān)系式為．

【答案】【詳解】解：過作，延長交于，

則，即，，，，，，，，故答案為：．13．如圖，已知：AB∥CD，∠1=50°，∠2=113°，則∠3=度．【答案】63【詳解】如圖所示，根據(jù)平行線的性質(zhì)易知∠3＝∠2－∠1＝113°－50°＝63°.14．如圖，，平分，，，則．【答案】【詳解】解：過E點(diǎn)作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．15．如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．【答案】【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作一條直線PM平行于AB，∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°；（2）如圖，過點(diǎn)P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD，∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n2）條輔助線，運(yùn)用（n1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°（n1）．故答案為：16．如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．三、解答題17．（1）如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，，點(diǎn)為直線間的一點(diǎn)，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．（3）如圖3，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴．（2），理由如下：過點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，同理，過點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即．（3）如圖，延長交于點(diǎn)，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．18．已知直線，A是l1上的一點(diǎn)，B是l2上的一點(diǎn)，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線上有一點(diǎn)P．(1)如果P點(diǎn)在C，D之間運(yùn)動時，問，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)若點(diǎn)P在C，D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（P點(diǎn)與C，D不重合），試探索，，之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）【答案】(1)(2)當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，．【詳解】（1）解：．過點(diǎn)作，如圖1所示．，，，，，，．（2）解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，；當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，．①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，如圖2所示．過點(diǎn)作．，，，，，，．②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，如圖3所示．過點(diǎn)作．，，，，，，．19．已知，連接A，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)E，則等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線反向延長線上，點(diǎn)N在射線上．與的平分線交于點(diǎn)E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)，請直接寫出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)90；(2)；(3)或【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵分別平分，∴，∴，∴；故答案為：90．（2）如圖2，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵分別平分，∴，∴；（3）①如圖3，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖4，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．20．已知，平分交射線于點(diǎn)E，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F是射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作交射線于點(diǎn)G，點(diǎn)N是上一點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)P為延長線上一點(diǎn)，平分交于點(diǎn)M，若平分，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)E作，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴的度數(shù)為．21．綜合與探究【問題情境】王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動（1）如圖1，，點(diǎn)、分別為直線、上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平行線間一點(diǎn)，請直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系；【問題遷移】（2）如圖2，射線與射線交于點(diǎn)，直線，直線分別交、于點(diǎn)、，直線分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，①當(dāng)點(diǎn)在、（不與、重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，設(shè)，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②若點(diǎn)不在線段上運(yùn)動時（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當(dāng)點(diǎn)在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當(dāng)在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．22．如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質(zhì)可求的度數(shù)．（1）請你按小明的思路，寫出度數(shù)的求解過程；（2）如圖3，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，記，．①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，則與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②若點(diǎn)不在線段上運(yùn)動時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）①，見解析；②【詳解】解：（1）如圖2，過作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如圖3，過作，，，，，；②、．如備用圖1，當(dāng)在延長線上時，；理由：如備用圖1，過作，，，，，；如備用圖2所示，當(dāng)在延長線上時，；理由：如備用圖2，過P作，，，，，；綜上所述，．23．如圖，，點(diǎn)E在直線AB，CD內(nèi)部，且．（1）如圖1，連接AC，若AE平分，求證：平分；（2）如圖2，點(diǎn)M在線段AE上，①若，當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；②若（為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點(diǎn)E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析.【詳解】（1）解：因為，所以∠BAC+∠DCA=180°，因為，所以∠EAC+∠ECA=90°，因為AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.24．問題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；證明見詳解；(3)【詳解】（1）解：如圖過點(diǎn)作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖過點(diǎn)作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如圖分別過點(diǎn)、點(diǎn)作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案為：．25．已知直線AB//CD，EF是截線，點(diǎn)M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)；理由見詳解【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點(diǎn)作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．26．閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點(diǎn)，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．【答案】(1)見解析；(2)①；②結(jié)論：【詳解】（1）證明：如圖，過作，，，，,，平分，平分，，，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．27．如圖，已知直線，、和、分別交于點(diǎn)、、、，點(diǎn)在直線或上且不與點(diǎn)、、、重合．記，，．

(1)若點(diǎn)在圖（1）位置時，求證：；(2)若點(diǎn)在圖（2）位置時，寫出、、之間的關(guān)系并給予證明．【答案】(1)證明見解析；(2)，證明見解析【詳解】（1）過作，

∵，∴，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：、；∵，∴．（2）關(guān)系：．過作，

∵，∴，同（1）可證得：；∵，∴，即．28．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【詳解】解：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點(diǎn)P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．29．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．30．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．31．如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點(diǎn)．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點(diǎn)F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角，求∠BAE的大小．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點(diǎn)F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點(diǎn)G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED∠BAE）