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專題06因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程考點(diǎn)二十字相乘法解一元二次方程考點(diǎn)三換元法解一元二次方程考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求另一個(gè)解考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程例題:(2022·四川成都·九年級(jí)期末)解下列一元二次方程.(1)x2﹣4x=5;(2)2(x+1)2=x(x+1).【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中)解方程:(1);(2)(2.(2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中)解下列方程:(1)(2)考點(diǎn)二十字相乘法解一元二次方程例題:(2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中)解方程:(1).(2)【變式訓(xùn)練】1.(2022·全國(guó)·九年級(jí))解一元二次方程:.2.(2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模)解方程:;3.(2022·全國(guó)·九年級(jí))用因式分解法解方程:x2-10x+16=0考點(diǎn)三換元法解一元二次方程例題:(2022·江蘇南京·二模)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=?5,則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是(
)A., B.,C., D.,【變式訓(xùn)練】1.(2022·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)期末)請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料,再參照例子解答問(wèn)題:已知,求的值.解:設(shè),則原方程變形為,即∴得t1=﹣2,t2=1∴或已知,求的值.2.(2022·四川瀘州·一模)請(qǐng)閱讀下列材料:解方程:(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0.解法如下:將x2﹣1視為一個(gè)整體,然后設(shè)x2﹣1=y(tǒng),則(x2﹣1)2=y(tǒng)2,原方程可化為y2﹣5y+4=0,解得y1=1,y2=4.(1)當(dāng)y=1時(shí),x2﹣1=1,解得x=±;(2)當(dāng)y=4時(shí),x2﹣1=4,解得x=±.綜合(1)(2),可得原方程的解為x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣.參照以上解法,方程x4﹣x2﹣6=0的解為_(kāi)____.考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求另一個(gè)解例題:(2022·陜西·西安鐵一中分校三模)若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是2,則另一個(gè)根是(
)A.6 B.3 C. D.【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇南京·二模)關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根是______.2.(2022·四川成都·二模)已知關(guān)于x的方程x2+3x+m=0的一個(gè)根是1,則此方程的另一個(gè)根為_(kāi)____.考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值例題1:(2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于x的方程x2+2(m﹣1)x﹣4m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,且x1+x2=4,則m的值為_(kāi)_.例題2:(2022·江西南昌·二模)若一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b,則的值為_(kāi)______.【變式訓(xùn)練】1.(2022·四川瀘州·中考真題)已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為,,若,則的值為(
)A. B. C.或3 D.或32.(2022·貴州六盤(pán)水·九年級(jí)期末)若a,b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則___.3.(2022·四川瀘州·二模)已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,則a=______.考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問(wèn)題例題:(2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷)已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,若,求k的值.【變式訓(xùn)練】1.(2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于的一元二次方程有,兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求的取值范圍;(2)若,求及的值;(3)是否存在實(shí)數(shù),滿足?若存在,求出實(shí)數(shù)的值?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2022·湖北荊門(mén)·一模)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)求證:無(wú)論為任何非零實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、,且,求的值.一、選擇題1.(2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模)一元二次方程的根為(
)A., B.,C., D.,2.(2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中)若一元二次方程的一個(gè)根是,則另一個(gè)根是(
)A.6 B.5 C.-3 D.23.(2022·江西吉安·九年級(jí)期末)已知矩形的長(zhǎng)和寬是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為(
)A.6 B.7 C.20 D.4.(2022·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第一中學(xué)三模)若是一元二次方程的兩個(gè)根,則的值為(
)A.3 B.2 C.1 D.5.(2022年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)真題)已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為,,若,則的值為(
)A.7 B. C.6 D.6.(2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為x=5,則關(guān)于x的一元二次方程必有一個(gè)根為(
)A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題7.(2022·全國(guó)·九年級(jí))方程的根是__.8.(2022·青海海東·九年級(jí)期末)關(guān)于x的方程的一個(gè)根是,則它的另一個(gè)根________.9.(2022·全國(guó)·九年級(jí))一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β,則αβ﹣α﹣β的值為_(kāi)_.10.(2022·山東·陵城區(qū)教學(xué)研究室一模)若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則該直角三角形的面積是_______.11.(2022·湖南·吉首市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測(cè))對(duì)于實(shí)數(shù),定義運(yùn)算“※”:※=.例如,4※2=4×2×(4+2)=48.若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則※=_____.12.(2022·安徽·舒城縣仁峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,先定義一種新運(yùn)算“”如下:ab=(1)計(jì)算:=_____;(2)若2m=36,則實(shí)數(shù)m等于_____.三、解答題13.(2022·山東德州·九年級(jí)期末)解方程:(1)(2)14.(2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末)解方程:(1)x2-2x-3=0(2)(x﹣3)2=2x﹣615.(2022·浙江·樂(lè)清市樂(lè)成第一中學(xué)八年級(jí)期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1).(2).16.(2022·北京門(mén)頭溝·二模)已知關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)如果m為正整數(shù),求此方程的根.17.(2022·全國(guó)·九年級(jí))已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)m=2時(shí),方程的根為x1,x2,求代數(shù)式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.18.(2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)求證:無(wú)論為何實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足,求的值.19.(2022·湖北十堰·中考真題)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)求證:方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,,且,求的值.20.(2022·四川涼山·中考真題)閱讀材料:材料1:若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1,x2,則x1+x2=,x1x2=材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m,n,∴m+n=1,mn=-1,則m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1根據(jù)上述材料,結(jié)合你所學(xué)的知識(shí),完成下列問(wèn)題:(1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個(gè)根為x1,x2,則x1+x2=;x1x2=.(2)類比應(yīng)用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的兩根分別為m、n,求的值.(3)思維拓展:已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求的值.專題06因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程考點(diǎn)二十字相乘法解一元二次方程考點(diǎn)三換元法解一元二次方程考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求另一個(gè)解考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程例題:(2022·四川成都·九年級(jí)期末)解下列一元二次方程.(1)x2﹣4x=5;(2)2(x+1)2=x(x+1).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)通過(guò)移項(xiàng),分解因式,化為一元一次方程,即可求解;(2)通過(guò)移項(xiàng),分解因式,化為一元一次方程,即可求解.(1)解:x2﹣4x=5,移項(xiàng)得:x2﹣4x-5=0,分解因式得:(x-5)(x+1)=0,∴x-5=0或x+1=0,解得:;(2)解:2(x+1)2=x(x+1),移項(xiàng)得:2(x+1)2-x(x+1)=0,分解因式得:(x+1)(2x+2-x)=0,∴x+1=0或2x+2-x=0,解得:.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程,掌握因式分解法解方程,是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中)解方程:(1);(2)(【答案】(1)或;(2)【解析】【分析】(1)運(yùn)用公式法解一元二次方程即可;(2)運(yùn)用公式法解一元二次方程即可;(1)∵∴解得:或;(2)(2x+1)2-3(2x+1)=0,(2x+1)(2x+1-3)=0,2x+1=0或2x+1-3=0,解得;【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程,掌握運(yùn)用公式法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.2.(2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中)解下列方程:(1)(2)【答案】(1),(2),【解析】【分析】(1)利用因式分解法解方程;(2)利用因式分解法解方程.(1)解:∴,(2)∴,【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法,因式分解是解本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二十字相乘法解一元二次方程例題:(2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中)解方程:(1).(2)【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程.(2)運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程.(1)∵∴,解得:或.(2)(x-2)(x-5)=0,x-2=0或x-5=0,解得x1=2,x2=5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程,掌握運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022·全國(guó)·九年級(jí))解一元二次方程:.【答案】,【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可.,∴,∴或,∴,.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.2.(2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模)解方程:;【答案】,【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可;【詳解】,或,所以,;【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡(jiǎn)便易用,是解一元二次方程最常用的方法.3.(2022·全國(guó)·九年級(jí))用因式分解法解方程:x2-10x+16=0【答案】x1=2,x2=8【解析】【分析】利用因式分解方法求解即可.【詳解】解:x2-10x+16=0,因式分解得,(x-2)(x-8)=0,由此得:x-2=0,x-8=0,解得:x1=2,x2=8.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法,配方法,公式法,因式分解法,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目要求選取相應(yīng)的方法求解.考點(diǎn)三換元法解一元二次方程例題:(2022·江蘇南京·二模)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=?5,則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是(
)A., B.,C., D.,【答案】B【解析】【分析】設(shè)t=y+1,則原方程可化為at2+bt+c=0,根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3,x2=-5,得到t1=3,t2=-5,于是得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)t=y+1,則原方程可化為at2+bt+c=0,∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3,x2=-5,∴t1=3,t2=-5,∴y+1=3或y+1=-5,解得y1=2,y2=-6.故選:B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了換元法解一元二次方程,關(guān)鍵是正確找出兩個(gè)方程解的關(guān)系.【變式訓(xùn)練】1.(2022·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)期末)請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料,再參照例子解答問(wèn)題:已知,求的值.解:設(shè),則原方程變形為,即∴得t1=﹣2,t2=1∴或已知,求的值.【答案】【解析】【分析】先換元,再求出t的值,最后求出答案即可.【詳解】解:設(shè)∴即,∴,解得:,(舍去)∴即的值為.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,能夠正確換元是解此題的關(guān)鍵.2.(2022·四川瀘州·一模)請(qǐng)閱讀下列材料:解方程:(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0.解法如下:將x2﹣1視為一個(gè)整體,然后設(shè)x2﹣1=y(tǒng),則(x2﹣1)2=y(tǒng)2,原方程可化為y2﹣5y+4=0,解得y1=1,y2=4.(1)當(dāng)y=1時(shí),x2﹣1=1,解得x=±;(2)當(dāng)y=4時(shí),x2﹣1=4,解得x=±.綜合(1)(2),可得原方程的解為x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣.參照以上解法,方程x4﹣x2﹣6=0的解為_(kāi)____.【答案】,【解析】【分析】仿照范例,可以設(shè),則原方程化為一元二次方程:,先解出y的值,再進(jìn)一步解出x的值.【詳解】解:設(shè),則原方程可化為:,解得:y1=3,y2=﹣2,(1)當(dāng)y=3時(shí),x2=3,解得x1=,x2=,(2)當(dāng)y=﹣2.時(shí),x2=﹣2,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,綜合(1)(2),可得原方程的解是:x1=,x2=,故答案為:x1=,x2=【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用.解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,變得容易處理.考點(diǎn)四已知一元二次方程的解求另一個(gè)解例題:(2022·陜西·西安鐵一中分校三模)若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是2,則另一個(gè)根是(
)A.6 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】由根和系數(shù)的關(guān)系即可求得方程的另一個(gè)根.【詳解】解:設(shè)另一個(gè)根為m,由根和系數(shù)的關(guān)系有:解得故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022·江蘇南京·二模)關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個(gè)根是1,則方程的另一個(gè)根是______.【答案】-2【解析】【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為t,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到1×t=-2,然后解一次方程即可.【詳解】解:設(shè)方程的另一個(gè)根為t,根據(jù)題意得1×t=-2,解得t=-2.故答案為:-2.【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí),x1+x2=-,x1x2=.2.(2022·四川成都·二模)已知關(guān)于x的方程x2+3x+m=0的一個(gè)根是1,則此方程的另一個(gè)根為_(kāi)____.【答案】-4【解析】【分析】設(shè)該方程的兩根為x1,x2,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出兩根之和,結(jié)合“已知關(guān)于x的方程x2+3x+m=0的一個(gè)根是1”,即可得到答案.【詳解】設(shè)該方程的兩根為x1,x2,則x1+x2=﹣3,∵該方程的一個(gè)根為1,∴另一個(gè)根為:﹣3﹣1=﹣4,故答案為:﹣4.【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程的解,正確掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)五根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)與代數(shù)式的值例題1:(2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于x的方程x2+2(m﹣1)x﹣4m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,且x1+x2=4,則m的值為_(kāi)_.【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=﹣2(m﹣1)=4,再解方程即可.【詳解】解:∵關(guān)于x的方程x2+2(m﹣1)x﹣4m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1和x2,且x1+x2=4,∴由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=﹣2(m﹣1)=4,解得:m=﹣1,故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.例題2:(2022·江西南昌·二模)若一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b,則的值為_(kāi)______.【答案】5【解析】【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到然后利用整體代入的方法計(jì)算.【詳解】解:根據(jù)題意得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系,若是一元二次方程的兩根時(shí),則【變式訓(xùn)練】1.(2022·四川瀘州·中考真題)已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為,,若,則的值為(
)A. B. C.或3 D.或3【答案】A【解析】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系以及求解即可.【詳解】解:由題意可知:,且∵,∴,解得:或,∵,即,∴,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系以及根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)范圍,解題的關(guān)鍵是求出,再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出或(舍去).2.(2022·貴州六盤(pán)水·九年級(jí)期末)若a,b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則___.【答案】2020【解析】【分析】由a,b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根得,,,再整理代數(shù)式即可求得答案.【詳解】解:a,b是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,a+b=2,即,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解,根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系找出,是解題的關(guān)鍵.3.(2022·四川瀘州·二模)已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,則a=______.【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式可得,再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得,然后根據(jù)建立方程,解方程即可得.【詳解】解:由題意,此方程根的判別式,解得,是關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,,,,解得或(舍去),故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問(wèn)題例題:(2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷)已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,若,求k的值.【答案】(1)k;(2)k=3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根得到32-4(k-2)0,解不等式即可;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到,將等式左側(cè)展開(kāi)代入計(jì)算即可得到k值.(1)解:∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根.∴?0,即32-4(k-2)0,解得k(2)∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,∴,∵,∴,∴,解得k=3.【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式,熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測(cè))已知關(guān)于的一元二次方程有,兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求的取值范圍;(2)若,求及的值;(3)是否存在實(shí)數(shù),滿足?若存在,求出實(shí)數(shù)的值?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2);(3)存在;或【解析】【分析】(1)根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,得到根的判別式大于等于0,求出m的范圍即可;(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和,把x1的值代入計(jì)算求出x2,進(jìn)而求出m的值即可;(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積,代入已知等式計(jì)算,判斷即可.(1)解:∵關(guān)于的一元二次方程有,兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴,解得;(2)解:∵,,,∴,∴,解得;(3)解:存在,理由如下:∵,,,∴,∴,整理得,∵,∴,解得,.【點(diǎn)睛】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,以及根的判別式,熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式意義是解本題的關(guān)鍵.2.(2022·湖北荊門(mén)·一模)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)求證:無(wú)論為任何非零實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、,且,求的值.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2),【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判別式判斷即可;(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合完全平方公式的變形求值即可.(1)解:∵一元二次方程,,∴無(wú)論為任何非零實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)解:依題意得,,,∵,∴,∴,即,(3a+1)(a-1)=0,解得,;【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系,.一、選擇題1.(2022·山西·孝義市教育科技局教學(xué)研究室三模)一元二次方程的根為(
)A., B.,C., D.,【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法解答,即可求解.【詳解】解:解得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的解法——直接開(kāi)平方法,因式分解法,配方法,公式法是解題的關(guān)鍵.2.(2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中)若一元二次方程的一個(gè)根是,則另一個(gè)根是(
)A.6 B.5 C.-3 D.2【答案】D【解析】【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為m,由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)方程的另一個(gè)根為m,則有m+3=5,解得:m=2,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,牢記兩根之和等于是解題的關(guān)鍵.3.(2022·江西吉安·九年級(jí)期末)已知矩形的長(zhǎng)和寬是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為(
)A.6 B.7 C.20 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a、b,解出a、b,利用勾股定理得到矩形的對(duì)角線長(zhǎng),代入計(jì)算出矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可.【詳解】解:設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為a、b,∵x2﹣6x+8=0∴(x﹣4)(x﹣2)=0∴x=4或x=2,∵長(zhǎng)和寬是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴a=4,b=2,所以矩形的對(duì)角線長(zhǎng)2,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法,也考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理,熟練掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解題的關(guān)鍵.4.(2022·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)有限公司第一中學(xué)三模)若是一元二次方程的兩個(gè)根,則的值為(
)A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程的定義,根與系數(shù)的關(guān)系,可得,,再代入,即可求解.【詳解】解:∵是一元二次方程的兩個(gè)根,∴,,∴,∴.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義,根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握一元二次方程的定義,根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5.(2022年貴州省黔東南州中考數(shù)學(xué)真題)已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為,,若,則的值為(
)A.7 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求出=3,a=3,再求代數(shù)式的值即.【詳解】解:∵一元二次方程的兩根分別記為,,∴+=2,∵,∴=3,∴·=-a=-3,∴a=3,∴.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,代數(shù)式的值,掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系,代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵.6.(2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為x=5,則關(guān)于x的一元二次方程必有一個(gè)根為(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】先將方程化為,再根據(jù)方程有一個(gè)根為x=5,根據(jù)x-1=5求解即可.【詳解】解:將關(guān)于x的一元二次方程變形,得(m≠0),令u=x-1,得,關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為x=5,關(guān)于u的一元二次方程(m≠0)有一個(gè)根為u=5,將u=5代入u=x-1,得,解得,x=6,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,掌握換元法是解本題的關(guān)鍵.二、填空題7.(2022·全國(guó)·九年級(jí))方程的根是__.【答案】或【解析】【分析】將方程右邊整體移至左邊,再將左邊因式分解即可得.【詳解】解:移項(xiàng),得:,將左邊因式分解,得:,即,∴或,解得:或,故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查用因式分解法解方程的能力,只有當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式,而另一邊是0的時(shí)候,才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.分解因式時(shí),要根據(jù)情況靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的因式分解的幾種方法.8.(2022·青海海東·九年級(jí)期末)關(guān)于x的方程的一個(gè)根是,則它的另一個(gè)根________.【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,求出另外一個(gè)根即可.【詳解】解:∵關(guān)于x的方程的兩根之積為:,∴,∵,∴,解得:.故答案為:-1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握及,是解題的關(guān)鍵.9.(2022·全國(guó)·九年級(jí))一元二次方程x2﹣3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β,則αβ﹣α﹣β的值為_(kāi)_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=3,αβ=1,然后利用整體代入的方法計(jì)算.【詳解】解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=3,αβ=1,所以αβ﹣α﹣β=αβ﹣(α+β)=1﹣3=﹣2.故答案為:-2【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí),則x1+x2=,x1x2=.10.(2022·山東·陵城區(qū)教學(xué)研究室一模)若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則該直角三角形的面積是_______.【答案】6或.【解析】【分析】解方程求出兩邊長(zhǎng),再分類討論求出面積即可.【詳解】解:解方程得,,,當(dāng)3和4是直角三角形的兩條直角邊時(shí),直角三角形的面積為;當(dāng)3是直角三角形的直角邊,4是直角三角形的斜邊時(shí),另一條直角邊為,直角三角形的面積為;故答案為:6或.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法和勾股定理,解題關(guān)鍵是正確地解方程,分類討論,求出直角三角形的直角邊長(zhǎng).11.(2022·湖南·吉首市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測(cè))對(duì)于實(shí)數(shù),定義運(yùn)算“※”:※=.例如,4※2=4×2×(4+2)=48.若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則※=_____.【答案】20【解析】【分析】根據(jù)新定義表示出,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,進(jìn)而即可求解.【詳解】解:∵是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴,∴.故答案為:20.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12.(2022·安徽·舒城縣仁峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,先定義一種新運(yùn)算“”如下:ab=(1)計(jì)算:=_____;(2)若2m=36,則實(shí)數(shù)m等于_____.【答案】
4【解析】【分析】(1)直接根據(jù)定義列出式子求解即可;(2)分進(jìn)行分類討論,根據(jù)新定義列出關(guān)于的方程,解之可得答案.【詳解】解:(1)根據(jù)題意:,,,故答案為:;(2)當(dāng)時(shí),,解得:(舍去),當(dāng)時(shí),,解得:,(舍去),故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算,二次根式的混合運(yùn)算,解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是理解新定義,依據(jù)新定義分情況列出關(guān)于的方程.三、解答題13.(2022·山東德州·九年級(jí)期末)解方程:(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用十字乘法把方程的左邊分解因式,再解方程即可;(2)先移項(xiàng),再把方程的左邊利用提公因式的方法分解因式,再解方程即可.(1)解:,∴或解得:(2),移項(xiàng)得:或解得:,【點(diǎn)睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程,掌握“因式分解的方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵.14.(2022·河南信陽(yáng)·九年級(jí)期末)解方程:(1)x2-2x-3=0(2)(x﹣3)2=2x﹣6【答案】(1)x1=3,x2=-1(2)x1=3,x2=5【解析】【分析】(1)把常數(shù)項(xiàng)移到右邊后,用配方法解一元二次方程即可;(2)把右邊部分移項(xiàng)后,用因式分解法解一元二次方程即可.(1)解:x2-2x-3=0移項(xiàng),得:x2-2x=3,配方,得:x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.兩邊同時(shí)開(kāi)方,得:x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.(2)解:(x﹣3)2=2x﹣6∵(x﹣3)2=2(x﹣3),∴(x﹣3)2﹣2(x﹣3)=0,則(x﹣3)(x﹣5)=0,∴x﹣3=0或x﹣5=0,解得:x1=3,x2=5.【點(diǎn)睛】此題考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程,熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵.15.(2022·浙江·樂(lè)清市樂(lè)成第一中學(xué)八年級(jí)期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1).(2).【答案】(1),;(2),【解析】【分析】將左邊利用十字相乘法因式分解,繼而可得兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程,分別求解即可得出答案;先移項(xiàng),再將左邊利用提公因式法因式分解,繼而可得兩個(gè)關(guān)于的一元一次方程,分別求解即可得出答案.(1)解:,,則或,解得,,所以,原方程的解為,;(2)解:,則,或,解得,.所以,原方程的解為,.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法,熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵.16.(2022·北京門(mén)頭溝·二模)已知關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)如果m為正整數(shù),求此方程的根.【答案】(1)且;(2)x1=0,x2=-1【解析】【分析】(1)由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到?>0,利用公式求出m的取值范圍;(2)由(1)及m為正整數(shù),可得m=1,利用因式分解法解方程即可.(1)解:∵關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴?>0,∴,解得;∵,∴且;(2)∵且m≠0,m為正整數(shù),∴m=1,∴該方程為,解得x1=0,x2=-1.【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的情況求參數(shù)的取值范圍,解一元二次方程,正確掌握一元二次方程根的判別式與根的情況是解題的關(guān)鍵.17.(2022·全國(guó)·九年級(jí))已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)m=2時(shí),方程的根為x1,x2,求代數(shù)式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.【答案】(1)m≤(2)1【解析】【分析】(1)根據(jù)△≥0,解不等式即可;(2)將m=2代入原方程可得:x2+3x+1=0,計(jì)算兩根和與兩根積,化簡(jiǎn)所求式子,可得結(jié)論.(1)解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣3=0有實(shí)數(shù)根,∴△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣3)≥0,∴m≤.(2)當(dāng)m=2時(shí),方程為x2+3x+1=0,∴x1+x2=﹣3,x1x2=1,∵方程的根為x1,x2,∴x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,∴(x12+2x1)(x22+4x2
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