專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略(原卷版+解析)_第1頁(yè)
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專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略類型一、折疊問(wèn)題例1.如圖,將等邊折疊,使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)D處,是折痕,若,,則的長(zhǎng)是()A.2 B.4 C. D.例2.如圖,在長(zhǎng)方形中,,點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把沿折疊,若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊的垂直平分線上,則的長(zhǎng)為_(kāi)___________.【變式訓(xùn)練1】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)A分別作軸于點(diǎn)B,軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D在射線上.將沿直線翻折,使點(diǎn)A恰好落在坐標(biāo)軸上,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)___________.【變式訓(xùn)練2】如圖,在中,,點(diǎn)、是邊上的點(diǎn),點(diǎn)在邊上,連接、,將分別沿直線和折疊,使點(diǎn)、的對(duì)稱點(diǎn)重合在邊上的點(diǎn)處.若,,則的長(zhǎng)是______.【變式訓(xùn)練3】如圖,將長(zhǎng)方形沿著折疊,使得點(diǎn)D恰好落在邊上的處,若,,則的面積為_(kāi)____.【變式訓(xùn)練4】如圖,紙片中,,,,,點(diǎn)D在邊BC上,以AD為折痕折疊得到,與邊BC交于點(diǎn)E,若為直角三角形,則BD的長(zhǎng)是______.【變式訓(xùn)練5】如圖,矩形中,,,點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把沿折疊,當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上時(shí),的長(zhǎng)為_(kāi)_____.類型二、勾股弦圖例.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,連接,交于點(diǎn),如圖所示,若正方形的面積為,,則的值是()A.3 B.3.5 C.4 D.7【變式訓(xùn)練1】閱讀材料:通過(guò)整式乘法的學(xué)習(xí),我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來(lái)說(shuō)明法則、公式等的正確性的方法,例如利用圖甲可以對(duì)平方差公式給予解釋.圖乙中的是一個(gè)直角三角形,,人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊,b,c滿足的關(guān)系,我國(guó)漢代“趙爽弦圖”(如圖丙)就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系.請(qǐng)回答:下列幾何圖形中,可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有______(直接填寫(xiě)圖序號(hào)).【變式訓(xùn)練2】我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”,并且直角邊中較短邊為勾,另一直角邊為股,斜邊為弦如圖1所示,數(shù)學(xué)家劉徽(約公元年公元年)將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理如圖2所示的長(zhǎng)方形是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成,若,,則長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)_____.【變式訓(xùn)練3】如圖,、、、為四個(gè)全等的直角三角形,與、、分別交于點(diǎn)、、,且滿足,則兩個(gè)陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為_(kāi)__________.【變式訓(xùn)練4】如圖,其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形,四邊形和都是正方形,根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系,可以證明勾股定理.設(shè),,,取,.(1)填空:正方形的面積為_(kāi)___________,四個(gè)直角三角形的面積和為_(kāi)____________.(2)求的值.類型三、網(wǎng)格問(wèn)題例.如圖,的頂點(diǎn)A,B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則邊上的高為(

)A. B. C. D.【變式訓(xùn)練1】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,A、B、C均在正方形格點(diǎn)上,則C點(diǎn)到AB的距離為(

)A. B. C. D.【變式訓(xùn)練2】如圖,正方形網(wǎng)格中,每一小格的邊長(zhǎng)為1.網(wǎng)格內(nèi)有,則的度數(shù)是(

)A. B. C. D.【變式訓(xùn)練3】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,A,B為格點(diǎn)在如圖所示的網(wǎng)格中求作一點(diǎn)C,使得且的面積等于,則此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【變式訓(xùn)練4】如圖,在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C,D,M,F(xiàn)均在格點(diǎn)上,且與交于點(diǎn)E.(1)與全等嗎?________(填“全等”或“不全等”);理由是________;(2)與是否垂直?________(填“是”或“否”);(3)求的長(zhǎng).專題04勾股定理與幾何圖形的三種考法全攻略類型一、折疊問(wèn)題例1.如圖,將等邊折疊,使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)D處,是折痕,若,,則的長(zhǎng)是()A.2 B.4 C. D.【答案】D【詳解】解:∵將等邊折疊,使得點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)D處,∴,,,∵,,∴,∴,∴,故選:D.例2.如圖,在長(zhǎng)方形中,,點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把沿折疊,若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊的垂直平分線上,則的長(zhǎng)為_(kāi)___________.【答案】【詳解】解:∵四邊形為矩形,,是邊的垂直平分線,∴,,,∴四邊形為矩形,,根據(jù)折疊的性質(zhì),可知,,∴在中,,∴,設(shè),則,∴在中,可有,即,解得,∴的長(zhǎng)為.故答案為:.【變式訓(xùn)練1】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)A分別作軸于點(diǎn)B,軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D在射線上.將沿直線翻折,使點(diǎn)A恰好落在坐標(biāo)軸上,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)___________.【答案】或或【詳解】解:①如圖,設(shè)翻折之后的A落點(diǎn)點(diǎn)E,作.設(shè),由題意可得,,,∵與關(guān)于直線對(duì)稱,∴,,在Rt中,,∴.在Rt中,,∴,即,解得,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是.②如圖2:翻折之后A點(diǎn)落在y軸上時(shí),即圖中點(diǎn)E,,這時(shí),,可求出D點(diǎn)坐標(biāo)為;③如圖3,當(dāng)翻折之后A點(diǎn)落在x軸負(fù)半軸時(shí),,在Rt中,,則,Rt中,設(shè),利用勾股定理得到,解得D點(diǎn)坐標(biāo)為故:D的坐標(biāo)為或或.【變式訓(xùn)練2】如圖,在中,,點(diǎn)、是邊上的點(diǎn),點(diǎn)在邊上,連接、,將分別沿直線和折疊,使點(diǎn)、的對(duì)稱點(diǎn)重合在邊上的點(diǎn)處.若,,則的長(zhǎng)是______.【答案】【詳解】解:,.

由翻折可知:

,設(shè),則,在中,根據(jù)勾股定理得:

解得,故答案為:.【變式訓(xùn)練3】如圖,將長(zhǎng)方形沿著折疊,使得點(diǎn)D恰好落在邊上的處,若,,則的面積為_(kāi)____.【答案】45【詳解】解:過(guò)點(diǎn)E作,設(shè),則,,根據(jù)勾股定理可得,,解得:,∴,設(shè),則,根據(jù)勾股定理可得:解得,,∴-故答案為:45.【變式訓(xùn)練4】如圖,紙片中,,,,,點(diǎn)D在邊BC上,以AD為折痕折疊得到,與邊BC交于點(diǎn)E,若為直角三角形,則BD的長(zhǎng)是______.【答案】或【詳解】解:∵紙片中,,,∴,∵以為折痕,折疊得到,∴,,.當(dāng)時(shí),如圖1所示,∵,∴.∵,∴,∴,∴,∴,∴;當(dāng)時(shí),如圖2所示,C與點(diǎn)E重合,∵,∴,設(shè),則,在中,,∴,解得:,∴,綜上所述,的長(zhǎng)為或,故答案為:或.【變式訓(xùn)練5】如圖,矩形中,,,點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把沿折疊,當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上時(shí),的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】或【詳解】解:如圖,連接,過(guò)作,交于點(diǎn),于點(diǎn),作交于點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的角平分線上,,設(shè),則,,又折疊圖形可得,,解得或,即或.在中,設(shè),當(dāng)時(shí),,,,,解得,即,當(dāng)時(shí),,,,,解得,即.故答案為:或.類型二、勾股弦圖例.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,連接,交于點(diǎn),如圖所示,若正方形的面積為,,則的值是()A.3 B.3.5 C.4 D.7【答案】B【詳解】∵正方形的面積為,∴,設(shè),∵,∴,中,由勾股定理得:,∴,∴,∵,,∴,∴,∵“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,∴,∴,∴,∴,,∴,∵,則的值是;故選:B.【變式訓(xùn)練1】閱讀材料:通過(guò)整式乘法的學(xué)習(xí),我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來(lái)說(shuō)明法則、公式等的正確性的方法,例如利用圖甲可以對(duì)平方差公式給予解釋.圖乙中的是一個(gè)直角三角形,,人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊,b,c滿足的關(guān)系,我國(guó)漢代“趙爽弦圖”(如圖丙)就巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系.請(qǐng)回答:下列幾何圖形中,可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖有______(直接填寫(xiě)圖序號(hào)).【答案】③④【詳解】解:①長(zhǎng)方形的面積:,②,③,整理,得,④,整理,得,故答案為:③④.【變式訓(xùn)練2】我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”,并且直角邊中較短邊為勾,另一直角邊為股,斜邊為弦如圖1所示,數(shù)學(xué)家劉徽(約公元年公元年)將勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理如圖2所示的長(zhǎng)方形是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成,若,,則長(zhǎng)方形的面積為_(kāi)_____.【答案】【詳解】解:設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x,∵,∴,在中,,即,整理得,,即,而長(zhǎng)方形面積為,即該長(zhǎng)方形的面積為,故答案為:.【變式訓(xùn)練3】如圖,、、、為四個(gè)全等的直角三角形,與、、分別交于點(diǎn)、、,且滿足,則兩個(gè)陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為_(kāi)__________.【答案】【詳解】解:∵、、、為四個(gè)全等的直角三角形,∴,,四邊形是正方形,,,又,∴,又,∴,∴,設(shè),,則,∴,在中,,∴,∴,∴,∴,即,∴或(不符合題意,舍去),∴,,∴兩個(gè)陰影部分的面積和與四邊形面積的比值為.故答案為:.【變式訓(xùn)練4】如圖,其中、、和是四個(gè)全等的直角三角形,四邊形和都是正方形,根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系,可以證明勾股定理.設(shè),,,取,.(1)填空:正方形的面積為_(kāi)___________,四個(gè)直角三角形的面積和為_(kāi)____________.(2)求的值.【答案】(1)16;384(2)28【詳解】(1)解:設(shè),,,取,.正方形面積為:,正方形面積為:,根據(jù)圖形可知:四個(gè)直角三角形的面積和等于正方形與正方形面積之差,即:,故答案為:16;384;(2)解:在(1)中,有:四個(gè)直角三角形的面積和又∵,,,∴,整理,可得:,由(1)可知四個(gè)直角三角形的面積和為384,∴,解得,∵,∴.∴(負(fù)值舍去),即值為28.類型三、網(wǎng)格問(wèn)題例.如圖,的頂點(diǎn)A,B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則邊上的高為(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】解:∵,又∵,∴邊長(zhǎng)的高為:,故B正確.故選:B.【變式訓(xùn)練1】如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中,A、B、C均在正方形格點(diǎn)上,則C點(diǎn)到AB的距離為(

)A. B. C. D.【答案】D【詳解】解:如圖,連接、,,,設(shè)C點(diǎn)到的距離為h,∵,∴.故選:D.【變式訓(xùn)練2】如圖,正方形網(wǎng)格中,每一小格的邊長(zhǎng)為1.網(wǎng)格內(nèi)有,則的度數(shù)是(

)A. B. C. D.【答案】B【詳解】解:延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接,如下圖:由勾股定理得:,,,∴,,∴為等腰直角三角形,∴,∴,故選:B.【變式訓(xùn)練3】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,A,B為格點(diǎn)在如圖所示的網(wǎng)格中求作一點(diǎn)C,使得且的面積等于,則此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【詳解】∵,∴∵的面積等于,∴點(diǎn)C所在的位置如圖所示,∴,故答案為:【變式訓(xùn)練4】如圖,在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A

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