專題10.4分式方程（知識解讀）

專題10.4分式方程（知識解讀）【學習目標】1.了解解分式方程的基本思路和解法．2.掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法．3.體會解分式方程過程中的化歸思想．4.結合利用分式方程解決實際問題的實例，進一步體會方程是刻畫實際問題數(shù)量關系的一種重要數(shù)學模型【知識點梳理】考點1：分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉化為整式方程.考點2：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.考點3：分式方程應用類型一：工程問題類型二：行程問題類型三：銷售問題類型四：方案問題【典例分析】【考點1分式方程定義】【典例1】（2022春?方城縣期中）給出下列方程：，，，，其中分式方程的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：分式方程有＝2，＝，共有2個．故選：B．【變式11】（2021秋?魚臺縣期末）下列方程中不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項不符合題意；B、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項不符合題意；C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故此選項符合題意；D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項不符合題意．故選：C．【變式12】（2021秋?西峰區(qū)期末）下列關于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：選項A、B、D是整式方程，不符合題意；選項C，是分式方程，符合題意；故選：C．【典例2】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）解方程：（1）；（2）＝1．【解答】解：（1）﹣1＝，方程兩邊都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，解得：x＝﹣，檢驗：當x＝﹣時，x﹣2≠0，所以x＝﹣是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣；（2）﹣＝1，﹣＝1，方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣18＝（x+3）（x﹣3），解得：x＝3，檢驗：當x＝3時，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3是增根，即原分式方程無解．【變式21】（2022春?洪澤區(qū)期末）解方程：﹣＝1．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得：x2+2x﹣5x+10＝x2﹣2x，解得：x＝10，檢驗：把x＝10代入得：x（x﹣2）≠0，∴分式方程的解為x＝10．【變式22】（2022春?海州區(qū)期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）兩邊乘（x﹣3）（3x﹣1），得2（3x﹣1）＝3（x﹣3），解得：x＝﹣，檢驗：當x＝﹣時，（x﹣3）（3x﹣1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解．（2）方程兩邊同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1．解得：x＝1，檢驗：當x＝1時，（x﹣1）（x+1）＝0，所以x＝1是增根，原方程無解．【變式23】（2022春?連云港期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），﹣＝4，方程兩邊都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），解得：x＝1，檢驗：當x＝1時，2x﹣3≠0，所以x＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1；（2），﹣＝，方程兩邊都乘3（3x﹣1），得1﹣3x＝2（3x﹣1），解得：x＝，檢驗：當x＝時，3（3x﹣1）＝0，所以x＝增根，即原方程無解．【考點3分式方程應用類型】類型一工程問題【典例3】（2022春?閔行區(qū)校級期末）某工程隊承擔了修建地鐵兩個站點間2400米的隧道工程任務，由于采用了新技術，現(xiàn)在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務．（1）求完成此項工程原計劃每個月掘進多少米？（2）如果每天的施工費用為2.5萬元，那么該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需多少萬元？（每個月按30天算）【解答】解：（1）設完成此項工程原計劃每個月掘進x米，則現(xiàn)在每個月掘進（x+180）米．根據(jù)題意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．經(jīng)檢驗：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合題意，舍去．答：完成此項工程原計劃每個月掘進300米．（2）×2.5×30＝375（萬元）．答：該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需375萬元．【變式31】（2022春?漣水縣期末）某校為美化校園環(huán)境，計劃對面積為1200m2的區(qū)域進行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨立完成面積為360m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用2天．求甲、乙兩工程隊每天能綠化的面積分別是多少m2？【解答】解：設乙工程隊每天能完成綠化的面積是xm2，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是1.5xm2，依題意，得：，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解．∴1.5x＝90．答：甲工程隊每天能完成綠化的面積是90m2，乙工程隊每天能完成綠化的面積是60m2．【變式32】（2022春?瑤海區(qū)期末）某建工集團下有甲、乙兩個工程隊，現(xiàn)中標承建一段公路，若甲、乙兩工程隊合做20天可完成；若讓兩隊合做15天后，剩下的工程由甲隊獨做，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊施工每天需付施工費10000元，乙工程隊施工每天需付施工費26000元，此項工程若由甲工程隊先獨做若干天后，乙工程隊再加入共同完成剩下的工程，則甲工程隊至少要獨做多少天，才能使施工費不超過680000元？【解答】解：（1）設甲隊單獨完成此項工程需x天，由題意得：×15+＝1，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程隊單獨完成此項工程需要30天，答：甲隊單獨完成此項工程需60天，乙工程隊單獨完成此項工程需要30天；（2）設甲工程隊要獨做a天，乙工程隊做了b天，由題意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工費不超過680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程隊至少要獨做20天．【變式33】（2022?桂林模擬）為了進一步豐富市民的休閑生活，某區(qū)政府決定在漓江沿岸擴建5400米綠道并進行招標，根據(jù)招標結果，該工程由甲、乙兩個工程隊參與建設．已知：甲工程隊每天完成的工程量是乙隊的1.2倍，甲隊單獨完成工程比乙隊單獨完成少用10天．（1）求乙隊每天能完成多少米？（2）若甲、乙兩個工程隊合作20天后，剩余工程由乙工程隊單獨完成，求乙工程隊還需多少天？【解答】解：（1）設乙隊每天能完成x米．則甲工程隊每天完成1.2x米，由題意可得：，解得：x＝90，經(jīng)檢驗，x＝90是原方程的解，且符合題意．答：乙隊每天能完成90米；（2）設乙工程隊還需y天．由題意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程隊還需16天．類型二行程問題【典例4】（2021?北碚區(qū)校級開學）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時間都相同．第一天步行去上班結果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結果早到10分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和騎自行車的速度；（2）有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時間忽略不計）為了至少提前5分鐘到達．則跑步的速度至少為多少千米每小時？【解答】解：（1）設小李步行的速度為x千米/小時，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時，由題意得：﹣＝+，解得：x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解，則1.5x＝9，答：小李步行的速度為6千米/小時，則騎自行車的速度為9千米/小時；（2）小李騎自行車出發(fā)1.5千米所用的時間為1.5÷9＝（小時），小李每天出發(fā)的時間都相同，距離上班的時間為：4.5÷9+10÷60＝（小時），設小李跑步的速度為m千米/小時，由題意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，解得：m≥7.2，答：小李立即跑步去上班（耽誤時間忽略不計）為了至少提前5分鐘到達．則跑步的速度至少為7.2千米每小時．【變式41】（2012?山西模擬）列方程或方程組解應用題：為響應低碳號召，肖老師上班的交通方式由自駕車改為騎自行車，肖老師家距學校15千米，因為自駕車的速度是騎自行車速度的4倍，所以肖老師每天比原來早出發(fā)45分鐘，才能按原時間到校，求肖老師騎自行車每小時走多少千米．【解答】列方程或方程組解應用題：解：設肖老師騎自行車每小時走x千米．根據(jù)題意得：，解得x＝15，經(jīng)檢驗x＝15是原方程的解，并符合實際意義，答：肖老師騎自行車每小時走15千米．【變式42】（2021?揚州模擬）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．【解答】解：設走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，依題意，得：﹣＝，解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：走路線B的平均速度為75km/h．【變式43】（2021秋?正定縣期中）學校新到一批理、化、生實驗器材需要整理，若實驗管理員李老師一人單獨整理需要40分鐘完成，現(xiàn)在李老師與工人王師傅共同整理20分鐘后，李老師因事外出，王師傅再單獨整理了20分鐘才完成任務．（1）王師傅單獨整理這批實驗器材需要多少分鐘？（2）學校要求王師傅的工作時間不能超過30分鐘，要完成整理這批器材，李老師至少要工作多少分鐘？【解答】解：（1）設王師傅單獨整理這批實驗器材需要x分鐘，則王師傅的工作效率為，由題意，得：20（+）+20×＝1，解得：x＝80，經(jīng)檢驗得：x＝80是原方程的根．答：王師傅單獨整理這批實驗器材需要80分鐘．（2）設李老師要工作y分鐘，由題意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y≥25．答：李老師至少要工作25分鐘．類型三銷售問題【典例5】（泰安）某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？（2）商店進價提高60%標價銷售，銷售一段時間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對乙款型按標價的五折降價銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？【解答】解：（1）設乙種款型的T恤衫購進x件，則甲種款型的T恤衫購進1.5x件，依題意有+30＝，解得x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，1.5x＝60．答：甲種款型的T恤衫購進60件，乙種款型的T恤衫購進40件；（2）＝160，160﹣30＝130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）＝4680+1920﹣640＝5960（元）答：售完這批T恤衫商店共獲利5960元．【變式51】（2022春?濟陽區(qū)期末）某商場在“六一”兒童節(jié)來臨之際用3000元購進A、B兩種玩具1100個，購買A玩具與購買B玩具的費用相同．已知A玩具的單價是B玩具單價的1.2倍．（1）求A、B兩種玩具的單價各是多少？（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進A、B兩種玩具共2600個，已知A、B兩種玩具的進價不變，求A種玩具最多能購進多少個？【解答】解：（1）設B種玩具的單價為x元，則A種玩具的單價為1.2x元，由題意得：+＝1100，解得：x＝2.5，經(jīng)檢驗，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝3，答：A種玩具的單價是3元，B種玩具的單價是2.5元；（2）設購進A種玩具m個，則購進B種玩具（2600﹣m）個，由題意得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000，∴A種玩具最多能購進1000個，答：A種玩具最多能購進1000個．【變式52】（2022?朝陽區(qū)校級模擬）2022年2月6日晚，中國女足在第20屆亞洲杯決賽中以3：2逆轉奪冠！全國各地紙起了一股學女足精神的熱潮．某學校準備購買一批足球，第一次用8000元購進A類足球若干個，第二次又用5000元購進B類足球，購進數(shù)量比第一次多了30個，已知A類足球的單價是B類足球單價的2.5倍．求B類足球的單價是多少元？【解答】解：設B類足球的單價是x元，則A類足球的單價是2.5x元，根據(jù)題意得：﹣＝30，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是分式方程的解，且符合題意，答：B類足球的單價是60元．【變式53】（2022春?遼陽期末）“雙減”政策背景下，某校為增加學生的課外活動時間，現(xiàn)決定增購兩種體育器材：跳繩和毽子，已知跳繩的單價比毽子的單價多3元，用800元購買的跳繩數(shù)量和用500元購買的鍵子數(shù)量相同．（1）求跳繩和毽子的單價分別是多少元？（2）如果學校計劃購買跳繩和毽子共80個，總費用不超過460元，那么最多能買多少個跳繩？【解答】解：（1）設毽子的單價為x元，則跳繩的單價為（x+3）元，依題意，得：＝，解得：x＝5，經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意，∴x+3＝8．答：跳繩的單價為8元，毽子的單價為5元；（2）設跳繩能買y根，則毽子能買（80﹣y）個，依題意，得：8y+5（80﹣y）≤460，解得：y≤20，答：最多可購買20根跳繩．類型四方案問題【典例6】（2021春?桐城市期末）某社區(qū)準備建造A，B兩類攤位共80個，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的．（1）求每個B類攤位占地面積．（2）要求建A類攤位的數(shù)量不少于26個，且建造兩類攤位的總費用不超過18320元．①共有哪幾種建造方案？②最少費用是元．【解答】解：（1）設每個B類攤位占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，依題意得：＝×，解得：x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解，且符合題意．答：每個B類攤位占地面積為6平方米．（2）每個A類攤位的建造費用為40×（6+2）＝320（元），每個B類攤位的建造費用為30×6＝180（元）．①設建造m個A類攤位，則建造（80﹣m）個B類攤位，依題意得：，解得：26≤m≤28．又∵m為整數(shù)，∴m可以為26，27，28，∴共有3種建造方案，方案1：建造26個A類攤位，54個B類攤位；方案2：建造27個A類攤位，53個B類攤位；方案3：建造28個A類攤位，52個B類攤位．②建造方案1所需費用為320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；建造方案2所需費用為320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；建造方案3所需費用為320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．∵18040＜18180＜18320，∴最少費用是18040元．故答案為：18040．【變式61】（2021?龍馬潭區(qū)模擬）某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數(shù)與用150元購進乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？【解答】解：設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，＝x＝15，經(jīng)檢驗x＝15是原方程的解．∴40﹣x＝25．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因為y是整數(shù)，甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，∴y取20，21，22，23，共有4種方案．【變式62】（2021?龍門縣模擬）為了創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個衛(wèi)生死角內的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成