第09講二元一次方程組中的新定義題型(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年下學(xué)期七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)專題(人教版)

第09講二元一次方程組中的新定義題型（原卷版）第一部分典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類型一“新運(yùn)算”型專題典例1（2021春?萬(wàn)山區(qū)期中）定義新運(yùn)算：，其中，是常數(shù)，已知，；求的值？針對(duì)訓(xùn)練11．（2021?蘭山區(qū)二模）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們定義一種新運(yùn)算（其中，均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運(yùn)算，由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，例如，時(shí)，．若，，則．2．（2021春?蒙陰縣期末）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”：，例如：，因?yàn)椋裕?，是二元一次方程組的解，則．3．（2022春?龍游縣月考）定義運(yùn)算“”，規(guī)定，其中，為常數(shù)，且，，則．4．（2021春?寧波期末）對(duì)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：，（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當(dāng)，，則；當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關(guān)系式是．5．（2022春?衛(wèi)輝市期中）對(duì)于、我們定義一種新運(yùn)算“※”：※，其中、類為常數(shù)，等式的右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知：5※、3※，求4※3的值．

類型二“新方程”型典例2（2022春?越秀區(qū)校級(jí)期中）把（其中，是常數(shù)，，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“雅系二元一次方程”．當(dāng)時(shí)，“雅系二元一次方程”中的值稱為“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：當(dāng)時(shí)，“雅系二元一次方程”化為，其“完美值”為．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請(qǐng)求出的值及此時(shí)的“完美值”；若不存在，請(qǐng)說明理由．針對(duì)訓(xùn)練26．（2021春?福州期中）把（其中、是常數(shù)，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值稱為“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”為．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，為常數(shù)）存在“卓越值”嗎？若存在，請(qǐng)求出其“卓越值”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若關(guān)于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是關(guān)于的方程的解，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)，的值．

類型三“新概念”型典例3（海淀區(qū)校級(jí)期末）新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是．針對(duì)訓(xùn)練37．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)A和正數(shù)r，給出如下定義：點(diǎn)A在數(shù)軸上移動(dòng)，沿負(fù)方向移動(dòng)r個(gè)單位長(zhǎng)度后所在位置點(diǎn)表示的數(shù)是x，沿正方向移動(dòng)r個(gè)單位長(zhǎng)度后所在位置點(diǎn)表示的數(shù)是y，x與y這兩個(gè)數(shù)叫做“點(diǎn)A的r對(duì)稱數(shù)”，記作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原點(diǎn)O表示0，原點(diǎn)O的1對(duì)稱數(shù)是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若點(diǎn)A表示2，則點(diǎn)A的4對(duì)稱數(shù)D（A，4）＝{x，y}，則x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求點(diǎn)A表示的數(shù)及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若點(diǎn)A、點(diǎn)B從原點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸反向運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A的速度是點(diǎn)B速度的2倍，當(dāng)2（y﹣n）＝3（x﹣m）時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A表示的數(shù)．8．（贛縣區(qū)期末）我們定義：若整式M與N滿足：M+N＝k（k為整數(shù)），我們稱M與N為關(guān)于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我們稱2x與3y為關(guān)于4的平衡整式．（1）若2a﹣5與4a+9為關(guān)于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10與y為關(guān)于2的平衡整式，2x與5y+10為關(guān)于5的平衡整式，求x+y的值．

類型四定義新的解題思想或方法典例4（2019春?朝陽(yáng)區(qū)期中）定義：在解方程組時(shí)，我們可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新組成方程組，這種解二元一次方程組的解法我們稱為二元一次方程組的輪換對(duì)稱解法．（1）用輪換對(duì)稱解法解方程組，得；（2）如圖，小強(qiáng)和小麗一起搭積木，小強(qiáng)所搭的“小塔”高度為32cm，小麗所搭的“小樹”高度為31cm，設(shè)每塊A型積木的高為xcm每塊B型積木的高為ycm，求x與y的值．針對(duì)訓(xùn)練49．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．小明在做題過程仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用這樣的思想解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：※，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3※，4※，那么求1※1的值．

類型五閱讀材料題型中的新定義典例5（2019?南岸區(qū)校級(jí)三模）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個(gè)方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對(duì)線性方程組的研究，中國(guó)比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學(xué)習(xí)的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中，稱為該方程組的“相關(guān)系數(shù)”．（1）若關(guān)于，的方程組可化為“相關(guān)線性方程組”，則該方程組的解為（2）若某“相關(guān)線性方程組”有無數(shù)多組解，求該方程組的兩個(gè)相關(guān)系數(shù)之和；（3）已知關(guān)于，的“相關(guān)線性方程組”的未知數(shù)的值為整數(shù)，試寫出符合題意的的幾個(gè)值．針對(duì)訓(xùn)練510．（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料并解決問題定義：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)R，R的干數(shù)m是與R最接近的兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)整數(shù)，R的支數(shù)n是R減去R的干數(shù)m之差，即n＝R﹣m例如：實(shí)數(shù)2.07，因?yàn)榕c2.07最接近的兩個(gè)整數(shù)是2和3，且2小于3，所以2.07的干數(shù)m＝2，2.07的支數(shù)n＝2.07﹣2＝0.07；實(shí)數(shù)﹣1.72，因?yàn)榕c﹣1.72最接近的兩個(gè)整數(shù)是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干數(shù)m＝﹣2，﹣1.72的支數(shù)n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相關(guān)結(jié)論：m是一個(gè)整數(shù)，n的取值范圍是0≤n＜1．（1）實(shí)數(shù)10.8的干數(shù)m＝，實(shí)數(shù)的支數(shù)n＝．（2）某實(shí)數(shù)的干數(shù)是x，支數(shù)是y，且x+3y＝0.5，求這個(gè)實(shí)數(shù)．

11．（2019秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）【閱讀】將九個(gè)數(shù)分別填在行3列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行，每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于，則將這樣的圖稱為“和幻方”，下面的三個(gè)圖（圖都是滿足條件的“和幻方”【探究】（1）若圖2為“和幻方”，則，，．（2）若圖3為“和幻方”，請(qǐng)通過觀察上圖的三個(gè)幻方，試著用含，的代數(shù)式表示，并說明理由．（3）若圖4為“和幻方”，且為整數(shù)，試求出所有滿足條件的整數(shù)的值．

專題提提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?丹江口市期中）對(duì)于、定義一種新運(yùn)算“※”：※，其中、為常數(shù)，等式右邊是通常的乘法和減法的運(yùn)算．已知：2※，1※，求5※3的值．2．（2021?唐山一模）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義關(guān)于“※”的一種運(yùn)算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．3．（2021春?廣饒縣期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題：對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和等于百位上數(shù)字的兩倍．則稱這個(gè)三位數(shù)為“均衡數(shù)”．（1）請(qǐng)直接寫出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）如果一個(gè)三位數(shù)，，，，為自然數(shù)），規(guī)定為這個(gè)三位數(shù)的“勻稱值”，求出“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個(gè)數(shù)．

5．（2022春?江陰市期中）對(duì)整數(shù)、定義一種新運(yùn)算，規(guī)定（其中、是常數(shù)），如：．（1）填空：（用含，的代數(shù)式表示）；（2）若，．①求與的值；②若，，，求出此時(shí)的值．6．（2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）定義數(shù)對(duì)經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)，并把該運(yùn)算記作，，，其中，為常數(shù)）．例如，當(dāng)，且時(shí)，，，．（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）若，，，則，；（3）如果組成數(shù)對(duì)的兩個(gè)數(shù)，滿足二元一次方程，并且對(duì)任意數(shù)對(duì)經(jīng)過運(yùn)算又得到數(shù)對(duì)，求和的值．7．（2020春?蕭山區(qū)期中）閱讀理解：已知實(shí)數(shù)，滿足①，②，求和的值．仔細(xì)觀察未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，如由①②可得，由①②可得．這就是通常說的“整體思想”．嘗試?yán)谩罢w思想”，解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，求購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．已知，，求的值．第09講二元一次方程組中的新定義題型（解析版）第一部分典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類型一“新運(yùn)算”型專題典例1（2021春?萬(wàn)山區(qū)期中）定義新運(yùn)算：，其中，是常數(shù)，已知，；求的值？思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得到關(guān)于、的方程組，解出、，再根據(jù)定義求值即可．解：根據(jù)題意得，，解得：．則．解題秘籍：本題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是讀懂題意準(zhǔn)確列出方程組，準(zhǔn)確求解方程組．針對(duì)訓(xùn)練11．（2021?蘭山區(qū)二模）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們定義一種新運(yùn)算（其中，均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運(yùn)算，由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，例如，時(shí)，．若，，則．思路引領(lǐng)：已知兩等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算求出與的值，代入，再把，代入計(jì)算即可求出值．解：，，根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，解得：，即，則．故答案為：11．解題秘籍：此題考查了解二元一次方程組，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2021春?蒙陰縣期末）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“”：，例如：，因?yàn)?，所以．若，是二元一次方程組的解，則．思路引領(lǐng)：利用加減消元法解出方程組的解，根據(jù)，用第二個(gè)表達(dá)式計(jì)算即可．解：，①②得：，，代入①得：，，原式．故答案為：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，通過比較，的大小，選擇正確的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?龍游縣月考）定義運(yùn)算“”，規(guī)定，其中，為常數(shù)，且，，則．思路引領(lǐng)：根據(jù)，，列方程組可求出、的值，即可計(jì)算得到答案．解：，，，，解得，，，故答案為：13．方法，，，，，，①②得：；．故答案為：13．解題秘籍：本題考查新定義運(yùn)算，涉及解二元一次方程組，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是由已知列出關(guān)于、的方程組，從而求出、的值．4．（2021春?寧波期末）對(duì)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：，（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當(dāng)，，則；當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關(guān)系式是．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新運(yùn)算的定義，得，，故，．那么，，．（2）由，，，得，故．由當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意有理數(shù)，都成立，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，都成立．那么，．解：（1），，，．，．，．，．（2），，，，，．，．若當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意有理數(shù)，都成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，都成立．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)，都成立．．故答案為：，．解題秘籍：本題主要考查整式的運(yùn)算以及解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法以及整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?衛(wèi)輝市期中）對(duì)于、我們定義一種新運(yùn)算“※”：※，其中、類為常數(shù)，等式的右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知：5※、3※，求4※3的值．思路引領(lǐng)：根據(jù)已知條件得出方程組，求出、的值，根據(jù)題意得出4※，再求出答案即可．解：※、3※，，①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以4※．解題秘籍：本題考查了解二元一次方程組和有理數(shù)的混合運(yùn)算，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．類型二“新方程”型典例2（2022春?越秀區(qū)校級(jí)期中）把（其中，是常數(shù)，，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“雅系二元一次方程”．當(dāng)時(shí)，“雅系二元一次方程”中的值稱為“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：當(dāng)時(shí)，“雅系二元一次方程”化為，其“完美值”為．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請(qǐng)求出的值及此時(shí)的“完美值”；若不存在，請(qǐng)說明理由．思路引領(lǐng)：（1）由題意可得，即可求解；（2）由題意可得，求出即可；（3）由題意可得，得，，得，再由，即可求的值．解：（1）是“雅系二元一次方程”，，解得，“雅系二元一次方程”的“完美值”為；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，，解得；（3）存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同，理由如下：由，得，由，得，，解得，，“完美值”為．解題秘籍：本題考查二元一次方程的解，理解新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練26．（2021春?福州期中）把（其中、是常數(shù)，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值稱為“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”為．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，為常數(shù)）存在“卓越值”嗎？若存在，請(qǐng)求出其“卓越值”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若關(guān)于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是關(guān)于的方程的解，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)，的值．思路引領(lǐng)：（1）把代入即可求得；（2）解方程得，根據(jù)分式有意義得條件，當(dāng)時(shí)存在“卓越值”，當(dāng)時(shí)分式無意義不存在“卓越值”；（3）因?yàn)榉匠膛c方程的解相同，可得，因?yàn)?、都為正?shù)，所以，即可得出、得值．解：（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，，解得；（2）由，①當(dāng)，時(shí)，中雅一元一次方程”，為常數(shù)）有無數(shù)個(gè)“卓越值”，②當(dāng)，時(shí)，中雅一元一次方程”，為常數(shù)）不存在“卓越值”；（3）由，得，由，得，由題意可得，，解得：，，，，，；，；，；，．解題秘籍：本題主要考查二元一次方程的解，理解題目中所給的條件時(shí)解決本題的關(guān)鍵．類型三“新概念”型典例3（海淀區(qū)校級(jí)期末）新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是．思路引領(lǐng)：先求出兩個(gè)方程組的解，再根據(jù)“模糊解”的定義列出不等式組，解得m的取值范圍便可．解：解方程組得，，解方程組得，，∵二元一次方程組的解是方程組的模糊解，∴||≤0.1，||≤0.1，解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案為4.5≤m≤5．解題秘籍：本題考查了新定義，二元一次方程組的解，解絕對(duì)值不等式，考查了學(xué)生的閱讀理解能力、知識(shí)的遷移能力以及計(jì)算能力，難度適中．正確理解“模糊解”的定義是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練37．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)A和正數(shù)r，給出如下定義：點(diǎn)A在數(shù)軸上移動(dòng)，沿負(fù)方向移動(dòng)r個(gè)單位長(zhǎng)度后所在位置點(diǎn)表示的數(shù)是x，沿正方向移動(dòng)r個(gè)單位長(zhǎng)度后所在位置點(diǎn)表示的數(shù)是y，x與y這兩個(gè)數(shù)叫做“點(diǎn)A的r對(duì)稱數(shù)”，記作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原點(diǎn)O表示0，原點(diǎn)O的1對(duì)稱數(shù)是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若點(diǎn)A表示2，則點(diǎn)A的4對(duì)稱數(shù)D（A，4）＝{x，y}，則x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求點(diǎn)A表示的數(shù)及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若點(diǎn)A、點(diǎn)B從原點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸反向運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A的速度是點(diǎn)B速度的2倍，當(dāng)2（y﹣n）＝3（x﹣m）時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A表示的數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義概念列式計(jì)算；（2）根據(jù)新定義概念列方程組求解；（3）設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則B點(diǎn)所表示的數(shù)為，然后根據(jù)新定義概念用含a的式子表示出x，y，m，n，從而代入求解．解：（1）當(dāng)點(diǎn)A表示2時(shí)，x＝2﹣4＝﹣2，y＝2+4＝6，故答案為：﹣2；6；（2）設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，由題意可得：，解得，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為4，r的值為7；（3）設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B從原點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸反向運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A的速度是點(diǎn)B速度的2倍，∴點(diǎn)B所表示的數(shù)為﹣，又∵D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，∴a﹣5＝x，a+5＝y(tǒng)，﹣﹣3＝m，﹣+3＝n，當(dāng)2（y﹣n）＝3（x﹣m）時(shí)，2[a+5﹣（﹣+3）]＝3[a﹣5﹣（﹣﹣3）]，解得：a＝，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為．解題秘籍：本題屬于新定義題目，考查解二元一次方程組，一元一次方程組的應(yīng)用，理解新定義概念，掌握解二元一次方程組和解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．8．（贛縣區(qū)期末）我們定義：若整式M與N滿足：M+N＝k（k為整數(shù)），我們稱M與N為關(guān)于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我們稱2x與3y為關(guān)于4的平衡整式．（1）若2a﹣5與4a+9為關(guān)于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10與y為關(guān)于2的平衡整式，2x與5y+10為關(guān)于5的平衡整式，求x+y的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平衡整式列出方程，解一元一次方程得到答案；（2）根據(jù)平衡整式的概念列出二元一次方程組，解方程組即可．解：（1）由題意得，2a﹣5+4a+9＝1，解得a＝﹣；（2）由題意得，，解得，，則x+y＝2．解題秘籍：本題考查的是二元一次方程組的解法、一元一次方程的解法，掌握解二元一次方程組的一般步驟是解題的關(guān)．類型四定義新的解題思想或方法典例4（2019春?朝陽(yáng)區(qū)期中）定義：在解方程組時(shí)，我們可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新組成方程組，這種解二元一次方程組的解法我們稱為二元一次方程組的輪換對(duì)稱解法．（1）用輪換對(duì)稱解法解方程組，得；（2）如圖，小強(qiáng)和小麗一起搭積木，小強(qiáng)所搭的“小塔”高度為32cm，小麗所搭的“小樹”高度為31cm，設(shè)每塊A型積木的高為xcm每塊B型積木的高為ycm，求x與y的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)輪換對(duì)稱解法解方程組即可；（2）根據(jù)題意列出方程組，然后根據(jù)輪換對(duì)稱解法解方程組即可．解：（1），①+②得，x+y＝2，②﹣①得，x﹣y＝12，解得，，故答案為：；（2）根據(jù)題意得，，解得：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練49．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．小明在做題過程仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用這樣的思想解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：※，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3※，4※，那么求1※1的值．思路引領(lǐng)：（1）整體代換求值．（2）先將新定義轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算，再解方程．解：（1），①②得：，．①②得：．故答案為：，6．（2）由題意得：①②得：．※．解題秘籍：本題考查整體代換解方程，確定將哪部分當(dāng)作一個(gè)整體是求解本題的關(guān)鍵．類型五閱讀材料題型中的新定義典例5（2019?南岸區(qū)校級(jí)三模）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個(gè)方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對(duì)線性方程組的研究，中國(guó)比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學(xué)習(xí)的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中，稱為該方程組的“相關(guān)系數(shù)”．（1）若關(guān)于，的方程組可化為“相關(guān)線性方程組”，則該方程組的解為（2）若某“相關(guān)線性方程組”有無數(shù)多組解，求該方程組的兩個(gè)相關(guān)系數(shù)之和；（3）已知關(guān)于，的“相關(guān)線性方程組”的未知數(shù)的值為整數(shù)，試寫出符合題意的的幾個(gè)值．思路引領(lǐng)：（1）將方程化為，根據(jù)“相關(guān)線性方程組”的定義，可得，，即可求解（2）由條件可知，，求出與即可；（3）解方程組后可得，由是整數(shù)，故有或或，分別求解即可（答案不唯一，符合條件即可）．解：（1）可化為，根據(jù)“相關(guān)線性方程組”的定義，可得，，，；方程組為，方程組的解為，故答案為；（2）有無數(shù)多組解，，，，，或．（3）的解為，，的值為整數(shù)，是整數(shù)，或，或（答案不唯一，符合條件即可）．解題秘籍：本題考查一元二次方程組的解，新定義；能夠理解定義內(nèi)容，將所求轉(zhuǎn)化為一元二次方程組的解是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練510．（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料并解決問題定義：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)R，R的干數(shù)m是與R最接近的兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)整數(shù)，R的支數(shù)n是R減去R的干數(shù)m之差，即n＝R﹣m例如：實(shí)數(shù)2.07，因?yàn)榕c2.07最接近的兩個(gè)整數(shù)是2和3，且2小于3，所以2.07的干數(shù)m＝2，2.07的支數(shù)n＝2.07﹣2＝0.07；實(shí)數(shù)﹣1.72，因?yàn)榕c﹣1.72最接近的兩個(gè)整數(shù)是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干數(shù)m＝﹣2，﹣1.72的支數(shù)n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相關(guān)結(jié)論：m是一個(gè)整數(shù)，n的取值范圍是0≤n＜1．（1）實(shí)數(shù)10.8的干數(shù)m＝，實(shí)數(shù)的支數(shù)n＝．（2）某實(shí)數(shù)的干數(shù)是x，支數(shù)是y，且x+3y＝0.5，求這個(gè)實(shí)數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)干數(shù)與支數(shù)的定義即可求解；（2）由題意可知，x為整數(shù)，0≤y＜1，則0≤3y＜3，分x＝0，﹣1，﹣2進(jìn)行討論即可求解．解：（1）實(shí)數(shù)10.8的干數(shù)m＝10，實(shí)數(shù)的支數(shù)n＝﹣﹣（﹣1）＝．（2）由題意可知，x為整數(shù)，∵0≤y＜1，∴0≤3y＜3，∴x＝0，﹣1，﹣2，①若x＝0，則3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝；②若x＝﹣1，則﹣1+3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝﹣；③若x＝﹣2，則﹣2+3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝﹣．故這個(gè)實(shí)數(shù)是或﹣或﹣．解題秘籍：考查了解二元一次方程，關(guān)鍵是理解干數(shù)和支數(shù)的定義，注意分類思想的應(yīng)用．11．（2019秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）【閱讀】將九個(gè)數(shù)分別填在行3列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行，每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于，則將這樣的圖稱為“和幻方”，下面的三個(gè)圖（圖都是滿足條件的“和幻方”【探究】（1）若圖2為“和幻方”，則，，．（2）若圖3為“和幻方”，請(qǐng)通過觀察上圖的三個(gè)幻方，試著用含，的代數(shù)式表示，并說明理由．（3）若圖4為“和幻方”，且為整數(shù)，試求出所有滿足條件的整數(shù)的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義，由第1行與第1列三數(shù)和相等，便可求得，由第2列與撇線對(duì)角線三數(shù)和相等求得，再用的代數(shù)式表示捺線對(duì)角線上的三數(shù)，將此三數(shù)的和等于列出方程，便可求得的值；（2）通過觀察上圖的三個(gè)幻方，發(fā)現(xiàn)：，，，由此便可得出，設(shè)右上角數(shù)為，用、表示出第2行第2個(gè)數(shù)，第2行第2個(gè)數(shù)，第3行第3個(gè)數(shù)，最后根據(jù)第3列三個(gè)數(shù)和為，列出等式便可通過恒等變形證明結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的思路可得，然后為整數(shù)，求得整數(shù)便可．解：（1）由題意知第1行第1列位置上的數(shù)為，由第1列三數(shù)和得為，得，，由撇形對(duì)角線三數(shù)和為，得第2行第2列上的數(shù)為：，，第3行第3列上的數(shù)為：，由捺形對(duì)角線三數(shù)和為，得，．故答案為：；9；3．（2）由上圖的三個(gè)幻方，發(fā)現(xiàn)：，，，，理由如下：設(shè)右上角數(shù)為，則第1行第2個(gè)數(shù)為，第2行第2個(gè)數(shù)為，由捺形對(duì)角線上三數(shù)和得，第3行第3個(gè)數(shù)為，根據(jù)第3列三個(gè)數(shù)和為，得，．（3）根據(jù)（2）的思路可得，整理得，，，、都為整數(shù)，或或1或2，或或0或1．解題秘籍：本題是一個(gè)新定義題，主要考查數(shù)的特點(diǎn)，一元一次方程的應(yīng)用，方程的解的應(yīng)用，抓住每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等，數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．專題提提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?丹江口市期中）對(duì)于、定義一種新運(yùn)算“※”：※，其中、為常數(shù)，等式右邊是通常的乘法和減法的運(yùn)算．已知：2※，1※，求5※3的值．思路引領(lǐng)：已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)得到方程組，求出方程組的解得到與的值，代入原式并利用新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．解：由※，2※，1※可得，，解得：，※，則5※．解題秘籍：此題考查了解二元一次方程組，以及新定義，解方程組利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．2．（2021?唐山一模）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義關(guān)于“※”的一種運(yùn)算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)新定義直接代入即可；（2）由已知可得方程組，解出方程組即可．解：（1）4※；（2）※，※，②，得③，解得，將代入①得，，．解題秘籍：本題考查二元一次方程組的解，理解定義，掌握代入消元法和代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?廣饒縣期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)新運(yùn)算得出算式，再求出即可；（2）先根據(jù)新運(yùn)算得出方程組，求出方程組的解，再求出答案即可．解：（1）；（2），且，，解得：，．解題秘籍：本題考查了解二次一次方程組，能根據(jù)新運(yùn)算得出算式和方程組是解此題的關(guān)鍵．4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題：對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和等于百位上數(shù)字的兩倍．則稱這個(gè)三位數(shù)為“均衡數(shù)”．（1）請(qǐng)直接寫出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）如果一個(gè)三位數(shù)，，，，為自然數(shù)），規(guī)定為這個(gè)三位數(shù)的“勻稱值”，求出“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個(gè)數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)給出的定義，列出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，可以找出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）根據(jù)“均衡數(shù)”的定義，列出這個(gè)三位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的方程組，一一列出符合題意的數(shù)字即可．解：（1）設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，且，，，，為自然數(shù)），根據(jù)“均衡數(shù)”的定義可得，，又200以內(nèi)的“均衡數(shù)”的百位只能是1，即，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：102，111，120．（2）由題意可知，，，，為自然數(shù)）是“均衡數(shù)”，，①又，②將①代入②中，可以得到，令，則，且為整數(shù)；，且為整數(shù)；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，（舍；時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，（舍；時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，且，則時(shí)，，（舍；時(shí)，，（舍；符合條件的三位數(shù)有：102，204，306，408，471，573，675，777，879；“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個(gè)數(shù)是9個(gè)．解題秘籍：此題為新定義題型，根據(jù)題干中所