第12講 二次函數(shù)圖像與性質(zhì) 4考點(diǎn)+16題型 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（廣東專用）

第三章函數(shù)第12講二次函數(shù)圖像與性質(zhì)（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念?題型01判斷二次函數(shù)?題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值命題點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)?題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)?題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式?題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)?題型04二次函數(shù)的對(duì)稱性?題型05根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值?題型06二次函數(shù)的平移變換問(wèn)題命題點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系?題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)?題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)?題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合命題點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式?題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)?題型02拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題?題型03根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況?題型04圖象法解一元二次不等式?題型05根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升0考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測(cè)二次函數(shù)的相關(guān)概念通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義.10年6考二次函數(shù)作為初中三大函數(shù)中考點(diǎn)最多，出題最多，難度最大的函數(shù)，一直都是各地中考數(shù)學(xué)中最重要的考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，總分值為15-20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會(huì)考.而對(duì)于二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察，也主要集中在二次函數(shù)的圖象、圖象與系數(shù)的關(guān)系、與方程及不等式的關(guān)系、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等幾大方面.題型變化較多，考生復(fù)習(xí)時(shí)需要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，熟悉相關(guān)題型，認(rèn)真對(duì)待該考點(diǎn)的復(fù)習(xí).二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)能畫二次函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系.會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，能解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.近10年連續(xù)考查二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系理解二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系.10年8考二次函數(shù)與方程、不等式知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.10年考考點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：1）函數(shù)關(guān)系式是整式；2）自變量的最高次數(shù)是2；3）二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而QUOTEb，c可以為零.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系；2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個(gè)等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式.二次函數(shù)的常見表達(dá)式：名稱解析式前提條件一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)已知拋物線上的無(wú)規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),常用一般式求其表達(dá)式.頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(或者是對(duì)稱軸)時(shí)，常用頂點(diǎn)式求其表達(dá)式.交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若題目已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用交點(diǎn)式求其表達(dá)式.相互聯(lián)系1）以上三種表達(dá)式是二次函數(shù)的常見表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.2)一般式化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式，主要運(yùn)用配方法、因式分解等方法.求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標(biāo)點(diǎn)（h,k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0)時(shí)，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.考點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=hx=頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(，)最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或）.增

減

性a>0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小.二、二次函數(shù)的圖象變換1）二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號(hào)，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號(hào)三、二次函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題拋物線的對(duì)稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求其對(duì)稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對(duì)稱軸可表示為直線x=.解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=的差的絕對(duì)值相等；2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=對(duì)稱；3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對(duì)稱.四、二次函數(shù)的最值問(wèn)題自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實(shí)數(shù)a>0當(dāng)x=時(shí)，二次函數(shù)取得最小值a<0當(dāng)x=時(shí)，二次函數(shù)取得最大值x1≤x≤x2a>0當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=時(shí)，二次函數(shù)取得最小值當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y1當(dāng)x=時(shí)，二次函數(shù)取得最小值當(dāng)x=x2時(shí)，二次函數(shù)取得最大值y2當(dāng)x=x1時(shí)，二次函數(shù)取得最小值y1備注：自變量的取值為x1≤x≤x2時(shí)，且二次項(xiàng)系數(shù)a<0的最值情況請(qǐng)自行推導(dǎo).考點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系一、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關(guān)系符號(hào)圖象特征備注aa>0開口向上a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a(chǎn)<0開口向下bb=0坐標(biāo)軸是y軸ab>0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)左同右異ab<0((a，b異號(hào)))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交二、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結(jié)論自變量x的值函數(shù)值圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置結(jié)論-24a-2b+cx軸的上方4a-2b+c>0x軸上4a-2b+c=0x軸的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx軸的上方a-b+c>0x軸上a-b+c=0x軸的下方a-b+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<0考點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的根判別式Δ=b2-4ac2個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>01個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=00個(gè)交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無(wú)解無(wú)解命題點(diǎn)一二次函數(shù)的相關(guān)概念?題型01判斷二次函數(shù)1．（2025·上海嘉定·一模）下列關(guān)于的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的識(shí)別，根據(jù)形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、，是二次函數(shù)，符合題意；D、，不是二次函數(shù)，不符合題意；故選C．2．（2025·上海普陀·一模）下列函數(shù)中，y關(guān)于x的二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．形如：，則是的二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：不是的二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；不是的二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；，即是的二次函數(shù)，故C正確；，當(dāng)時(shí)，不是的二次函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C．3．（2025·上海金山·一模）下列函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（

）A．（其中是常數(shù)） B．（其中、、是常數(shù)）C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的判斷，根據(jù)形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、，是二次函數(shù)，符合題意；D、，不含二次項(xiàng)，不是二次函數(shù)，不符合題意．故選C．4．（2024·上海寶山·三模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的概念和解析式的形式，知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單，比較容易掌握．整理后根據(jù)二次函數(shù)的定義和條件判斷即可．【詳解】A.是反比例函數(shù)，不符合題意；

B.，是一次函數(shù)，不符合題意；C.，右邊不是整式，不是二次函數(shù)，不符合題意；D.是二次函數(shù)，符合題意故選：D．?題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值5．（2024·山東菏澤·一模）若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】此題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，這是容易出錯(cuò)的地方．由題意二次函數(shù)的解析式為：知，則，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，把代入二次函數(shù)，解出的值．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為：，∴，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，或，∵，．故選：B．6．（2023·廣東云浮·一模）關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵是二次函數(shù)，∴，解得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的條件，二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)不為0．7．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)，則a的值為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)定義得出，然后將點(diǎn)代入解析式，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：，故選：C．8．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）若是二次函數(shù)，則的值等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，形如的函數(shù)為二次函數(shù)．【詳解】解：是二次函數(shù)，則且由可得或，由可得，，綜上故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．命題點(diǎn)二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)?題型01根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)9．（2025·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)都在拋物線上，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【分析】解：∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為軸，∴時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在拋物線上，且，∴故選：A．10．（2024·云南怒江·一模）已知點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求出、、的值，比較即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，∴，，，∵，∴，故選：A．11．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在拋物線上，那么、和的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，因?yàn)閽佄锞€，則函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸是，越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，即可作答．【詳解】解：∵拋物線，∴函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸是，越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∵、和都在拋物線上，且，∴，故選：A．12．（2024·云南曲靖·一模）設(shè)，，是拋物線圖象上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴關(guān)于稱軸是直線的對(duì)稱點(diǎn)是，∵，∴，故選：A．?題型02將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式13．（2022·廣東湛江·一模）將二次函數(shù)化為的形式，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即得答案．【詳解】解：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，需注意的是：第一，提取二次項(xiàng)系數(shù)而不是兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，第二，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，括號(hào)內(nèi)需注意符號(hào)的變化．14．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，利用配方法將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，熟練掌握將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：B．15．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）用配方法將二次函數(shù)化成的形式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了運(yùn)用配方法將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)題意，將化為頂點(diǎn)式進(jìn)行比較即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，，故選：A．16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)稱軸在軸的右側(cè)B．與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．是由拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)，，∴該函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸是直線，∴對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，故選項(xiàng)A說(shuō)法正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不符合題意；∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不符合題意；拋物線向左平移2個(gè)單位，得，再向下平移1個(gè)單位得到，與原函數(shù)解析式不同，故選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．?題型03二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)17．（2025·上海松江·一模）已知是拋物線上兩點(diǎn)，那么與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)判定函數(shù)值的大小，掌握二次函數(shù)圖象開口，對(duì)稱軸，增減性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)解析式確定圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為，離對(duì)稱軸直線越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，再確定兩點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離，由此即可求解．【詳解】解：拋物線中，，∴二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸直線為，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴離對(duì)稱軸直線越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴，故選：C．18．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．二次函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．和3是方程的兩個(gè)根C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大D．二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是【答案】C【分析】本題主要查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，開口向上，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；觀察圖象得：二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，∴和3是方程的兩個(gè)根，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；觀察圖象得：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴，解得，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．19．（2024·浙江寧波·二模）已知拋物線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開口向上 B．與軸的交點(diǎn)C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性，進(jìn)而求解．【詳解】A．

二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，因此拋物線開口向下，不符題意；B．與軸的交點(diǎn)為，不符題意；C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為，不符題意．D．在左邊，又因?yàn)殚_口向下，所以時(shí)，隨的增大而增大，符合題意．故選D20．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線解析式得出對(duì)稱軸為直線，分，兩種情況討論，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，得出a的范圍即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，此時(shí)拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，當(dāng)時(shí)，，故拋物線與軸交于，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，對(duì)于任意的取值均成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)拋物線開口向下，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，由于拋物線經(jīng)過(guò)，故必經(jīng)過(guò)，要滿足當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，綜上所述，或，故選：A．?題型04二次函數(shù)的對(duì)稱性21．（2023·廣東惠州·二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則該拋物線的對(duì)稱軸為（

）A．y軸 B．直線 C．直線 D．直線【答案】B【分析】根據(jù)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求解函數(shù)的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川自貢·中考真題）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的拋物線（為自變量）與軸有交點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得對(duì)稱軸，進(jìn)而得出，求得拋物線解析式，根據(jù)拋物線與軸有交點(diǎn)得出，進(jìn)而得出，則，求得的橫坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線∵拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)∴，即，∴，∵拋物線與軸有交點(diǎn)，∴，即，即，即，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，與軸交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·廣東深圳·二模）已知點(diǎn)，在的圖象上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)B．若，且，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及增減性依次對(duì)4個(gè)結(jié)論作出判斷即可．【詳解】解：由，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；A.當(dāng)時(shí)，，所以，二次函數(shù)與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)法正確，故選項(xiàng)A不符合題意；B.當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為，即；當(dāng)時(shí)，圖象在和之間，所以，，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不符合題意；C.若，則，當(dāng)時(shí)，則兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，所以，，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不符合題意；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，最高點(diǎn)為，所以，，故選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的系數(shù)的關(guān)系，需要利用數(shù)形結(jié)合思想解決本題．24．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖．拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．下列說(shuō)法：①；②拋物線的對(duì)稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤（m為任意實(shí)數(shù)）其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可得，根據(jù)和點(diǎn)可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，即可判斷②；推出，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷③④；根據(jù)當(dāng)時(shí)，拋物線有最大值，即可得到，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，故②正確；∴，∴，∴，故①錯(cuò)誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)圖象在x軸上方，∴當(dāng)時(shí)，，故③正確；∵拋物線對(duì)稱軸為直線且開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸為直線且開口向下，∴當(dāng)時(shí)，拋物線有最大值，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有②③⑤，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線的性質(zhì)等等，熟練掌握拋物線的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．?題型05根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值25．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，二次函數(shù)的最值，先將代入一元二次方程，可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的最值，求出結(jié)果即可．【詳解】解：將代入一元二次方程，得：，∴，則，設(shè)，則：，變形，得：．∴當(dāng)時(shí)，可以取得最小值，∴的最小值為．故選：D．26．（2024·廣東深圳·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出的值是解題關(guān)鍵．依據(jù)題意，將代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出的值，再利用對(duì)稱軸在軸右側(cè)，得出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，．二次函數(shù)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，∴．∴．．∵，拋物線開口向上，二次函數(shù)有最小值為：．故選：B．27．（2023·廣東茂名·二模）已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由二次函數(shù)的解析式可得出拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)為，可畫出大致圖象，由函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，結(jié)合圖象即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，與軸的交點(diǎn)為，其大致圖象如圖所示：，由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，或，∵二次函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，，故選：C．28．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②二次函數(shù)的最大值為；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，；⑥；其中正確的結(jié)論有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，與軸相交在正半軸，可判定①；由頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷②；由即可判斷③；由拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可判斷④；有拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可判斷⑤；由對(duì)稱軸方程得到，由時(shí)，時(shí)函數(shù)值為即可判斷⑥．【詳解】解：∵二次函數(shù)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交在正半軸，∴，，．∴故①不正確；∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且開口向下，二次函數(shù)的最大值為，故②正確；∵拋物線過(guò)，∴時(shí)，，即，故③不正確；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故④不正確；∵對(duì)稱軸為直線，，∴，由圖象可知，時(shí)，，故⑤正確；∵，即，而時(shí)，，即，∴，∴．故⑥正確．故選：A．?題型06二次函數(shù)的平移變換問(wèn)題29．（2024·廣東河源·一模）將拋物線向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的表達(dá)式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式．本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴平移后的拋物線解析式為．故選：A．30．（2024·廣東河源·一模）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后所得到的拋物線為()A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移1個(gè)單位所得直線解析式為：；再向下平移3個(gè)單位為：，即．故選：D．31．（2024·廣東惠州·二模）將拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)則：上加下減，左加右減，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線的關(guān)系式是：．故選：D．32．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，一段拋物線，記為拋物線，它與軸交于點(diǎn)、；將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線，交軸于點(diǎn)；將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線，交軸于點(diǎn)；如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線”，若點(diǎn)在此“波浪線”上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，得到圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，則拋物線：，于是可推出點(diǎn)在哪段“波浪線”上，從而求得的值．本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．【詳解】解：，圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)；，拋物線：，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)；在拋物線，上，當(dāng)時(shí)，．故選：C．命題點(diǎn)三二次函數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系?題型01根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)33．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且．給出下列4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若m為任意實(shí)數(shù)，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由圖象可知，則可判斷①符合題意；由拋物線的對(duì)稱軸為直線，，可得，，得到點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，可判斷②符合題意；由拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，得到，進(jìn)一步得到，可得，即可判斷③符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，由，可得，則可判斷④不符合題意，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：觀察圖象，可知，∴，故①符合題意；∵該拋物線的對(duì)稱軸為直線，，∴，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，即，故②符合題意；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，由，可得，若m為任意實(shí)數(shù)，則，故④不符合題意，綜上，符合題意的有3個(gè)，故選：C．34．（2024·廣東東莞·三模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的有：①；②；③；④；⑤．（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)開口向下，與y軸交于坐標(biāo)軸得到，再根據(jù)對(duì)稱軸的位置得到，則，據(jù)此可判斷①③；根據(jù)二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)即可判斷③；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，得到，據(jù)此可判斷④；根據(jù)當(dāng)時(shí)，可判斷⑤．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵對(duì)稱軸在直線和y軸之間，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∴，故①正確；∵二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，∴，故②錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴，∴，∴，故④正確；∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故⑤正確；∴正確的有3個(gè)，故選：B．35．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，與x軸左側(cè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③；④（m為實(shí)數(shù)）．其中結(jié)論正確的為（）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，以及與軸交點(diǎn)位置，可判斷①結(jié)論；由拋物線對(duì)稱軸得到，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可判斷②結(jié)論；根據(jù)平方差公式展開，可判斷③結(jié)論；根據(jù)拋物線的最小值，可判斷④結(jié)論．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，，、異號(hào)，，，，①結(jié)論正確；拋物線對(duì)稱軸是直線，，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，又，，③結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為最小值，，，④結(jié)論正確，故選：A．36．（2024·廣東佛山·三模）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；③關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與軸的交點(diǎn)等，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口向下即可判斷①，找出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，方程的解可看作拋物線向上平移一個(gè)單位與軸的交點(diǎn)，找出交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷③，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，可判斷④．【詳解】解：拋物線開口向下，，故①正確，對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸的右側(cè)隨的增大而減小，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，又，，故②正確，方程的解可看作拋物線向上平移一個(gè)單位，由圖象可知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，的取值范圍為，故④正確．故正確的有①②④；故選：C．?題型02二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)37．（2024·廣東東莞·一模）如圖，是二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象信息分析下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出，，的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性和增減性對(duì)所給結(jié)論依次判斷即可．【詳解】解：由所給函數(shù)圖象可知，，，所以．故①正確．因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，所以，則．故②正確．因?yàn)閽佄锞€與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，則．故③正確．因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)值小于零，且拋物線的對(duì)稱軸為直線，所以時(shí)，函數(shù)值小于零，則，又因?yàn)?，所以．故④正確．故選：D．38．（2024·廣東廣州·二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象開口方向、對(duì)稱軸、與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)坐標(biāo)分析即可得到答案.【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵對(duì)稱軸為直線，∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，故選：D39．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線（，a，b，c是常數(shù)）開口向上，過(guò)，兩點(diǎn)（其中），下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有；④關(guān)于x的一元二次方程（）必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的是（

）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④【答案】D【分析】利用拋物線的對(duì)稱性求得對(duì)稱軸為直線，從而可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象即可判斷；把拋物線表達(dá)式轉(zhuǎn)化成，求得、，可得，即可判斷；利用作差法可得，即可判斷；根據(jù)二次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵對(duì)稱軸為，∴，∵拋物線開口向上，∴，∴，故①正確；若，則，∴拋物線與x軸交于點(diǎn)、，∴，解得，故②錯(cuò)誤；∵，∵，，∴，即，故③正確；∵拋物線開口向上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程（）必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x的交點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．（2024·廣東廣州·二模）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為直線，交y軸于點(diǎn)，有如下結(jié)論：①；②；③，都在該函數(shù)的圖像上，則；④關(guān)于x的不等式的解集為或．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子正負(fù)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)圖象得出，即可判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸推出，再根據(jù)圖象得出當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于0，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和開口方向得出離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出拋物線經(jīng)過(guò)，即可判斷④．【詳解】解：由圖可知，該拋物線開口向上，對(duì)稱軸在y左側(cè)，與y軸相交于負(fù)半軸，∴，∴，故①正確，符合題意；∵其對(duì)稱軸為直線∴，則，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于0，∴，故②正確，符合題意；∵拋物線開口向上，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵點(diǎn)A到對(duì)稱軸距離為，點(diǎn)B到對(duì)稱軸距離為，，∴；故③不正確，不符合題意；∵對(duì)稱軸為直線，交y軸于點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過(guò)，∴當(dāng)或時(shí)，，即當(dāng)或時(shí)，，故④正確，符合題意；綜上：正確的有①②④，共3個(gè)，故選：C．?題型03二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合41．（2023·廣東云浮·三模）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合，分別判斷出每個(gè)選項(xiàng)中二次函數(shù)中a的符號(hào)，一次函數(shù)中a的符號(hào)，看是否一致即可得到答案．【詳解】解：A、由拋物線可知，圖象與y軸交在負(fù)半軸，則，由直線可知，圖象過(guò)二、三、四象限，則，即，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由拋物線可知，圖象與y軸交在正半軸，則，由直線可知，圖象過(guò)一、二、三象限，則，即，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，圖象與y軸交在負(fù)半軸，則，由直線可知，圖象過(guò)一、二，四象限則，即，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由拋物線可知，圖象與y軸交在負(fù)半軸，由直線可知，圖象過(guò)一、二，四象限，則，即，故此選項(xiàng)正確；故選：D．42．（2023·廣東河源·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】考查了拋物線和直線的圖象，用假設(shè)法來(lái)搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法，可先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線，可知圖象開口向下，交軸的正半軸，可知，，由直線可知，圖象過(guò)二，三，四象限，，故此選項(xiàng)不符合題意；B、由拋物線，可知圖象開口向下，交軸的負(fù)半軸，可知，，由直線可知，圖象過(guò)一，二，三象限，，，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由拋物線，可知圖象開口向上，交軸的負(fù)半軸，可知，，由直線可知，圖象過(guò)一，二，四象限，，，故此選項(xiàng)符合題意；D、由拋物線，可知圖象開口向上，交軸的正半軸，可知，，由直線可知，圖象過(guò)一，三，四象限，，，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．43．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的圖象分別求出對(duì)應(yīng)的，的范圍，再相比較看是否一致即可．【詳解】A、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由拋物線可知，，，由直線可知，，，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．44．（2023·廣西南寧·三模）已知反比例函數(shù)y＝的圖象如圖，則二次函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的綜合應(yīng)用，本題可先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)，再與二次函數(shù)的圖象的開口方向和對(duì)稱軸的位置相比較看是否一致，最終得到答案．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，∴，由圖知當(dāng)時(shí)，，∴，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，，∴對(duì)稱軸在與0之間，故選：D．命題點(diǎn)四二次函數(shù)與方程、不等式?題型01求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)45．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和D．y的最小值為【答案】D【分析】把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，在y軸的左側(cè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，或，即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，故選項(xiàng)D正確．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．46．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的部分圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，由拋物線的對(duì)稱性可求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)拋物線的增減性可求當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．【詳解】∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或．故選：D．47．（2022·山東泰安·中考真題）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：x-2-101y0466下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 D．函數(shù)的最大值為【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意得，解得，∴拋物線解析式為，∴拋物線開口向下，拋物線對(duì)稱軸為直線，該函數(shù)的最大值為，故A、B、D說(shuō)法正確，不符合題意；令，則，解得或，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．48．（2022·廣東河源·二模）已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，另一個(gè)交點(diǎn)是B，則AB的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】將代入拋物線中求出a的值，然后令求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出AB的值．【詳解】拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，，即，拋物線為：，令，求出，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)之間的距離，正確理解y=0時(shí)，一元二次方程的解與函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．?題型02拋物線與x軸交點(diǎn)問(wèn)題49．（2023·廣東深圳·三模）若函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．且 B．C．且 D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，分與兩種情況，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程中，由此可解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為，與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程中，即，∴，∴且，綜上，函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是．故選D．50．（2024·廣東·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)到x軸的距離為6，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4a，則該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，于是有，再確定物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，再代入解析式求解即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，將代入中，得，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)到x軸的距離為6，∴，即，∴．又∵拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4a，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將點(diǎn)代入中，得，整理得，解得，∴，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．51．（2024·廣東汕頭·二模）若函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)，分兩組情況討論，當(dāng)時(shí)，兩條直線不平行，有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線和直線有交點(diǎn)，聯(lián)立函數(shù)得方程有實(shí)數(shù)解．即，求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即，，與直線不平行，故有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，即時(shí)，，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．52．（2024·廣東汕頭·一模）拋物線的部分圖象如圖所示，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若點(diǎn)在拋物線上，則，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，得到，再由對(duì)稱軸計(jì)算公式得到，據(jù)此可判斷①②；根據(jù)函數(shù)圖象可得拋物線與直線有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，據(jù)此可判斷③；點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，即，∴，故①②正確；∵拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3，∴拋物線與直線有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵點(diǎn)在拋物線上，對(duì)稱軸是直線∴關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，故④正確；故選：D．?題型03根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況53．（2024·廣東梅州·一模）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表，下列說(shuō)法正確的有（

）．x…01…y…33…①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。虎趻佄锞€的對(duì)稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，；

④方程的一個(gè)正數(shù)解滿足．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征，理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)表格信息，先確定出拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①由表格看出，這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸為直線且當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故①的說(shuō)法正確；②由表格看出，這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸為直線，故②的說(shuō)法正確；③當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相同為，即，故③的說(shuō)法錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故方程的正數(shù)解滿足，故④的說(shuō)法正確．故選：D．54．（2024·廣東廣州·一模）已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，，），經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸是直線．則下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減??；④.其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)解析式中的系數(shù)與圖象的有關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用對(duì)稱軸判定④，根據(jù)，結(jié)合拋物線的解析式判定①，根據(jù)，結(jié)合對(duì)稱軸判定③，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判定②．【詳解】∵對(duì)稱軸是直線，∴，整理，得，④正確；即：，把點(diǎn)代入解析式，得，即，∴，∵，∴，解得：，，∴，①正確；∵，∴拋物線的開中向下，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，③錯(cuò)誤；∵，∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②錯(cuò)誤；綜合分析可得，正確的有：①④，故選：B.?題型04圖象法解一元二次不等式55．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③方程的兩個(gè)根是，；④方程有一個(gè)實(shí)根大于；⑤當(dāng)時(shí)，隨增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對(duì)稱軸、以及與軸交點(diǎn)為，，分別判斷出的符號(hào)，即可判斷①；由對(duì)稱軸為直線得，當(dāng)時(shí)，，即可判斷②；當(dāng)時(shí)，，即過(guò)，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，由對(duì)稱性可得，拋物線過(guò)，，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及已知條件結(jié)合對(duì)稱軸可得，即可判斷④，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口向下，，對(duì)稱軸為直線，、異號(hào)，，與軸交點(diǎn)為，，，，故結(jié)論①是正確的；由對(duì)稱軸為直線得，當(dāng)時(shí)，，，即，又，，故結(jié)論②不正確；當(dāng)時(shí)，，即過(guò)，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，由對(duì)稱性可得，拋物線過(guò)，，方程的有兩個(gè)根是；故③正確；拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)，且，由對(duì)稱軸為直線，另一個(gè)交點(diǎn)，，因此④是正確的；根據(jù)圖象可得當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，因此⑤是正確的；正確的結(jié)論有個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．56．（2023·廣東深圳·二模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其與x軸交于點(diǎn)A（）、點(diǎn)B，下列4個(gè)結(jié)論：①；②；③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：④．其中正確的是（）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口向下、對(duì)稱軸、時(shí)，，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)確定待定參數(shù)取值范圍．【詳解】由圖知拋物線開口向下，故，對(duì)稱軸∴∴，故①正確；點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)∴∴，故②錯(cuò)誤；由得由圖知，拋物線與直線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故③正確；時(shí)，∴∴∴，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線圖象性質(zhì)，對(duì)稱軸，方程組解與圖象的關(guān)系；觀察圖形，靈活運(yùn)用關(guān)鍵點(diǎn)及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．57．（2022·廣東汕頭·一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②關(guān)于的不等式的解集為；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①由函數(shù)圖象可得：對(duì)稱軸為直線，∴b=-2a，∴b+2a=0，①正確；②由圖象及對(duì)稱軸可得，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0），∴的解集為：，②錯(cuò)誤；③當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c，由②可得當(dāng)時(shí)，y<0，∴4a+2b+c<0，③正確；④當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c=0，∵b=-2a，∴c=-3a，∴8a+c=8a-3a=5a，∵開口向上，∴a>0，∴8a+c>0，④錯(cuò)誤；綜上可得：①③正確，故選B．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．58．（2019·廣東廣州·二模）如圖是拋物線圖象的一部分．當(dāng)時(shí)，自變量x的范圍是(

)A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式組，能利用函數(shù)圖象求出不等式組的解是解答此題的關(guān)鍵．?題型05根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集59．（2024·湖北武漢·一模）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線，當(dāng)時(shí)，下列判斷正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：由題意可知：拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線與直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴拋物線開口向上，直線經(jīng)過(guò)一、二、四象限，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圖像位于軸的左側(cè)，可知；故C正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，圖像位于軸的左側(cè)，可知或；故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．60．（2024·四川成都·三模）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的應(yīng)用；能夠根據(jù)二次函數(shù)圖象特點(diǎn)求出函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．由圖象判斷，，對(duì)稱軸是，再判斷出，與x軸一個(gè)交點(diǎn)是，則另一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：由圖象得：，，對(duì)稱軸是，∴，∴，故A正確，不符合題意；∵對(duì)稱軸是，函數(shù)圖象與x軸一個(gè)交點(diǎn)是，∴另一個(gè)交點(diǎn)，∴不等式的解集是，故B錯(cuò)誤，符合題意；∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，故C正確，不符合題意；∵函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和，∴方程的解是，，故D正確，不符合題意；故選：B．61．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線交軸于，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線的對(duì)稱軸是直線B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C．一元二次方程的兩個(gè)根分別是1和3D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中有效的獲取信息，利用對(duì)稱性，增減性和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線交軸于，，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，故A選項(xiàng)正確；一元二次方程的兩個(gè)根分別是1和3，故C選項(xiàng)正確；由圖象可知：當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，或，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．62．（2025·上海崇明·一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象與軸交點(diǎn)在軸正半軸，可得，故①正確；根據(jù)圖象可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由于對(duì)稱軸為，即可判斷②正確；當(dāng)時(shí)，，即可判斷③，當(dāng)時(shí)，圖象位于軸上方，即當(dāng)，所對(duì)應(yīng)的，故④正確．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)在軸正半軸，即，故①正確，符合題意；②根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，即，故②正確，符合題意；③由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，圖象位于軸上方，即當(dāng)，所對(duì)應(yīng)的，故④正確，符合題意；綜上所述，①②④結(jié)論正確，符合題意．故選：B．?題型05根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集63．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，若直線的解析式為，則的解集為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)參數(shù)，熟練掌握函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先由二次函數(shù)可求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可得到，然后由變形為，觀察圖象即可得到答案．【詳解】解：與軸交于點(diǎn)，即時(shí)，，又點(diǎn)在直線：上，將代入，得直線的解析式為觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的上面，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的下面，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的上面，，即觀察圖象可知，該不等式的解集為：或．故選：D．64．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可解決問(wèn)題．本題考查二次函數(shù)與不等式（組，巧用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象的下方，即，∴不等式的解集為：．故選：B．65．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的一元三次方程的解為，，，請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合的思想方法，判斷關(guān)于的不等式的解集（

）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】A【分析】本題考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，正確應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．令，根據(jù)題意畫出的圖象草圖，再據(jù)此求解即可．【詳解】令，一元三次方程的解為，，，的圖象與x軸的交點(diǎn)為，，．當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)不含，的圖象草圖如下：從圖象上可以看出時(shí)，即時(shí)，x的取值范圍是或．關(guān)于x的不等式的解集是或．故選：A．66．（2025·上海崇明·一模）如果拋物線的頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn)得到拋物線開口向下，則，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn)，∴拋物線開口向下，∴，∴，故選：D基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．開口向上 B．對(duì)稱軸為直線C．有最小值 D．與y軸交點(diǎn)為【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小為，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與y軸交點(diǎn)為；故只有選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選B．2．（2024·廣東廣州·二模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對(duì)稱性，關(guān)鍵是利用對(duì)稱軸公式解題；由拋物線的對(duì)稱性求得對(duì)稱軸為直線，即可得到，求得，即可求得，從而求得二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【詳解】解：和兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物線對(duì)稱軸為直線，，解得，，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：B．3．（2024·廣東東莞·一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合判斷．先根據(jù)二次函數(shù)圖象求出，，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與其系數(shù)的關(guān)系判斷出一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故選：C．4．（2024·廣東東莞·一模）把拋物線先向上平移1個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位后，所得拋物線的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律，掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵；根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律（左加右減，上加下減）進(jìn)行解答即可．【詳解】將拋物線先向上平移1個(gè)單位，則函數(shù)解析式變?yōu)?，將向左平?個(gè)單位，則函數(shù)解析式變，故選：A．5．（2024·廣東陽(yáng)江·二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．頂點(diǎn)為，把這條拋物線向上平移至頂點(diǎn)落在軸上，則兩條拋物線、對(duì)稱軸和軸圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查拋物線與軸交點(diǎn)、二次函數(shù)幾何變換等知識(shí)．依據(jù)題意，根據(jù)即可計(jì)算．【詳解】解：如圖連接、．與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移后頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴拋物線向上平移了1個(gè)單位．．故選：B．6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、比較二次函數(shù)值的大小，由函數(shù)解析式得出拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，根據(jù)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】解：，拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，，，故選：D．7．（2024·廣東中山·一模）如圖，一段拋物線記為，它與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，交軸于點(diǎn)，，如此下去，得到一條“波浪線”．若點(diǎn)在此“波浪線”上，則的值為（）A． B．8 C． D．7【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．從圖象看，可以把當(dāng)成一個(gè)周期，則余7，即可求解．【詳解】解：一段拋物線，圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，交軸于點(diǎn)，拋物線，從圖象看，可以把當(dāng)成一個(gè)周期，則余7，當(dāng)時(shí)，，即，故選：D．二、填空題8．（2024·廣東江門·二模）若一個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的二次函數(shù)表達(dá)式：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為2，設(shè)拋物線解析式為，結(jié)合拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到，選擇，得到解析式為．本題考查了待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活選擇數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】∵二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為2，設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴解析式為．故答案為：．9．（2024·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)，在拋物線上，則．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)，且，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：，對(duì)稱軸為y軸，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)值隨自變量的增大而增大；∵，，故答案為：．10．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖形向右平移3個(gè)單位向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：函數(shù)的圖形向右平移3個(gè)單位向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為，故答案為：．11．（2024·廣東東莞·三模）若點(diǎn)在拋物線上，則的大小關(guān)系為（用“”連接）．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)比較函數(shù)值大小，涉及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)得到拋物線上的點(diǎn)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其函數(shù)值越大，求出到對(duì)稱軸距離，比較距離大小即可得到函數(shù)值大小，熟練掌握二次函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：由可知，拋物線的開口向上，且對(duì)稱軸為直線，拋物線上的點(diǎn)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其函數(shù)值越大，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為；點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為；且，，故答案為：．能力提升一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了由二次函數(shù)的圖象判斷系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可【詳解】解：根據(jù)題意可得：拋物線與y軸交于正半軸，故，故A錯(cuò)誤；拋物線對(duì)稱軸在y