專題12.3全等三角形（章節(jié)復(fù)習(xí)考點講練）學(xué)生版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊同步專題熱點難點專項練習(xí)專題12.3全等三角形（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點講練）知識點01：全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等知識點02：全等三角形的證明思路知識點03：角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.知識點04：全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進行證明.(4)同角（等角）的余角（補角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典例分析】（2023春?明水縣期中）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周長為12cm，面積為6cm2，則△DEF的周長為12cm，面積為6cm2．【思路點撥】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【規(guī)范解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴△ABC與△DEF的面積相等，周長相等，∵△ABC的周長為12cm，面積為6cm2，∴△DEF的周長為12cm，面積為6cm2，故答案為12，6．【考點評析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，記住全等三角形的面積相等，周長相等是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練11】（2022秋?興城市期末）如圖，△ABC≌△DEC，∠A＝40°，∠B＝70°，∠ACE＝30°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式訓(xùn)練12】（2022秋?平橋區(qū)期末）如圖，N，C，A三點在同一直線上，N，B，M三點在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式訓(xùn)練13】（2023春?尉氏縣月考）如圖，在銳角三角形ABC中，F(xiàn)、G分別是AB、AC上的點，△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，且DF∥BC∥GE，BG、CF交于點H，若∠BAC＝40°，則∠BHC的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練14】（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設(shè)運動時間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝或時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．【變式訓(xùn)練15】（2022秋?句容市期末）如圖，已知△ABC≌△DEB，點E在AB上，DE與AC相交于點F．（1）當(dāng)DE＝8，BC＝5時，求線段AE的長；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC與∠AFD的度數(shù)．【典例分析】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E．AD與BE交于F，若BF＝AC，求證：△ADC≌△BDF．【思路點撥】求出∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可．【規(guī)范解答】證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE＝180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS）．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【變式訓(xùn)練21】（2023春?和平縣期末）如圖，已知AD是△ABC的中線，E、F分別是AD和AD延長線上的點，且BF∥CE，連接BF，CE，下列說法中：①BD＝CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC＝∠CDE；④CE＝AE．正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式訓(xùn)練22】（2023春?渭南期末）在學(xué)習(xí)完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，一同學(xué)總結(jié)出很多全等三角形的模型，他設(shè)計了以下問題給同桌解決：如圖，做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足夠長，PA⊥AB于A，QB⊥AB于點B，點M從B出發(fā)向A運動，同時點N從B出發(fā)向Q運動，使M，N運動的速度之比3：4，當(dāng)兩點運動到某一瞬間同時停止，此時在射線AP上取點C，使△ACM與△BMN全等，則線段AC的長為（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm【變式訓(xùn)練23】（2023春?余江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點C在直線l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿A→C→B的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿B→C→A的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應(yīng)的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F，則點P的運動時間等于2或或12秒時，△PEC與△CFQ全等．【變式訓(xùn)練24】（2023春?高州市期末）已知：如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝2，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)t的值為秒時，△ABP和△DCE全等．【變式訓(xùn)練25】（2023春?紫金縣期末）如圖，在△ABC中，點E，F(xiàn)在BC上，且BE＝CF．點D為平面內(nèi)一點，且滿足AC∥BD，AE∥DF．求證：△EAC≌△FDB．【典例分析】（2023春?臨渭區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F(xiàn)是AB延長線上一點，點A在BC上，且AE＝CF．求證：Rt△ABE≌Rt△CBF．【思路點撥】先判斷△ABC為等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△CBF．【規(guī)范解答】證明：∵CB⊥AB，∴∠ABC＝∠FBC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝CB，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．【考點評析】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．【變式訓(xùn)練31】（2022春?古田縣校級月考）下面說法錯誤的個數(shù)有（）（1）全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等．（2）有兩條邊對應(yīng)相等的等腰直角三角形全等．（3）一條斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．（4）兩邊及其一邊上的高也對應(yīng)相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練32】（2023春?張店區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，為了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的條件是（不添加字母和輔助線）．【變式訓(xùn)練33】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，若要用“斜邊直角邊（H．L．）”直接證明Rt△ABC≌Rt△DFE，則還需補充條件：．【變式訓(xùn)練34】（2022春?任城區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF＝BE+CF；（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE＝10，CF＝3，求：FE長．【典例分析】（2023春?云夢縣期中）如圖所示，等腰直角三角形ABC的斜邊BC＝2，頂點A在坐標(biāo)原點，B在y軸正半軸上，C在x軸正半軸上，現(xiàn)沿x軸正半軸將△ABC按順時針方向翻轉(zhuǎn)，則第10次翻轉(zhuǎn)后，頂點A的坐標(biāo)為．【思路點撥】根據(jù)題意找到循環(huán)次數(shù)，根據(jù)勾股定求出直角邊，即可得到答案．【規(guī)范解答】解：∵等腰直角三角形ABC的斜邊BC＝2，∴，由圖象可得：圖形3次一循環(huán)，∵10÷3＝3.....1，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查圖形規(guī)律，勾股定理，解題的關(guān)鍵是找到圖形的循環(huán)規(guī)律．【變式訓(xùn)練41】（2023春?開福區(qū)校級期末）如圖，點B的坐標(biāo)為（6，6），作BA⊥x軸，BC⊥y軸，垂足分別為A、C，點D為線段OA的中點，點P從點A出發(fā)，在線段AB、BC上沿A→B→C運動，當(dāng)OP＝CD時，點P的坐標(biāo)為（）A．（6，1） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，3）或（3，6）【變式訓(xùn)練42】（2023春?高碑店市校級月考）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于點M，關(guān)于結(jié)論Ⅰ，Ⅱ，下列判斷正確的是（）結(jié)論Ⅰ：AC＝BD；結(jié)論Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ對，Ⅱ錯 B．Ⅰ錯，Ⅱ?qū)?C．1，Ⅱ都對 D．Ⅰ，Ⅱ都錯【變式訓(xùn)練43】（2023春?萊州市期末）如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點（不與A，D重合），則AB﹣ACPB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．【變式訓(xùn)練44】（2022秋?商水縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為．【變式訓(xùn)練45】（2023?肥城市校級模擬）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【變式訓(xùn)練46】（2022秋?龍巖期末）閱讀下題及證明過程．已知：如圖，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求證：∠BAP＝∠CAP．證明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理的依據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步，并寫出你認(rèn)為正確的證明過程．【典型例題】（2023春?建平縣期末）王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離DE是（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【思路點撥】由題意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，則有∠BCE＝∠DAC，進而可證△ADC≌△CEB，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），故選：C．【考點評析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練51】（2022秋?靈寶市校級期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．樂樂在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝1.5m，點A到地面的距離AE＝1.5m，當(dāng)他從A處擺動到A'處時，若A'B⊥AB，A'到BD的距離是．【變式訓(xùn)練52】（2023?信陽二模）如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．設(shè)運動時間為t（s），則當(dāng)點Q的運動速度為cm/s時，△ACP與△BPQ有可能全等．【變式訓(xùn)練53】（2023春?六盤水期中）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在八年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．甲、乙兩個同學(xué)的方案是否可行？請說明理由．【變式訓(xùn)練54】（2023?懷化三模）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻ABCD和EFGH，點P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求證：△ABP≌△PEF；（2）求BE的長．【典型例題】（2022秋?龍巖期末）如圖，OC平分∠AOB，CP⊥OB于點P，CP＝3，點Q在OA上，OQ＝6，則△OCQ的面積為（）A． B．6 C．9 D．18【思路點撥】過點C作CD⊥OA于D，利用角平分線的性質(zhì)求得CD＝CP＝3，再根據(jù)三角形面積公式求解．【規(guī)范解答】解：過點C作CD⊥OA于D，如圖，∵CP⊥OB，CD⊥OA，OC平分∠AOB，∴CD＝CP＝3，∴，故選：C．【考點評析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形面積，作輔助線CD⊥OA于D是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練61】（2023春?南海區(qū)校級期中）如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，點E是射線OB上的動點，則PE的最小值為cm．【變式訓(xùn)練62】（2023春?巴州區(qū)期中）如圖，點O是直線EF上一點，射線OA，OB，OC在直線EF的上方，射線OD在直線EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度數(shù)；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度數(shù)．【變式訓(xùn)練63】（2023春?鄆城縣期中）如圖，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，連接AO并延長交BC于D，OH⊥BC于H，OH＝5cm，點O到AB的距離為cm．【變式訓(xùn)練64】（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45