專題08特殊平行四邊形的綜合問題(重點突圍)(原卷版+解析)

專題08特殊平行四邊形的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】 1【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 7【考向三特殊平行四邊形中定值問題】 13【考向四特殊平行四邊形最小值問題】 19【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】 25【考向六特殊平行四邊形中的動態(tài)問題】 33【直擊中考】【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．2．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長為8厘米，，點M為的中點，點N是邊上任一點，把沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當_________厘米時，是直角三角形．3．（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，點是邊上一點，以為對稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點的對應(yīng)點為點，折痕為且交于點．（1）______；（2）若點是的中點，則的長為______．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學(xué)校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·天津河北·九年級天津二中校考期末）在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點．以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當時，求點D的坐標；(2)如圖2，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，直接寫出點E的坐標．3．（2022秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【考向三特殊平行四邊形中定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期末）如圖，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______2．（2022春·四川成都·九年級成都市第二十中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作，延長線的垂線，垂足分別為點，若，，則的值為______．3．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．4．（2022春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝1，連接CF．(1)當點G在邊DC上運動時；探究：點F到邊DC的距離FM是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)當DG為何值時，△FCG的面積最小，并求出這個最小值．【考向四特殊平行四邊形最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·九年級新余四中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個動點，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，．點D為邊上一個動點，作、，垂足為E、F，連接．則長度的最小值為______．3．（2022秋·重慶大渡口·九年級校考期末）如圖，在矩形中，，，點在邊上，點在邊上，且，連接，則的最小值為______．4．（2022秋·陜西漢中·九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形中，，為邊上一點，．為對角線上一動點（不與點、重合），過點分別作于點、于點，連接、，則的最小值為______．5．（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，滿足∠EAF=60°，連接EF，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合．(1)求證：不論E，F(xiàn)在BC，CD上如何滑動，總有BE=CF；(2)當點E，F(xiàn)在BC，CD上滑動時，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值．【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級校考期中）四邊形的對角線，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；3．（2021春·上海長寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，、是四邊形的對角線，點E、F、G、H分別是線段、、、上的中點（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時，？證明你得到的結(jié)論．4．（2021秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．5．（2021春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．【考向六特殊平行四邊形中的動態(tài)問題】例題：（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點E是邊的中點．點M是邊上一動點（不與點A重合），連接并延長交的延長線于點N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當?shù)闹禐闀r，四邊形是菱形．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谀┤鐖D①，在矩形ABCD中，AB>AD，對角線AC，BD相交于點O，動點P由點A出發(fā)，沿A→B→C運動．設(shè)點P的運動路程為x，△AOP的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則AB邊的長為（

）A．6 B．6.4 C．7.2 D．82．（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D1，菱形ABCD中，，動點P以每秒1個單位的速度自點A出發(fā)沿線段AB運動到點B，同時動點Q以每秒2個單位的速度自點B出發(fā)沿折線運動到點D．圖2是點P、Q運動時，△BPQ的面積S隨時間t變化關(guān)系圖象，則a的值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．3．（2022秋·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是正方形內(nèi)一點，，，將繞點旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)．(1)直接寫出、的長度和的度數(shù)．(2)求的長．(3)試判斷的形狀并說明理由．4．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點P在邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在之間往返運動，兩個動點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設(shè)運動時間為t秒．(1)用含t的式子表示線段的長度：______cm，(2)當時，運動時間t為______秒時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形是矩形．(3)當時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請求出t；若沒有，請說明理由．專題08特殊平行四邊形的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】 1【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 7【考向三特殊平行四邊形中定值問題】 13【考向四特殊平行四邊形最小值問題】 19【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】 25【考向六特殊平行四邊形中的動態(tài)問題】 33【直擊中考】【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，，進而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進行計算即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，由折疊可得，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角的有關(guān)計算等知識，解題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對角相等，故推出，從而得出．又因為，故，，易得解．【詳解】解：根據(jù)菱形的對角相等得．，．根據(jù)折疊得．，，．．故選：A．【點睛】此題要熟練運用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系．在計算的過程中，綜合運用了等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)．注意：折疊的過程中，重合的邊和重合的角相等．2．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長為8厘米，，點M為的中點，點N是邊上任一點，把沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當_________厘米時，是直角三角形．【答案】或1【分析】根據(jù)菱形的周長為8厘米可得菱形的邊長為2厘米，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)題意分兩種情況進行討論：①當時，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，從而得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得AN的值；②當時，點E落在菱形對角線上，根據(jù)點M為的中點，為折痕，此時于點E，可得點N為的中點，從而得到AN的值．【詳解】解：∵菱形的周長為8厘米，∴AB=BC=CD=AD=2厘米，∵點M為的中點，∴厘米．由翻折可知，∴．①當時，，∴，，∴，∴，∴，∴，厘米；②當時，點E在以M為圓心，AM為半徑的圓上，也在以BC為直徑的圓上，根據(jù)菱形ABCD的特點，可知點E落在菱形對角線上，∵點M為的中點，為折痕，此時于點E，∴點N為的中點，厘米．當或1厘米時，是直角三角形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握各個知識點．3．（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，點是邊上一點，以為對稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點的對應(yīng)點為點，折痕為且交于點．（1）______；（2）若點是的中點，則的長為______．【答案】

##90度

【分析】（1）由翻折可得，則，根據(jù)，可得，即．（2）根據(jù)題意可得點G與點H重合，且點三點在同一條直線上．過點D作，交的延長線于點M．由，可得，則，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，進而可得出答案．【詳解】解：（1）由翻折可得，，，，，即．故答案為：．（2）四邊形為菱形，，，由翻折可得，，，，點是的中點，，，即點與點重合．，點，，三點在同一條直線上．過點作，交的延長線于點．，，，，，，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長為2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對應(yīng)角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)，表示出、，根據(jù)點是的中點求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點，，，，，，，即，；②解：設(shè)，則，，正方形邊長為6，為的中點，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，即線段的長為2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．【考向二特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)矩形可得，，再根據(jù)斜邊為公共邊，利用“”可證得結(jié)論；（2）由可知，由旋轉(zhuǎn)矩形可知，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，

∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解題關(guān)鍵是證明，利用矩形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，，∵矩形，，∴，，∴，∵將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·天津河北·九年級天津二中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，四邊形是矩形，點，點，點．以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當時，求點D的坐標；(2)如圖2，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，直接寫出點E的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，即可得出點的坐標為；（2）過點作軸于，，于，則則，，由勾股定理得出AE=10，由面積法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出點的坐標為；（3）連接，作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，由平行線的性質(zhì)的，證出，證明，得出，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點作軸于，如圖所示：∵點，點，∴，，∵以點為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴點的坐標為；（2）過點作軸于，，于，如圖所示：則，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴點的坐標為；（3）連接，作軸于，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴點的坐標為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題．3．（2022秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【答案】(1)，(2)（1）中的結(jié)論成立，證明見解析；(3)【分析】（1）由正方形性質(zhì)可以得到與相等且垂直；（2）由可證，可得，，由余角的性質(zhì)可證；（3）由（2）問結(jié)論連接，表示出三邊即可利用勾股定理列方程解題．【詳解】（1）∵四邊形和均為正方形，∴，∴，即，∴與的數(shù)量關(guān)系是相等；位置關(guān)系是垂直故答案為：相等；垂直（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：設(shè)交于O，于N，∵四邊形和均為正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3）連接，∵，∴，∴,，由（2）可得：，∴在中，，則，∴解方程得：，∴，即線段的長度為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．【考向三特殊平行四邊形中定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．【答案】##2.4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，，，可求出矩形的面積，的長，由此可知的面積，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與相交于點，連接，∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握矩形的性質(zhì)，三角形的等面積法求高是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校校考期末）如圖，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______【答案】【分析】首先利用菱形的性質(zhì)得出，，進而利用三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴，∴，∴，而，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對邊分別平行，四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，并且分別平分兩組內(nèi)角．也考查了三角形的面積公式．2．（2022春·四川成都·九年級成都市第二十中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知點是菱形的對角線延長線上一點，過點分別作，延長線的垂線，垂足分別為點，若，，則的值為______．【答案】【分析】設(shè)交于，根據(jù)已知可得，而，即可得到答案.【詳解】設(shè)交于，如圖：在菱形中，，，，，，，中，，，，中，，，中，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出，把轉(zhuǎn)化為．3．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是定值，【分析】（1）作出輔助線，得到，然后再判斷，得到，則有，即可判斷矩形為正方形；（2）由四邊形為正方形，四邊形是正方形可知，，故可得，得到，即可判斷，為定值．【詳解】（1）解：如圖所示，過作于點，過作于點，四邊形為正方形，，，，，，四邊形為矩形，，，即，是正方形對角線的點，，在和中，，，

，矩形為正方形．（2）的值為定值，矩形為正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出三角形全等．4．（2022春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH＝1，連接CF．(1)當點G在邊DC上運動時；探究：點F到邊DC的距離FM是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)當DG為何值時，△FCG的面積最小，并求出這個最小值．【答案】(1)點F到邊DC的距離是定值,定值為1(2)當時，△FCG的面積最小值為【分析】（1）連接GE，根據(jù)得到∠AEG＝∠MGE，得到∠HEG＝∠FGE之后證明△AHE≌△MFG即可得到結(jié)論；（2）由題易知，要使△FCG的面積有最小值則需CG最小，于是DG應(yīng)最大，在中，根據(jù)勾股定理可得的最大值，即的最大值，在中，根據(jù)勾股定理可求的最大值，進而求得最小值，進而得到答案．(1)解：點F到邊DC的距離是定值．理由：連接GE∵，∴∠AEG＝∠MGE∵，∴∠HEG＝∠FGE∴∠AEG－∠HEG＝∠MGE－∠FGE，即∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝1，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值1．(2)解：由題易知：，要使△FCG的面積有最小值，則需CG最小，所以DG應(yīng)最大，在Rt△DHG中，當HG最大時，DG最大，在中，，∴，∴，∵，∴，當時，，∴的最小值，即當時，△FCG的面積最小值為．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考向四特殊平行四邊形最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【答案】A【分析】連接交于P點，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長，求出的長即可.【詳解】連接，交于P點∵四邊形為正方形∴A點和C點關(guān)于對稱根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·九年級新余四中?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，，分別是直線，上的兩個動點，，沿翻折形成，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖作點關(guān)于的對稱點，連接，，由，推出，又是定值，即可推出當、、、共線時，定值最小，最小值．【詳解】解：如圖作點關(guān)于的對稱點，連接，．在中，，，．，，，是定值，當、、、共線時，定值最小，最小值，的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．2．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，中，，，．點D為邊上一個動點，作、，垂足為E、F，連接．則長度的最小值為______．【答案】【分析】解直角三角形求出和，證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，當時，有最小值，此時有最小值，根據(jù)三角形的面積公式求出長即可．【詳解】解：∵，，，∴，根據(jù)勾股定理可得，，即,解得：，（舍去），∴，連接，如圖所示：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，當時，最小，此時有最小值，∵，∴，∴長度的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，證明是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·重慶大渡口·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點在邊上，點在邊上，且，連接，則的最小值為______．【答案】【分析】先連接，將轉(zhuǎn)化為，再利用將軍飲馬解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，如圖，作點關(guān)于點的對稱點，連接，即為的最小值，∵，，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性較強，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西漢中·九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形中，，為邊上一點，．為對角線上一動點（不與點、重合），過點分別作于點、于點，連接、，則的最小值為______．【答案】13【分析】連接、，由四邊形為矩形，得，由正方形的對稱性得，即知，故當最小時，最小，此時、、共線，的最小值即為的長，由，，可得，從而的最小值為13．【詳解】解：連接、，如圖：，，，四邊形為矩形，，四邊形是正方形，由正方形的對稱性可得，，，當最小時，最小，此時、、共線，的最小值即為的長，如圖：，，，，的最小值為13，故答案為：13．【點睛】本題考查正方形中的動點問題，解題的關(guān)鍵是把求的最小值問題轉(zhuǎn)化成求的長．5．（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，滿足∠EAF=60°，連接EF，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合．(1)求證：不論E，F(xiàn)在BC，CD上如何滑動，總有BE=CF；(2)當點E，F(xiàn)在BC，CD上滑動時，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值．【答案】(1)見解析(2)四邊形AECF的面積不變，面積等于；△CEF的周長發(fā)生變化，最小值為；理由見解析【分析】（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BAC=∠DAC==60°，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠1=∠3，再求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，求出當AE最短時，△CEF的周長即可．（1）解：（1）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∴∠BAC=∠DAC==60°，AB=BC=AD=CD，∵∠EAF=60°，∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵AB=BC=AD=CD，∠BAC=∠DAC=60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4=∠B=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解∶四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長發(fā)生變化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF，AE=AF，故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H點，則BH=3，S四邊形AECF=S△ABC==，∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE，由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．故△AEF的周長會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，△CEF的周長會最小，最小值為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)；三角形全等的判定與性質(zhì)；垂線段的性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級校考期中）如圖，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形【答案】C【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)選項條件結(jié)合矩形、菱形的判定定理進行判斷即可．【詳解】解：，分別是，的中點，，，，分別是，的中點，，，，，四邊形是平行四邊形；，分別是，的中點，、分別是、中點，，，當四邊形是矩形時，，，四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；當四邊形是菱形時，，，，，四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；當四邊形滿足時，不能證明四邊形是菱形，故C錯誤，符合題意；當四邊形滿足，時，∵，，∴AC是BD的垂直平分線，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了中點四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蔚膶蔷€，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】點分別為邊的中點，是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，正確；若四邊形是平行四邊形，∴,∵分別為的中點，∴∴四邊形是平行四邊形，由（1）可得四邊形是平行四邊形，與互相平分，的中點就是的中點，則與交于點正確；若四邊形是矩形，則，，四邊形是菱形，不是矩形；不正確；四邊形中，若，則四邊形是正方形，若四邊形是正方形，則四邊形不一定是正方形，不正確；故選：A．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；【答案】（1）見解析；（2）當AB=CD時，EF⊥GH，理由見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對邊平行且相等，即可證得；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點，∴FG=CD，F(xiàn)G∥CD．HE=CD，HE∥CD．∴FG=EH，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：當AB=CD時，EF⊥GH，理由：由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，當AB=CD時，EH=CD，EG=AB，∴EG=EH，∴四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，平行四邊形和菱形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．3．（2021春·上海長寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，、是四邊形的對角線，點E、F、G、H分別是線段、、、上的中點（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時，？證明你得到的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）當AB=CD時，EG⊥FH，理由見解析【分析】（1）連接EF、GF、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，EF=AB，GH∥AB，GH=AB，證明四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)定理證明即可．【詳解】解：（1）證明：連接EF、GF、GH、HE，∵點E、F分別是線段AD、DB的中點，∴EF∥AB，EF=AB，∵點G、H分別是線段BC、AC的中點，∴GH∥AB，GH=AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴線段EG、FH互相平分；（2）解：當AB=CD時，EG⊥FH，理由如下：∵點G、F分別是線段BC、BD的中點，∴GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；(2)當四邊形的對角線滿足______條件時，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種．【答案】(1)平行四邊形．證明見解析(2)；(3)矩形的中點四邊形是菱形．【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，，，推出，，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)有一組是鄰邊的平行四邊形是菱形，可知當四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是菱形；（3）矩形的中點四邊形是菱形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)矩形對角線相等，然后根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形．【詳解】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連接．、分別是、中點，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形；（2）當四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點，，，，，，，又四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形；故答案為：；（3）矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．5．（2021春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形為__________形；②當對角線時，四邊形ABCD的中點四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析【分析】（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點四邊形是菱形；②當對角線AC⊥BD時，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長BA、CD相交于點M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對角線相等，中點四邊形EFGH是菱形．【點睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點四邊形的定義，掌握中點四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考向六特殊平行四邊形中的動態(tài)問題】例題：（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點E是邊的中點．點M是邊上一動點（不與點A重合），連接并延長交的延長線于點N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當?shù)闹禐闀r，四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后利用“”證明和全等，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明結(jié)論成立；（2）可證是等邊三角形，則即可證明；（3）由，得是等邊三角形，則即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是菱形，∴，∴，又∵點E是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴