易錯點02方程與不等式(原卷版+解析)2

易錯點02方程與不等式一元一次方程與二元一次方程（組）一元一次方程與二元一次方程（組）的應用一元二次方程及其應用分式方程及應用一元一次不等式與一元一次不等式組一次不等式（組）的應用易錯分析易錯分析01熟練掌握方程與不等式的相關性質及解法步驟，理解方程的概念，在判斷方程定義的方法上需要注意方程成立的條件（2021秋?本溪縣期末）下列方程①；②3x＝11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x＝0；⑥x+2y＝1，其中是一元一次方程的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【思路點撥】答案錯誒，根據(jù)一元一次方程的定義進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：①x﹣2＝是分式方程，不是一元一次方程；②3x＝11；③＝5x﹣1；⑤x＝0是一元一次方程；④y2﹣4y＝3是一元二次方程；⑥x+2y＝1是二元一次方程．是一元一次方程的有3個，故選：B．【考點解讀】本題考查的是一元一次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．【變式訓練01】（2022春?宛城區(qū)期末）若（m﹣1）x+1＝0是關于x的一元一次方程，則m的值可以是.（寫出一個即可）【變式訓練02】（2022秋?信宜市校級期中）請?zhí)钌线m當?shù)膍值，使得關于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值為．【變式訓練03】（2021秋?云巖區(qū)校級月考）已知關于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0．（1）當m取何值時，該方程是一元二次方程？（2）當m取何值時，該方程是一元一次方程？易錯分析易錯分析02運用等式性質時，兩邊同除以一個數(shù)必須要注意不能為0的情況，還要關注解方程與方程組的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了一個帶X公因式時回頭檢驗。（2022秋?天河區(qū)校級期末）下列方程的變形中，正確的是（）A．將5x﹣4＝2x+6移項，得5x﹣2x＝6﹣4 B．將4x＝2化系數(shù)為1，得 C．將2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括號得，2x﹣6＝﹣3x﹣18 D．將去分母得，3﹣2x+1＝1【答案】A【思路點撥】答案錯誒，注意移項要變號【規(guī)范解答】解：A、將5x﹣4＝2x+6移項，得5x﹣2x＝6+4，不符合題意；B、將4x＝2化系數(shù)為1，得x＝，符合題意；C、將2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括號，得2x﹣6＝3x﹣18，不符合題意；D、將﹣＝1去分母，得3﹣2x﹣2＝6，不符合題意．故選：B．【考點解讀】此題主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）等式兩邊加同一個數(shù)（或式子），結果仍得等式．（2）等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．【變式訓練01】（2022秋?驛城區(qū)校級期末）解方程：（1）3（x+2）＝5（x﹣4）；（2）．【變式訓練02】（2022秋?茂南區(qū)期末）方程2x＝去分母后，正確的是（）A．2x＝2﹣（4x+1） B．12x＝2﹣4x+1 C．2x＝ D．12x＝2﹣4x﹣1【變式訓練03】（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）解方程：；（2）．易錯分析易錯分析03運用不等式的性質３時，容易忘記改不變號的方向而導致結果出錯。注意結合不等號兩邊的正負性靈活轉變不等號的方向。不等式（組）的解得問題要先確定解集，確定解集的方法運用數(shù)軸。（2022秋?碑林區(qū)校級期末）解不等式組：．【答案】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≥，∴原不等式組的解集為：x≥．【思路點撥】答案錯誤，沒有注意運算符號，沒有改變符號方向?！疽?guī)范解答】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤，∴原不等式組的解集為：﹣3＜x≤．【考點解讀】解一元一次不等式組，準確熟練地進行計算是解題題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?拱墅區(qū)期末）若a＞b，則下列式子中正確的是（）A． B．a(chǎn)﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a(chǎn)﹣b＜0【變式訓練02】（2022秋?東方期末）計算：；（2）解不等式組：．【變式訓練03】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）關于x的不等式組有解且每一個x的值均不在﹣2≤x≤6的范圍中，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．1≤a≤5 D．a(chǎn)≥5易錯分析易錯分析04一元二次方程中相關字母的取值范圍的題目易忽視二次項系數(shù)不為0。解這類問題一定要掌握一元二次方程的定義，注意特殊字母的取值范圍（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知方程（a﹣2）x|a|+2x＝0是關于x的一元二次方程，則a＝﹣2．【答案】2或-2【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到滿足二元一次方程定義，根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：|a|＝2，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案為：﹣2．【考點解讀】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式訓練01】（2022秋?鳳凰縣期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，則m＝【變式訓練02】（2022秋?襄州區(qū)期末）關于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，則（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)≥0【變式訓練03】已知關于x的一元二次方程ax2+2xa﹣4xb﹣5＝0，試寫出滿足要求的所有a，b的值．易錯分析易錯分析05關于一元一次不等式組有解、無解的條件易忽視相等的情況。解不等式過程中，容易忽視整數(shù)解的正確選擇，需要考慮到解題步驟中要滿足每個步驟及相關條件（2022?成都模擬）解不等式組：．【答案】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＞2.5，∴原不等式組的解集為：x＞2.5．【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2.5，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2.5．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?平南縣期末）解不等式組：，并利用數(shù)軸表示不等式組的解集．【變式訓練02】（2022?蔡甸區(qū)模擬）解不等式組請按下列步驟完成解答：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；（Ⅳ）原不等式組的解集為．【變式訓練03】（2022春?淮陰區(qū)期末）解不等式（組）：（1）解不等式≥x﹣7，并把解集在數(shù)軸上表示出來；（2）解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．易錯分析易錯分析06解分式方程時首要步驟去分母，分數(shù)相相當于括號，易忘記根檢驗，導致運算結果出錯。另外注意方程無解時，相關字母可能會出現(xiàn)多個解，容易遺漏（2022春?大英縣期末）關于x的分式方程無解，則a的值是．【答案】a的值為1【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到無解的多種情況，分兩種情況：當a﹣1＝0時，整式方程無解，當x﹣1＝0時，分式方程有增根，無解，然后分別進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：，ax+1＝4+x﹣1，（a﹣1）x＝2，∵分式方程無解，∴分兩種情況：當a﹣1＝0時，a＝1；當x﹣1＝0時，x＝1，把x＝1代入（a﹣1）x＝2中，a﹣1＝2，∴a＝3，綜上所述：a的值為1或3．【考點解讀】本題考查了分式方程的解，解分式方程，分兩種情況進行計算是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?磁縣期末）（一）分解因式：x2（x+4）﹣4x（x+1）；（2）（x2+1）2﹣4x2；x2﹣7x+12．（二）解分式方程：．【變式訓練02】（2022秋?綏棱縣校級期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【變式訓練03】（2022?常德）方程+＝的解為．易錯分析易錯分析07不等式（組）的解得問題要先確定解集，注意包含與不包含，以及對正整數(shù)，整數(shù)，非負整數(shù)等關鍵詞理解要透徹，容易概念混亂。確定解集的方法運用數(shù)軸。（2022秋?鄞州區(qū)期中）不等式3+x＞3x﹣5的正整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點撥】答案錯誤，注意兩點：4取不到，正整數(shù)解不包含0.再按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：3+x＞3x﹣5，x﹣3x＞﹣5﹣3，﹣2x＞﹣8，x＜4，∴該不等式的正整數(shù)解為：3，2，1，共有3個正整數(shù)解，故選：C．【考點解讀】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022春?黑山縣期中）解不等式：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，并把解集在數(shù)軸上表示出來．②解不等式：≥﹣1，并寫出其非負整數(shù)解．【變式訓練02】（2022春?新會區(qū)期末）關于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整數(shù)解為2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．5≤m＜8 B．5＜m＜8 C．5≤m≤8 D．5＜m≤8【變式訓練03】（2022春?南寧期末）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非負整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個易錯分析易錯分析08掌握科學記數(shù)法，精確度概念。熟練掌握概念：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．易錯分析易錯分析08方程與不等式應用于實際問題時應注意：（1）單位要統(tǒng)一；（2）找等量關系必須準確；（3）列方程組時要避免出現(xiàn)0=0的情況。在一元二次方程中容易忽略多個解（2022?中山市三模）某中學為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書．調查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲種書柜3個，乙種書柜4個，共需資金1440元．（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，學校至多能夠提供資金3750元，請寫出所有購買方案供這個學校選擇（兩種規(guī)格的書柜都必須購買）．【答案】甲種書柜2個，乙種書柜18個【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮多解，（1）設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，根據(jù)：購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲種書柜3個，乙種書柜4個，共需資金1440元列出方程組求解即可；（2）設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20﹣m）個．根據(jù)：購買的乙種書柜的數(shù)量≥甲種書柜數(shù)量且所需資金≤3750列出不等式組，解不等式組即可得不等式組的解集，從而確定方案．【規(guī)范解答】解：（1）設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，由題意得：，解之得：，∴甲種書柜單價為240元，乙種書柜的單價為180元．（2）設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20﹣m）個；由題意得：240m+180（20﹣m）≤3750．解之得：m≤2.5∵m取整數(shù)，∴m可以取的值為：1，2．即：學校的購買方案有以下兩種：方案一：甲種書柜1個，乙種書柜19個，方案二：甲種書柜2個，乙種書柜18個．【考點解讀】本題主要考查二元一次方程組、不等式的綜合應用能力，根據(jù)題意準確抓住相等關系或不等關系是解題的根本和關鍵．【變式訓練01】（2022春?遂川縣期末）近幾年我縣的桃源梯田與紅色圩場景點吸引了縣內外眾多游客，甲、乙兩家旅行社為了讓更多的游客前往旅游，分別推出了“賞桃源梯田，憶紅色圩場”旅游的團體優(yōu)惠辦法．甲旅行社的優(yōu)惠辦法是：買4張全票，其余人按半價優(yōu)惠；乙旅行社的優(yōu)惠辦法是：一律按原價的優(yōu)惠．已知這兩家旅行社的原價均為每人80元，試說明隨著團體人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費更優(yōu)惠？【變式訓練02】（2022秋?長泰縣期中）為響應國家節(jié)能減排的號召，各地市先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，下表是某市的階梯電價收費標準（每月）：階梯用電量（單位：度）電費價格（單位：元/度）一檔不超過220度的電量0.50二檔220至420度之間的電量0.55三檔超過420度的電量0.80（1）小明家七月份共用電470度，求小明家七月份應交多少電費？（2）如果某戶居民某月用電a度（220≤a＜420），請用含a的代數(shù)式表示該戶居民該月應交電費．（3）小明家九月份的電費是165元，求該月用電多少度？【變式訓練03】（2022?寧夏）某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30元．已知330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．（1）籃球和排球的單價各是多少元？（2）現(xiàn)要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元．籃球最多購買多少個？一、選擇題1．（2022九上·洪澤月考）方程2x2+x-4=0的解的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有一個實數(shù)根2．（2022九上·通州月考）下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）A． B． C． D．3．（2022九上·吳江月考）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為（）A． B．2 C． D．14．（2021·建鄴模擬）已知雙曲線與直線交于，，若，，則（）A．， B．，C．， D．，5．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一個根，則m+n的最大值等于（）A． B．4 C． D．二、填空題6．（2022九上·洪澤月考）如果a是方程的一個實數(shù)根，則的值為．7．（2022九上·洪澤月考）商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，設該店銷售額平均每月的增長率是x，由題意列出方程是．8．（2022九上·沭陽月考）把方程化成的形式，則的值是．9．（2021九上·海安月考）已知關于x的方程，其中p、q都是實數(shù).若方程有三個不同的實數(shù)根、、，且，則q的值為.10．（2020九上·泰興期末）對于一個函數(shù)，當自變量x取n時，函數(shù)值y等于4－n，我們稱n為這個函數(shù)的“二合點”，如果二次函數(shù)y＝mx2+x+1有兩個相異的二合點x1，x2，且x1＜x2＜1，則m的取值范圍是．三、解答題11．（2022·徐州）（1）解方程：；（2）解不等式組：12．（2022九上·洪澤月考）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，菜商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要達到平均每天1280元，銷售單價應降低多少元？13．（2022·泗洪模擬）2022年5月8日是“母親節(jié)”，小明買了一束百合和康乃馨組合的鮮花送給媽媽，以表祝福.在買花過程中，愛思考的小明發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學問題：3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元，買2支百合和1支康乃馨共花費14元.如果買一束百合和康乃馨組合的鮮花共11支，且百合不少于2支，那么怎樣組合，能使費用支出最少？請你幫助小明解決這個數(shù)學問題.14．（2022·淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進、兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變.第一次購進品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，總費用為8100元.（1）求、兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對品牌粽子進行降價銷售.經(jīng)市場調研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？15．（2022七上·鹽都月考）卡塔爾世界杯正在火熱進行中，在購買足球賽門票時，設購買門票張數(shù)為a（張），現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：若單位贊助廣告費10000元，則該單位購買門票的價格為60元（總費用＝廣告贊助費+門票費）．方案二：若購買的門票數(shù)不超過100張，每張100元，若所購門票超過100張，則超出部分按八折計算．解答下列問題：（1）方案一中，用含a的代數(shù)式來表示總費用為．方案二中，當購買的門票數(shù)a不超過100張時，用含x的代數(shù)式來表示總費用為.當所購門票數(shù)a超過100張時，用含x的代數(shù)式來表示總費用為．（2）甲、乙兩單位分別采用方案一、方案二購買本次足球賽門票，合計700張，花去的總費用計58000元，求甲、乙兩單位各購買門票多少張？易錯點02方程與不等式一元一次方程與二元一次方程（組）一元一次方程與二元一次方程（組）的應用一元二次方程及其應用分式方程及應用一元一次不等式與一元一次不等式組一次不等式（組）的應用易錯分析易錯分析01熟練掌握方程與不等式的相關性質及解法步驟，理解方程的概念，在判斷方程定義的方法上需要注意方程成立的條件（2021秋?本溪縣期末）下列方程①；②3x＝11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x＝0；⑥x+2y＝1，其中是一元一次方程的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【思路點撥】答案錯誒，根據(jù)一元一次方程的定義進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：①x﹣2＝是分式方程，不是一元一次方程；②3x＝11；③＝5x﹣1；⑤x＝0是一元一次方程；④y2﹣4y＝3是一元二次方程；⑥x+2y＝1是二元一次方程．是一元一次方程的有3個，故選：B．【考點解讀】本題考查的是一元一次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．【變式訓練01】（2022春?宛城區(qū)期末）若（m﹣1）x+1＝0是關于x的一元一次方程，則m的值可以是2.（寫出一個即可）【思路點撥】直接利用一元一次方程的定義進而得出m﹣1≠0，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵（m﹣1）x+1＝0是關于x的一元一次方程，∴m﹣1≠0，解得m≠1，∴m的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）．【考點解讀】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確掌握相關定義是解題關鍵．【變式訓練02】（2022秋?信宜市校級期中）請?zhí)钌线m當?shù)膍值，使得關于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值為不為0的實數(shù)．【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可．【規(guī)范解答】解：因為關于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，所以m≠0，即m的值為不為0的實數(shù)．故答案為：不為0的實數(shù)．【考點解讀】本題考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．【變式訓練03】（2021秋?云巖區(qū)校級月考）已知關于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0．（1）當m取何值時，該方程是一元二次方程？（2）當m取何值時，該方程是一元一次方程？【思路點撥】根據(jù)一元二次方程、一元一次方程的概念判斷即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵關于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，∴，解得m＝1，∴m＝1時，原方程是一元二次方程．（2）∵關于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元一次方程，∴m+1＝0，m﹣3≠0或解得m＝﹣1或m＝0，∴m＝﹣1或0時，原方程是一元一次方程．【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程、一元一次方程的概念，解答此題的關鍵是要明確：（1）只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．（2）只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．易錯分析易錯分析02運用等式性質時，兩邊同除以一個數(shù)必須要注意不能為0的情況，還要關注解方程與方程組的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了一個帶X公因式時回頭檢驗。（2022秋?天河區(qū)校級期末）下列方程的變形中，正確的是（）A．將5x﹣4＝2x+6移項，得5x﹣2x＝6﹣4 B．將4x＝2化系數(shù)為1，得 C．將2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括號得，2x﹣6＝﹣3x﹣18 D．將去分母得，3﹣2x+1＝1【答案】A【思路點撥】答案錯誒，注意移項要變號【規(guī)范解答】解：A、將5x﹣4＝2x+6移項，得5x﹣2x＝6+4，不符合題意；B、將4x＝2化系數(shù)為1，得x＝，符合題意；C、將2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括號，得2x﹣6＝3x﹣18，不符合題意；D、將﹣＝1去分母，得3﹣2x﹣2＝6，不符合題意．故選：B．【考點解讀】此題主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）等式兩邊加同一個數(shù)（或式子），結果仍得等式．（2）等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結果仍得等式．【變式訓練01】（2022秋?驛城區(qū)校級期末）解方程：（1）3（x+2）＝5（x﹣4）；（2）．【思路點撥】（1）按照解一元一次方程的步驟：去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進行計算即可解答；（2）按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）3（x+2）＝5（x﹣4），3x+6＝5x﹣20，3x﹣5x＝﹣20﹣6，﹣2x＝﹣26，x＝13；（2），6x﹣3（x﹣1）＝2x﹣6，6x﹣3x+3＝2x﹣6，6x﹣3x﹣2x＝﹣6﹣3，x＝﹣9．【考點解讀】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．【變式訓練02】（2022秋?茂南區(qū)期末）方程2x＝去分母后，正確的是（）A．2x＝2﹣（4x+1） B．12x＝2﹣4x+1 C．2x＝ D．12x＝2﹣4x﹣1【思路點撥】按照解一元一次方程的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：2x＝，去分母得：12x＝2﹣（4x+1），12x＝2﹣4x﹣1，故選：D．【考點解讀】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．【變式訓練03】（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）解方程：（1）；（2）．【思路點撥】（1）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1），x2+x﹣1＝x（x﹣1），解得：x＝，檢驗：當x＝時，x（x﹣1）≠0，∴x＝是原方程的根；（2），2（x﹣2）+x+2＝4，解得：x＝2，檢驗：當x＝2時，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程無解．【考點解讀】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．易錯分析易錯分析03運用不等式的性質３時，容易忘記改不變號的方向而導致結果出錯。注意結合不等號兩邊的正負性靈活轉變不等號的方向。不等式（組）的解得問題要先確定解集，確定解集的方法運用數(shù)軸。（2022秋?碑林區(qū)校級期末）解不等式組：．【答案】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≥，∴原不等式組的解集為：x≥．【思路點撥】答案錯誤，沒有注意運算符號，沒有改變符號方向?！疽?guī)范解答】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤，∴原不等式組的解集為：﹣3＜x≤．【考點解讀】解一元一次不等式組，準確熟練地進行計算是解題題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?拱墅區(qū)期末）若a＞b，則下列式子中正確的是（）A． B．a(chǎn)﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a(chǎn)﹣b＜0【思路點撥】根據(jù)不等式的性質進行判斷．【規(guī)范解答】解：A、不等式a＞b的兩邊同時除以2，不等式仍成立，即＞，故本選項不符合題意；B、不等式a＞b的兩邊同時減去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本選項不符合題意；C、不等式a＞b的兩邊同時乘﹣3，不等式仍成立，即﹣3a＜﹣3b，故本選項符合題意；D、不等式a＞b的兩邊同時減去b，不等式仍成立，即a﹣b＞0，故本選項不符合題意．故選：C．【考點解讀】本題主要考查了不等式的性質，運用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．【變式訓練02】（2022秋?東方期末）計算：（1）；（2）解不等式組：．【思路點撥】（1）先計算平方根，乘方，再計算除法和加減法；（2）分別計算兩個不等式，再求兩個解得公共部分即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝4×（﹣2）﹣2+9＝﹣8﹣2+9（2）解不等式3x﹣4＜5，得x＜3；解不等式＞1，得x＞1，∴原不等式組的解為：1＜x＜3．【考點解讀】本題主要考查運算能力，涉及實數(shù)的運算，解一元一次不等式組，掌握相關運算法則是解題基礎．【變式訓練03】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）關于x的不等式組有解且每一個x的值均不在﹣2≤x≤6的范圍中，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．1≤a≤5 D．a(chǎn)≥5【思路點撥】先按照解一元一次不等式組的步驟進行計算可得2a﹣4＜x＜a﹣3，然后根據(jù)題意可得：2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，從而可得：a≥5或a≤1，最后再根據(jù)不等式組有解集可得a﹣3＞2a﹣4，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：，解不等式①得：x＜a﹣3，解不等式②得：x＞2a﹣4，∴原不等式組的解集為：2a﹣4＜x＜a﹣3，∵不等式組有解且每一個x的值均不在﹣2≤x≤6的范圍中，∴2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，解得：a≥5或a≤1，∵不等式組有解集，∴a﹣3＞2a﹣4，解得：a＜1，綜上所述：a的取值范圍是a＜1，故選：A．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．易錯分析易錯分析04一元二次方程中相關字母的取值范圍的題目易忽視二次項系數(shù)不為0。解這類問題一定要掌握一元二次方程的定義，注意特殊字母的取值范圍（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）已知方程（a﹣2）x|a|+2x＝0是關于x的一元二次方程，則a＝﹣2．【答案】2或-2【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到滿足二元一次方程定義，根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：|a|＝2，且a﹣2≠0，解得：a＝﹣2，故答案為：﹣2．【考點解讀】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式訓練01】（2022秋?鳳凰縣期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，則m＝﹣3．【思路點撥】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【規(guī)范解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，解得：m＝﹣3，故答案為：﹣3．【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)是解題關鍵．【變式訓練02】（2022秋?襄州區(qū)期末）關于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，則（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)≥0【思路點撥】根據(jù)一元二次方程定義可得：a﹣1≠0，再解即可．【規(guī)范解答】解：由題意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故選：C．【考點解讀】此題主要考查了一元二次方程定義，解題的關鍵是掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【變式訓練03】已知關于x的一元二次方程ax2+2xa﹣4xb﹣5＝0，試寫出滿足要求的所有a，b的值．【思路點撥】本題根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意知，當時，方程為2x2﹣4x﹣5＝0，當時，方程為﹣3x2+2x﹣5＝0，當時，方程為﹣4x2﹣3＝0，當時，方程為4x2﹣9＝0，當時，方程為x2﹣2x﹣5＝0，當時，方程為x2+2x﹣9＝0．【考點解讀】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．易錯分析易錯分析05關于一元一次不等式組有解、無解的條件易忽視相等的情況。解不等式過程中，容易忽視整數(shù)解的正確選擇，需要考慮到解題步驟中要滿足每個步驟及相關條件（2022?成都模擬）解不等式組：．【答案】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＞2.5，∴原不等式組的解集為：x＞2.5．【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2.5，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2.5．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?平南縣期末）解不等式組：，并利用數(shù)軸表示不等式組的解集．【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣2.5，∴原不等式組的解集為：﹣2.5＜x≤2，∴該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．【變式訓練02】（2022?蔡甸區(qū)模擬）解不等式組請按下列步驟完成解答：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；（Ⅲ）將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣3＜x≤1．【思路點撥】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：，（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；（Ⅲ）將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣3＜x≤1，故答案為：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x＞﹣3；（Ⅳ）﹣3＜x≤1．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．【變式訓練03】（2022春?淮陰區(qū)期末）解不等式（組）：（1）解不等式≥x﹣7，并把解集在數(shù)軸上表示出來；（2）解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．【思路點撥】（1）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）≥x﹣7，1﹣3x≥2（x﹣7），1﹣3x≥2x﹣14，﹣3x﹣2x≥﹣14﹣1，﹣5x≥﹣15，x≤3，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（2），解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣1，∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2，∴該不等式組的所有整數(shù)解為：﹣1，0，1．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，一元一次不等式組的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．易錯分析易錯分析06解分式方程時首要步驟去分母，分數(shù)相相當于括號，易忘記根檢驗，導致運算結果出錯。另外注意方程無解時，相關字母可能會出現(xiàn)多個解，容易遺漏（2022春?大英縣期末）關于x的分式方程無解，則a的值是．【答案】a的值為1【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮到無解的多種情況，分兩種情況：當a﹣1＝0時，整式方程無解，當x﹣1＝0時，分式方程有增根，無解，然后分別進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：，ax+1＝4+x﹣1，（a﹣1）x＝2，∵分式方程無解，∴分兩種情況：當a﹣1＝0時，a＝1；當x﹣1＝0時，x＝1，把x＝1代入（a﹣1）x＝2中，a﹣1＝2，∴a＝3，綜上所述：a的值為1或3．【考點解讀】本題考查了分式方程的解，解分式方程，分兩種情況進行計算是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022秋?磁縣期末）（一）分解因式：（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；（2）（x2+1）2﹣4x2；（3）x2﹣7x+12．（二）解分式方程：．【思路點撥】（一）（1）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式繼續(xù)分解即可解答；（3）利用因式分解﹣十字相乘法，進行分解即可解答；（二）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（一）（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）＝x[x（x+4）﹣4（x+1）]＝x（x2+4x﹣4x﹣4）＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）；（2）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2；（3）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；（二）．方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1）得：（x+1）（x+1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝1，檢驗：當x＝1時，（x+1）（x﹣1）＝0，∴x＝1是原方程的增根，∴原分式方程無解．【考點解讀】本題考查了解分式方程，提公因式法與公式法的綜合運用，因式分解﹣十字相乘法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式訓練02】（2022秋?綏棱縣校級期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【思路點撥】（1）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1），1﹣2＝x﹣1，解得：x＝0，檢驗：當x＝0時，x﹣1≠0，∴x＝0是原方程的根；（2），2x﹣1﹣3＝4，解得：x＝4，檢驗：當x＝4時，3（2x﹣1）≠0，∴x＝4是原方程的根．【考點解讀】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．【變式訓練03】（2022?常德）方程+＝的解為x＝4．【思路點撥】方程兩邊同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，檢驗后得到答案．【規(guī)范解答】解：方程兩邊同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，解得：x＝4，檢驗：當x＝4時，2x（x﹣2）＝16≠0，∴x＝4是原方程的解，∴原方程的解為x＝4．【考點解讀】本題考查的是分式方程的解法，解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論，注意解分式方程時，一定要檢驗．易錯分析易錯分析07不等式（組）的解得問題要先確定解集，注意包含與不包含，以及對正整數(shù)，整數(shù)，非負整數(shù)等關鍵詞理解要透徹，容易概念混亂。確定解集的方法運用數(shù)軸。（2022秋?鄞州區(qū)期中）不等式3+x＞3x﹣5的正整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【思路點撥】答案錯誤，注意兩點：4取不到，正整數(shù)解不包含0.再按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：3+x＞3x﹣5，x﹣3x＞﹣5﹣3，﹣2x＞﹣8，x＜4，∴該不等式的正整數(shù)解為：3，2，1，共有3個正整數(shù)解，故選：C．【考點解讀】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式是解題的關鍵．【變式訓練01】（2022春?黑山縣期中）解不等式：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，并把解集在數(shù)軸上表示出來．②解不等式：≥﹣1，并寫出其非負整數(shù)解．【思路點撥】①按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；②按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，2x﹣2＜3x+3﹣2，2x﹣3x＜3﹣2+2，﹣x＜3，x＞﹣3，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：②≥﹣1，4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12，8x﹣4≥9x+6﹣12，8x﹣9x≥6﹣12+4，﹣x≥﹣2，x≤2，∴該不等式的非負整數(shù)解2，1，0．【考點解讀】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．【變式訓練02】（2022春?新會區(qū)期末）關于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整數(shù)解為2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．5≤m＜8 B．5＜m＜8 C．5≤m≤8 D．5＜m≤8【思路點撥】解出不等式，然后根據(jù)不等式的最小整數(shù)解為2，即可列出關于m的不等式，從而求出m的取值范圍．【規(guī)范解答】解：3x﹣m+2＞0，3x＞m﹣2，，∵不等式的最小整數(shù)解為2，∴，解得：5≤m＜8，故選：A．【考點解讀】本題考查的是含參數(shù)的一元一次不等式，掌握根據(jù)不等式的最小整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍是解決此題的關鍵．【變式訓練03】（2022春?南寧期末）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非負整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：4﹣3x＞2x﹣6，﹣3x﹣2x＞﹣6﹣4，﹣5x＞﹣10，x＜2，∴不等式的非負整數(shù)解為：1，0，∴不等式的非負整數(shù)解有2個，故選：B．【考點解讀】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式是解題的關鍵．易錯分析易錯分析08掌握科學記數(shù)法，精確度概念。熟練掌握概念：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．易錯分析易錯分析08方程與不等式應用于實際問題時應注意：（1）單位要統(tǒng)一；（2）找等量關系必須準確；（3）列方程組時要避免出現(xiàn)0=0的情況。在一元二次方程中容易忽略多個解（2022?中山市三模）某中學為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書．調查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲種書柜3個，乙種書柜4個，共需資金1440元．（1）甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個，學校至多能夠提供資金3750元，請寫出所有購買方案供這個學校選擇（兩種規(guī)格的書柜都必須購買）．【答案】甲種書柜2個，乙種書柜18個【思路點撥】答案錯誤，沒有考慮多解，（1）設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，根據(jù)：購買甲種書柜2個、乙種書柜3個，共需資金1020元；若購買甲種書柜3個，乙種書柜4個，共需資金1440元列出方程組求解即可；（2）設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20﹣m）個．根據(jù)：購買的乙種書柜的數(shù)量≥甲種書柜數(shù)量且所需資金≤3750列出不等式組，解不等式組即可得不等式組的解集，從而確定方案．【規(guī)范解答】解：（1）設甲種書柜單價為x元，乙種書柜的單價為y元，由題意得：，解之得：，∴甲種書柜單價為240元，乙種書柜的單價為180元．（2）設甲種書柜購買m個，則乙種書柜購買（20﹣m）個；由題意得：240m+180（20﹣m）≤3750．解之得：m≤2.5∵m取整數(shù)，∴m可以取的值為：1，2．即：學校的購買方案有以下兩種：方案一：甲種書柜1個，乙種書柜19個，方案二：甲種書柜2個，乙種書柜18個．【考點解讀】本題主要考查二元一次方程組、不等式的綜合應用能力，根據(jù)題意準確抓住相等關系或不等關系是解題的根本和關鍵．【變式訓練01】（2022春?遂川縣期末）近幾年我縣的桃源梯田與紅色圩場景點吸引了縣內外眾多游客，甲、乙兩家旅行社為了讓更多的游客前往旅游，分別推出了“賞桃源梯田，憶紅色圩場”旅游的團體優(yōu)惠辦法．甲旅行社的優(yōu)惠辦法是：買4張全票，其余人按半價優(yōu)惠；乙旅行社的優(yōu)惠辦法是：一律按原價的優(yōu)惠．已知這兩家旅行社的原價均為每人80元，試說明隨著團體人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費更優(yōu)惠？【思路點撥】設團體人數(shù)為x，根據(jù)甲、乙兩個旅行社的優(yōu)惠辦法，分別列出式子，再進行比較即可．【規(guī)范解答】解：設團體人數(shù)為x，則甲旅行社的費用是80×4+80×0.5（x﹣4）＝（40x+160）元，乙旅行社的費用是80×x＝60x元，令40x+160＝60x，得x＝8，令40x+160＜60x，得x＞8，令40x+160＞60x，得x＜8，∴當團體人數(shù)為8時，兩家旅行社的收費一樣；當團體人數(shù)少于8時，乙旅行社收費更優(yōu)惠；當團體人數(shù)多于8時，甲旅行社收費更優(yōu)惠．【考點解讀】本題主要考查一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用等，題目相對比較簡單，根據(jù)題意得出甲、乙兩個旅行社的費用是解題關鍵．【變式訓練02】（2022秋?長泰縣期中）為響應國家節(jié)能減排的號召，各地市先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，下表是某市的階梯電價收費標準（每月）：階梯用電量（單位：度）電費價格（單位：元/度）一檔不超過220度的電量0.50二檔220至420度之間的電量0.55三檔超過420度的電量0.80（1）小明家七月份共用電470度，求小明家七月份應交多少電費？（2）如果某戶居民某月用電a度（220≤a＜420），請用含a的代數(shù)式表示該戶居民該月應交電費．（3）小明家九月份的電費是165元，求該月用電多少度？【思路點撥】（1）根據(jù)階梯收費可求出小明家七月份電費；（2）根據(jù)階梯收費可得出結論；（3）先判斷九月份的電費在的范圍，再求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可知，小明家七月份的電費為：220×0.5+（420﹣200）×0.55+（470﹣420）×0.8＝110+110+40＝260（元），∴小明家七月份應交260元電費；（2）根據(jù)題意可得，220×0.5+（a﹣220）×0.55＝0.55a﹣11．∴該戶居民該月應交電費（0.55a﹣11）元；（3）當用電220度時，應交電費220×0.5＝110（元），當用電420度時，應交電費220×0.5+（420﹣200）×0.55＝110+110＝220（元），設小剛家八月份的用電量x千瓦時，∵110＜165＜220，∴220＜x＜420，∴0.55x﹣11＝165，解得x＝320．∴該月用電320度．【考點解讀】本題考查解一元一次方程的應用，掌握一元一次方程的解法，根據(jù)題意列式或列方程是解題關鍵．【變式訓練03】（2022?寧夏）某校購進一批籃球和排球，籃球的單價比排球的單價多30元．已知330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．（1）籃球和排球的單價各是多少元？（2）現(xiàn)要購買籃球和排球共20個，總費用不超過1800元．籃球最多購買多少個？【思路點撥】（1）設排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，由題意：330元購進的籃球數(shù)量和240元購進的排球數(shù)量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）設購買排球y個，則購買籃球（20﹣y）個，由題意：購買籃球和排球的總費用不【規(guī)范解答】解：（1）設排球的單價為x元，則籃球的單價為（x+30）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝80，經(jīng)檢驗，x＝80是原分式方程的解，且符合題意，∴x+30＝110．∴籃球的單價為110元，排球的單價為80元．（2）設購買籃球y個，則購買排球（20﹣y）個，依題意得：110y+80（20﹣y）≤1800，解得y≤6，即y的最大值為6，∴最多購買6個籃球．【考點解讀】此題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次不等式．一、選擇題1．（2022九上·洪澤月考）方程2x2+x-4=0的解的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有一個實數(shù)根【答案】A【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得△=12-4×2×（-4）=1+32=33，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.故答案為：A.【思路點撥】利用一元二次方程根的判別式，得出當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當△＜0時，方程沒有實數(shù)根.確定a，b，c的值，代入公式判斷出△的符號即可得出結論.2．（2022九上·通州月考）下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：A、，方程沒有實數(shù)根；B、，方程有兩個不相等的實數(shù)根；C、，方程有兩個相等的實數(shù)根；D、，∴方程沒有實數(shù)根．故答案為：C．

【思路點撥】各選項中的一元二次方程都是一般形式，再分別求出各選項中方程的b2-4ac，根據(jù)b2-4ac的值的情況，可得到有兩個相等的實數(shù)根的選項.3．（2022九上·吳江月考）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為（）A． B．2 C． D．1【答案】D【規(guī)范解答】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：．故答案為：D.【思路點撥】由方程有兩個相等的實數(shù)根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.4．（2021·建鄴模擬）已知雙曲線與直線交于，，若，，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【規(guī)范解答】解：由題意得方程的兩根分別為，，∴+=，=，∵∴，∴，∴k、異號，∵，∴=，∵，∴＞0，∵，∴＞0，∴，∴，.故答案為：C.【思路點撥】由題意可得方程kx2+bx-2021=0的兩根分別為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關系可確定出k、b異號，表示出y1、y2，根據(jù)y1+y2>0可得x1x2=0，據(jù)此可判斷出k、b的正負.5．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一個根，則m+n的最大值等于（）A． B．4 C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：由題意得：此方程的根的判別式，解得，是一元二次方程的一個根，，即，對于任意實數(shù)m，均成立，令，整理得：，由二次函數(shù)的性質可知，當時，y取得最大值，最大值為，即的最大值等于，故答案為：A.【思路點撥】由x=m是方程的根和一元二次方程根的判別式可得m，n的范圍和，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得最大值.二、填空題6．（2022九上·洪澤月考）如果a是方程的一個實數(shù)根，則的值為．【答案】2023【規(guī)范解答】解：把代入得到，則．又∵，把代入得，故答案為：2023.【思路點撥】根據(jù)方程解的概念，將x=a代入方程中可得a2-2a=2，待求式可變形為2(a2-2a)+2019，據(jù)此計算.7．（2022九上·洪澤月考）商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，設該店銷售額平均每月的增長率是x，由題意列出方程是．【答案】【規(guī)范解答】解：設該店銷售額平均每月的增長率是x，根據(jù)題意得，．故答案為：．【思路點撥】由題意可得：2月份的銷售額是2(1+x)萬元，3月份的銷售額是2(1+x)2萬元，然后根據(jù)3月份的銷售額是4.5萬元就可列出方程.8．（2022九上·沭陽月考）把方程化成的形式，則的值是．【答案】5【規(guī)范解答】解：方程整理得：，配方得：，即，，，則．故答案為：5.【思路點撥】首先將常數(shù)項移至右邊，然后給兩邊同時加上1，再對左邊的式子利用完全平方公式分解即可化為(x+m)2=n的形式，得到m、n的值，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算.9．（2021九上·海安月考）已知關于x的方程，其中p、q都是實數(shù).若方程有三個不同的實數(shù)根、、，且，則q的值為.【答案】3【規(guī)范解答】解：依題意，設方程有三個不同的實數(shù)根、、，則與的圖象有三個不同的交點，，對稱軸為則與的圖象有三個不同的交點，則經(jīng)過的頂點設，則即設是的兩根，則即，解得.故答案為：3.【思路點撥】設y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根據(jù)方程有三個不同的實數(shù)根可得y=-q經(jīng)過y1的頂點，設x3=-p，據(jù)此可得q與p的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后結合可得p2=2，根據(jù)判別式求出p的范圍，進而可得q的值.10．（2020九上·泰興期末）對于一個函數(shù)，當自變量x取n時，函數(shù)值y等于4－n，我們稱n為這個函數(shù)的“二合點”，如果二次函數(shù)y＝mx2+x+1有兩個相異的二合點x1，x2，且x1＜x2＜1，則m的取值范圍是．【答案】﹣＜m＜0或m＞1【規(guī)范解答】根據(jù)題意得：整理得:∵有兩個相異的二合點∴得:①當m>0時，根據(jù)x1＜x2＜1，由求根公式得:解得:m>l，m<0(舍去)②當m<0時，根據(jù)x1＜x2＜1,由求根公式得:.解得:m<0，m>1(舍去)綜上所述:﹣＜m＜0或m＞1故答案是：﹣＜m＜0或m＞1【思路點撥】題目中，有兩個相異的二合點，根據(jù)一元二次方程的判別式△=，得到，再分別討論當m＞0時，m＜0時，用求根公式表示出方程兩根，利用x1＜x2＜1求出m的范圍.三、解答題11．（2022·徐州）（1）解方程：；（2）解不等式組：【答案】（1）解：，，∴，；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：【思路點撥】（1）對原方程進行配方可得(x-1)2=2，然后利用直接開平方法進行計算；

（2）分別求出兩個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，取其公共部分可得不等式組的解集.12．（2022九上·洪澤月考）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，菜商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要達到平均每天1280元，銷售單價應降