壓軸題03線段最值問題(原卷版+解析)

線段最值問題題型解讀：線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規(guī)作圖問題；③旋轉(zhuǎn)“費(fèi)馬點(diǎn)”問題；④點(diǎn)到直線的距離最值問題等.右圖為線段最值問題中各題型的考查熱度.題型1：垂線段最短問題解題模板：垂線段最短模型：1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A． B． C．3 D．4【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【變式1-2】（2021?臨淄區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C． D．題型2：將軍飲馬問題解題模板：技巧精講：1、“將軍飲馬”模型2、線段差最大值問題模型：2.（2021?婁底模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【變式2-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2022?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）A．1 B． C． D．2【變式2-3】（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【變式2-4】（2022?泰山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為半徑OB的中點(diǎn)．若OB＝4，則陰影部分的面積為．題型3：旋轉(zhuǎn)最值問題解題模板：技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型：3.問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC＝PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是．【變式3-1】（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng)，求PM+PN的最小值．【變式3-2】（2022春?周村區(qū)期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．一、填空題1．（羅平期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為.2．（2022·安順）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=13．（2022·南充）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A，B重給），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C給出下列四個(gè)結(jié)論；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③點(diǎn)P是直線DE上動(dòng)點(diǎn)，則CP+A1P的最小值為2；④當(dāng)∠ADE=30°時(shí)，△A1BE的面積為起3?36，其中正確的結(jié)論是二、綜合題4．（大埔期末）已知四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的平行四邊形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與邊BC，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF＝60°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系為：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B，C重合），求證：BE＝CF；（3）求△AEF周長(zhǎng)的最小值．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最??？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（金華月考）如圖1，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短，并在圖中標(biāo)出點(diǎn)C【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖2，在等邊△ABC中，AB＝10，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等邊三角形的軸對(duì)稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接BM，EM+MC的最小值就是線段的長(zhǎng)度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝°．（3）如圖4，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先?？縊B岸C處裝貨，再?？縊A岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請(qǐng)畫出最短路線并求出最短路程．線段最值問題題型解讀：線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問題；②尺規(guī)作圖問題；③旋轉(zhuǎn)“費(fèi)馬點(diǎn)”問題；④點(diǎn)到直線的距離最值問題等.右圖為線段最值問題中各題型的考查熱度.題型1：垂線段最短問題解題模板：垂線段最短模型：1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A． B． C．3 D．4【分析】由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再證明四邊形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值為；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn)．若CD＝5，則DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到即可，【解答】解：當(dāng)DE⊥AB時(shí)，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是知道垂線段最短，本題比較典型，難度適中．【變式1-2】（2021?臨淄區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為（）A．2 B．3 C． D．【分析】以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN′并延長(zhǎng)交BD于P，連NP，依據(jù)PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根據(jù)△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如圖所示，以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN′并延長(zhǎng)交BD于P，連NP，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，∵正方形邊長(zhǎng)為8，∴AC＝AB＝8，∵O為AC中點(diǎn)，∴AO＝OC＝4，∵N為OA中點(diǎn)，∴ON＝2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝6，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值為2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．題型2：將軍飲馬問題解題模板：技巧精講：1、“將軍飲馬”模型2、線段差最大值問題模型：2.（2021?婁底模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【分析】連接CP，當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一條直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接CP，在△ADP與△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一條直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE的長(zhǎng)，∴連接CE交BD于P'，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴ED＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，中點(diǎn)路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C是解此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在BC上，CE＝2．點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME，MC的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖，連接AE交BD于M點(diǎn)，∵A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是軸對(duì)稱﹣﹣路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)點(diǎn)A、M、E在一條直線上時(shí)，ME+MA有最小值是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（）A．1 B． C． D．2【分析】當(dāng)MA+MF的值最小時(shí)，A、M、F三點(diǎn)共線，即求AF的長(zhǎng)度，根據(jù)題意判斷△ABC為等邊三角形，且F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長(zhǎng)度即可．【解答】解：當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)M點(diǎn)位于M′時(shí)，MA+MF的值最小，由菱形的性質(zhì)可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，確定MA+MF的最小值為AF的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．【變式2-3】（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．首先證明四邊形ADFT是平行四邊形，推出AD＝FT＝2，再證明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四邊形ADFT是平行四邊形，∴AD＝FT＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T關(guān)于AC對(duì)稱，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱最短問題，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．【變式2-4】（2022?泰山區(qū)校級(jí)二模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為半徑OB的中點(diǎn)．若OB＝4，則陰影部分的面積為．【分析】連接BC，過D作DF⊥OB于F，先證明△BOC是等邊三角形即可求出OE，CE⊥BO，然后根據(jù)勾股定理求出CE，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)求出DF，最后根據(jù)S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解即可．【解答】解：連接BC，過D作DF⊥OB于F，∵∠BOC＝60°，OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∵點(diǎn)E為半徑OB的中點(diǎn)，∴CE⊥BO，，∴，∵∠BOC＝60°，OD平分∠BOC，∴，∴，∴S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，根據(jù)S陰影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解是解題的關(guān)鍵．題型3：旋轉(zhuǎn)最值問題解題模板：技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型：3.問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC＝PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通過三角形全等證得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等邊三角形，得出AP＝GP，則PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可證得結(jié)論；（2）以MG為邊作等邊三角形△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，可證△GMO≌△DME，可得GO＝DE，則MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線時(shí)，MO+NO+GO值最小，最小值為ND的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的長(zhǎng)度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）證明：如圖1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等邊三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，作DF⊥NM，交NM的延長(zhǎng)線于F．∵△MGD和△OME是等邊三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線時(shí)，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵M(jìn)G＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值為2，故答案為2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，構(gòu)造等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?連云港）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求證：四邊形DBCE為菱形；（2）若△DBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng)，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先證明四邊形DBCE是平行四邊形，再由BE⊥DC，得四邊形DBCE是菱形；（2）作N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'，過D作DH⊥BC于H，由菱形的對(duì)稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值為平行線間的距離DH的長(zhǎng)，即PM+PN的最小值為DH的長(zhǎng)，在Rt△DBH中，可得DH＝DB?sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延長(zhǎng)線上，∴DE∥BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE是菱形；（2）解：作N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'，過D作DH⊥BC于H，如圖：由菱形的對(duì)稱性知，點(diǎn)N關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴當(dāng)P、M、N'共線時(shí)，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值為平行線間的距離DH的長(zhǎng)，即PM+PN的最小值為DH的長(zhǎng)，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB?sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及菱形的判定，等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，對(duì)稱變換等，解題的關(guān)鍵是掌握解決“將軍飲馬”模型的方法．【變式3-2】（2022春?周村區(qū)期末）如圖①，P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的長(zhǎng)．（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)，連結(jié)AP，如圖②．①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【分析】（1）①由三角形內(nèi)角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可證∠PBC＝∠BAP，可得結(jié)論；②由相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）①由“SAS”可證△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；②通過證明△ADF∽△CFP，可得，可證△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PBA+∠PAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBC＝∠BAP，又∵∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，又∵PA＝3，PC＝4，∴，∴PB＝2；（2）①解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)于F，如圖，∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴△ADF∽△CFP，∴，∴AF?PF＝DF?CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．一、填空題1．（羅平期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為.【答案】17【解析】【解答】解：∵正方形ABCD是軸對(duì)稱圖形，AC是一條對(duì)稱軸，∴點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在線段AD上，設(shè)為點(diǎn)G，連結(jié)EG與AC交于點(diǎn)P，則PF+PE的最小值為EG的長(zhǎng)，∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2，∴EG=12故答案為：17?！痉治觥扛鶕?jù)正方形的性質(zhì)可知：點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)在線段AD上，設(shè)為點(diǎn)G，連結(jié)EG與AC交于點(diǎn)P，則PF+PE的最小值為EG的長(zhǎng)，過點(diǎn)E作EH垂直于AD于點(diǎn)H，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理即可算出EG的長(zhǎng)，從而得出答案。2．（2022·安順）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=1【答案】5【解析】【解答】解：如圖，連接AM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，

∴CM=AM，

∴MN+CM=MN+AM≥AN，

.當(dāng)A、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN+CM的值最小，

∵AD∥CF，

∴∠DAE=∠F，

∵∠DAE+∠DEH=90°，

∵DG⊥AF，

∴∠CDG+∠DEH=90°，

∴∠DAE=∠CDG，

∴∠CDG=∠F，

∴△DCG∽△FCE，

∵S△DCGS△FCE=19，

∴CDCF=13，

∵CD=4，

∴CF=12，

∵AD∥CF，

∴AEEF=ADCF=DECE=13，

∴DE=1，CE=3，

在Rt△CEF中，EF=CE2+CF2=32+122=3173．（2022·南充）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A，B重給），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C給出下列四個(gè)結(jié)論；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③點(diǎn)P是直線DE上動(dòng)點(diǎn)，則CP+A1P的最小值為2；④當(dāng)∠ADE=30°時(shí)，△A1BE的面積為起3?36，其中正確的結(jié)論是【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A1B=A2B，∠A1BA2=90°，

∴∠ABA1+∠A1BC=∠A2BC+∠A1BC=90°，

∴∠ABA1=∠A2BC，

∴△ABA1≌△CBA2（SAS），

∴①說(shuō)法正確；

②如圖，過點(diǎn)D作DF⊥A1C于點(diǎn)F，

∵DC=DA1，

∴∠CDF=∠A1DF，

∵∠ADE=∠A1DE，∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDF=45°，

又∵∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，

∴∠CDF=∠A1CB，

∴∠ADE+∠A1CB=45°，

∴②說(shuō)法正確；

③如圖，連接PA、PC，

∵A1和A關(guān)于DE對(duì)稱，

∴PA1=PA，

∴PA1+PC=PA+PC，

當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，

∴PA1+PC最短為2，

∴③說(shuō)法正確；

④如圖，過點(diǎn)A1作A1G⊥AB于點(diǎn)G，

∵∠ADE=30°，

∴AD=3AE，

∴AE=33，

∴EB=1-33=3?33，

又∵A1A⊥DE，

∴∠DAA1=60°，

∴∠A1AG=30°，AA1=AD=1，

∴A1G=12AA1=12，

∴△A1BE面積=12EB·A1G=12×3?33×12=3?312，

∴④說(shuō)法錯(cuò)誤.

故正確答案為：①②③.

【分析】由正方形性質(zhì)得AB=BC，∠ABC=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A1B=A2B，∠A1BA2=90°，從而推出∠ABA1=∠A2BC，即可證出△ABA1≌△CBA2；如圖，過點(diǎn)D作DF⊥A1C于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及正方形性質(zhì)推出∠ADE+∠CDF=45°，再由∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，推出∠CDF=∠A1CB，從而得到∠ADE+∠A1CB=45°；③如圖，連接PA、PC，由折疊性質(zhì)可知A1和A關(guān)于DE對(duì)稱，從而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短為2；④如圖，過點(diǎn)A1作A1G⊥AB于點(diǎn)G，利用正方形性質(zhì)及含30°角直角三角形的性質(zhì)可求得AE=33，即得EB=1-33=3?33，再由A1A⊥DE，從而得∠DAA1=60°，進(jìn)而得到∠A1AG=30°，AA1=AD=1，再含30°角直角三角形的性質(zhì)可求得A二、綜合題4．（大埔期末）已知四邊形ABCD是菱形（四條邊都相等的平行四邊形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的兩邊分別與邊BC，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF＝60°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系為：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與B，C重合），求證：BE＝CF；（3）求△AEF周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）AE＝EF＝AF（2）證明：如圖2，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF（ASA）∴BE＝CF．（3）解：由（1）可知△AEF是等邊三角形，∴當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE的長(zhǎng)最小，即△AEF的周長(zhǎng)最小，∵AE＝EF＝AF＝23，∴△AEF的周長(zhǎng)為63．【解析】【解答】解：（1）AE＝EF＝AF．理由：如圖1中，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，∴AE＝AF（菱形的高相等）∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF．故答案為AE＝EF＝AF；【分析】（1）結(jié)論AE＝EF＝AF．只要證明AE＝AF即可證明△AEF是等邊三角形；（2）欲證明BE＝CF，只要證明△BAE≌△CAF即可；（3）根據(jù)垂線段最短可知；當(dāng)AE⊥BC時(shí)，△AEF的周長(zhǎng)最小；5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a=45∴y=45（x﹣1）（x﹣5）=45x2﹣245x+4=45（x﹣3）∴拋物線的對(duì)稱軸是：直線x=3；（2）解：P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，85理由如下：∵點(diǎn)A（0，4），拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，4）如圖1，連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最?。O(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得4=6k+b0=k+b解得k=4∴y=45x﹣4∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，∴y=45×3﹣45=∴P（3，85（3）解：在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，45t2﹣24如圖2，過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣45把x=t代入得：y=﹣45t+4，則G（t，﹣4此時(shí)：NG=﹣45t+4﹣（45t2﹣245t+4）=﹣4∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AD×NG+12NG×CF=12NG?OC=12×（﹣45t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣5∴當(dāng)t=52時(shí)，△CAN面積的最大值為25由t=52，得：y=45t2﹣∴N（52【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-5），然后將代入A（0，4）代入拋物線的解析式可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式，然后利用拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，然后再求出直線BA′的解析式，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（