第一章三角形的證明(原卷版+解析)

2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)高分?jǐn)?shù)拔尖提優(yōu)單元密卷（北師大版）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題)一、單選題(共40分)1．(本題4分)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)2．(本題4分)下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等3．(本題4分)如圖，是中邊的垂直平分線，若厘米，厘米，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．(本題4分)用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于45°”時(shí)，首先應(yīng)該假設(shè)這個(gè)三角形中()A．有一個(gè)內(nèi)角小于45° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于45°C．有一個(gè)內(nèi)角大于等于45° D．每一個(gè)內(nèi)角都大于等于45°5．(本題4分)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．12或15 D．186．(本題4分)如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心、大于MN的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．607．(本題4分)如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP的長(zhǎng)不可能是()A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．78．(本題4分)如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．49．(本題4分)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．410．(本題4分)已知三條不同的射線OA、OB、OC有下列條件：①∠AOC=∠BOC②∠AOB=2∠AOC③∠AOC+∠COB=∠AOB④∠BOC=∠AOB，其中能確定OC平分∠AOB的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)第II卷（非選擇題）二、填空題(共20分)11．(本題4分)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長(zhǎng)為m，則m的取值范圍是____．12．(本題4分)如圖，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF等于_____．13．(本題4分)直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分，OF平分，且：：4，則的度數(shù)是______．14．(本題4分)下列命題中，其逆命題成立的是__．（只填寫序號(hào)）①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；④如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．15．(本題4分)如圖，∠BOC=9°，點(diǎn)A在OB上，且OA=1，按下列要求畫圖：以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；…這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n=__．三、解答題(共90分)16．(本題8分)如圖，已知RtΔABC中，∠C=90°，AD是角平分線，CD=1517．(本題8分)如圖，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求證：Rt△ABC≌Rt△DEF．(本題8分)已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝cm，底邊BC＝cm，求底邊上的高AD的長(zhǎng)．19．(本題9分)已知，如圖，直線AB與直線BC相交于點(diǎn)B，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)求作：點(diǎn)E，使直線DE∥AB，且點(diǎn)E到B、D兩點(diǎn)的距離相等（在題目的原圖中完成作圖）結(jié)論：BE=DE20．(本題10分)閱讀下面的解題過程，并在橫線上補(bǔ)全推理過程或依據(jù)．已知：如圖，DE∥BC，DF、BE分別平分∠ADE、∠ABC．試說明∠FDE=∠DEB．解：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE=．（）∵DF、BE分別平分∠ADE、∠ABC（已知）∴∠ADF=∠ADE∠ABE=∠ABC（角平分線定義）∴∠ADF=∠ABE（）∴DF∥．（）∴∠FDE=∠DEB．（）21．(本題10分)如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．22．(本題11分)已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，連接AF．求證：AF平分∠BAC．23．(本題12分)已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．（1）求證：△AEB≌△CDA；

（2）求∠BPQ的度數(shù)；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長(zhǎng)．24．(本題14分)如圖，∠AOB=120°，射線OC從OA開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘5°，OC和OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（0≤t≤15）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，射線OC與OD重合；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，∠COD=90°；（3）試探索：在射線OC與OD旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請(qǐng)說明理由．一、角平分線1．（2020-2021成都七中嘉祥外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)（下）期末·4）（3分）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個(gè)三角形高相等，底分別是20，30，40，所以面積之比就是2：3：4．【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵點(diǎn)O是內(nèi)心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式．做題時(shí)應(yīng)用了三個(gè)三角形的高是相等的，這點(diǎn)是非常重要的．2．（2020-2021成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語八年級(jí)（下）期末·5）（3分）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn) C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【解答】解：∵根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，要充分理解并加以運(yùn)用性質(zhì)中的線段關(guān)系．3．（2020-2021金牛區(qū)八年級(jí)（下）期末·8）（3分）如圖，在中，平分交于，，垂足為．若，，則點(diǎn)到的距離為A． B． C．2 D．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【專題】運(yùn)算能力；線段、角、相交線與平行線【分析】過作于，則線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到線段的距離，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：過作于，則線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到線段的距離，，，平分，，，，，，，，即點(diǎn)到的距離為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，能找出線段的位置是解此題的關(guān)鍵，注意：垂線段最短，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．4．（2020-2021高新區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，是的角平分線，已知．則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)可證明，接下來證明為等腰直角三角形，從而得到，然后依據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，然后由求解即可．【解答】解：是的角平分線，，，，，，又，，又，，，，在等腰直角三角形中，由勾股定理得，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020-2021錦江區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，射線與交于點(diǎn)，若，則．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等腰三角形的性質(zhì)【專題】作圖題；幾何直觀【分析】證明，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：由作圖可知，平分，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．6．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖；等腰直角三角形【專題】幾何直觀；作圖題【分析】由題目作圖知，是的平分線，則，證明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)而求解．【解答】解：過點(diǎn)作，則，由題目作圖知，是的平分線，則，為等腰直角三角形，故，則為等腰直角三角形，故，則故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，涉及到幾何作圖、等腰直角三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中．7．（2020-2021新都區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截??；分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)．若，點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是2．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；垂線段最短【專題】作圖題；應(yīng)用意識(shí)【分析】如圖，過點(diǎn)作于．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明，利用垂線段最短即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于．由作圖可知，平分，，，，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．二、中垂線1．（2020-2021成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語八年級(jí)（下）期末·10）（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點(diǎn)D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∴DA＝DC，故選項(xiàng)A正確，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作圖可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故選項(xiàng)B正確，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故選項(xiàng)C正確，若∠PBC＝∠A，則∠A＝36°，顯然不符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．2．（2020-2021高新區(qū)八年級(jí)（下）期末·6）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接、，若的周長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)是A．2 B．3 C．4 D．無法確定【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可求出．【解答】解：的垂直平分線交于點(diǎn)，，的垂直平分線交于點(diǎn)．，的周長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2020-2021青羊區(qū)八年級(jí)（下）期末·9）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，那么的度數(shù)是A． B． C． D．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】運(yùn)算能力；等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：是的垂直平分線，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（2020-2021錦江區(qū)八年級(jí)（下）期末·6）（3分）如圖，在中，，，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度是A．3 B．2 C． D．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【專題】三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出，根據(jù)角平分線的定義證明結(jié)論．【解答】解：是邊上的中垂線，，，，，，，，平分．，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·8）（3分）如圖，中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線，交于點(diǎn)，連接，已知，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】幾何直觀；作圖題【分析】證明，再根據(jù)的周長(zhǎng)為，求出即可．【解答】解：的周長(zhǎng)為，，由作圖可知，垂直平分線段，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．6．（2020-2021新都區(qū)八年級(jí)（下）期末·9）（3分）有、、三個(gè)不在同一直線上的居民點(diǎn)，現(xiàn)要選址建一個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)方便居民接種疫苗，要求接種點(diǎn)到三個(gè)居民點(diǎn)的距離相等，接種點(diǎn)應(yīng)建在A．的三條中線的交點(diǎn)處 B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處 C．三條角平分線的交點(diǎn)處 D．三條高所在直線的交點(diǎn)處【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形的重心【專題】三角形；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩段點(diǎn)的距離相等，三邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．7．（2020-2021新都區(qū)八年級(jí)（下）期末·10）（3分）如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．已知的周長(zhǎng)是10，，則底邊長(zhǎng)是A．8 B．6 C．4 D．3【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【專題】運(yùn)算能力；推理能力；等腰三角形與直角三角形【分析】根據(jù)題意可知，然后根據(jù)，即可得、的長(zhǎng)度．【解答】解：的周長(zhǎng)為10，．的垂直平分線交于點(diǎn)，，，即，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出．8．（2020-2021成都八年級(jí)（下）期末·22）（4分）如圖，線段AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠BOC＝86°，則∠1＝43°．【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA＝OC，進(jìn)而得到∠AOE＝∠AOC，同理得到∠AOD＝∠AOB，根據(jù)平角的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接OA，∵l2垂直平分AC，∴OA＝OC，∴l(xiāng)2平分∠AOC，即∠AOE＝∠AOC，同理可得：∠AOD＝∠AOB，∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，∴∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝×274°＝137°，∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，故答案為：43°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（2020-2021雙流區(qū)八年級(jí)（下）期末·12）（4分）如圖，在中，，，，分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，．過點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為17．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；作圖—基本作圖【專題】作圖題；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到結(jié)論．【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段，，的周長(zhǎng)，故答案為：17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題意得到垂直平分線段．10．（2020-2021天府新區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則．【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖—基本作圖【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；尺規(guī)作圖【分析】由，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，又由題意可得：是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：，則可求得的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：，，，由作圖知是的垂直平分線，，，則，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．三、命題1．（2020-2021成都七中嘉祥外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)（下）期末·5）（3分）下列命題中正確的命題有（）①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)P在線段AB外且PA＝PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】認(rèn)真閱讀各小問題提供的已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和逆定理進(jìn)行分析，找出每個(gè)小問題正誤的具體原因，于是答案可得．【解答】解：①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等，是線段垂直平分線的性質(zhì)，符合逆定理，正確；②錯(cuò)誤；這是對(duì)線段垂直平分線的誤解；③有無數(shù)條，錯(cuò)誤；④點(diǎn)P在線段AB外且PA＝PB，過P作直線MN⊥AB，則MN是線段AB的垂直平分線，錯(cuò)誤；如圖⑤錯(cuò)誤，這是對(duì)線段垂直平分線的誤解；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)；線段的垂直平分線的性質(zhì)是線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，不要誤解其含義．找出每個(gè)小問題正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2020-2021高新區(qū)八年級(jí)（下）期末·8）（3分）下列命題是假命題的是A．到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上 B．一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 C．有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形 D．三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等【考點(diǎn)】命題與定理【專題】圖形的全等；推理能力【分析】根據(jù)線段垂直平分線的的判定定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：、到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上，是真命題；、一個(gè)銳角和一條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，原命題是假命題；、有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形，是真命題；、三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等，是真命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．3．（2020-2021成都八年級(jí)（下）期末·9）（3分）下列命題為真命題的是（）A．如果mn＝0，那么m＝0且n＝0 B．兩邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 C．三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 D．如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等【分析】利用等式的性質(zhì)、三角形全等的判定、角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、如果mn＝0，那么m＝0或n＝0，原命題是假命題；B、兩直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，原命題是假命題；C、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等，原命題是假命題；D、如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都相等，是真命題；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解等式的性質(zhì)、三角形全等的判定、角平分線的性質(zhì)及平平行線的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大．4．（2020-2021錦江區(qū)八年級(jí)（下）期末·8）（3分）下列命題是真命題的是A．斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 B．若，則 C．平行四邊形對(duì)角線相等 D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【考點(diǎn)】命題與定理【專題】推理能力；多邊形與平行四邊形【分析】根據(jù)真命題的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，根據(jù)直角三角形的全等，平行四邊形的性質(zhì)和判定，不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：、斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，是真命題；、若，則，原命題是假命題；、平行四邊形對(duì)角線平分，原命題是假命題；、一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了真命題與假命題的概念，真命題：判斷正確的命題叫真命題，假命題：判斷錯(cuò)誤的命題叫假命題，比較簡(jiǎn)單．5．（2020-2021天府新區(qū)八年級(jí)（下）期末·8）（3分）下列命題，其中是真命題的為A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形【考點(diǎn)】：命題與定理【專題】55：幾何圖形【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：、例如等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、根據(jù)菱形的判定，應(yīng)是對(duì)角線互相垂直的平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對(duì)角線相等且互相平分的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的判定與命題的真假區(qū)別．正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理，難度適中．6．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·7）（3分）下列命題中，正確的是A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形【考點(diǎn)】：命題與定理【分析】利用平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形錯(cuò)誤，如等腰梯形；、對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形錯(cuò)誤，對(duì)角線垂直的四邊形不一定是菱形；、對(duì)角線相等的四邊形是矩形錯(cuò)誤，如等腰梯形；、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，難度一般．7．（2020-2021武侯區(qū)八年級(jí)（下）期末·9）（3分）下列各命題中是假命題的是A．如果，那么或 B．如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在第二象限 C．三角形的中位線等于此三角形一邊的一半 D．在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上【考點(diǎn)】命題與定理【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力【分析】根據(jù)假命題的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，根據(jù)等式的性質(zhì)，三角形的中位線，點(diǎn)的坐標(biāo)和角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：、如果，那么或，是真命題；、如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在第二象限，是真命題；、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，原命題是假命題；、在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，是真命題；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了真命題與假命題的概念，真命題：判斷正確的命題叫真命題，假命題：判斷錯(cuò)誤的命題叫假命題，比較簡(jiǎn)單．8．（2020-2021新都區(qū)八年級(jí)（下）期末·4）（3分）下列命題是假命題的是A．兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 B．斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 C．兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等【考點(diǎn)】命題與定理【專題】推理能力；圖形的全等【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理判斷即可．【解答】解：、兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，本選項(xiàng)說法是真命題，不符合題意；、斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，本選項(xiàng)說法是真命題，不符合題意；、兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，故本選項(xiàng)說法是假命題，符合題意；、一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等，本選項(xiàng)說法是真命題，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題和定理，掌握直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．四、等腰三角形1．（2020-2021成都七中嘉祥外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)（下）期末·6）（3分）等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角（）A．等于頂角 B．等于頂角的一半 C．等于頂角的2倍 D．等于底角的一半【分析】要求高與底邊所夾的角與其它角的關(guān)系，首先要畫出圖形，根據(jù)已知結(jié)合等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析推理，答案可得．【解答】已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB與點(diǎn)D求證：∠OCE＝∠CAB證明：作BC邊上的高AE，與CD相交于點(diǎn)O∵∠AOD＝∠COE，AE⊥BC∴∠DAO＝∠ECO根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，AE為△ABC的頂角平分線．∴∠BAE＝∠CAE＝∠OCE∴∠OCE＝∠CAB∴等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角等于頂角的一半．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；做題時(shí)，要明確等腰三角形內(nèi)角的轉(zhuǎn)化，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·6）（3分）如圖，中，，是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定正確的是A． B． C．平分 D．【考點(diǎn)】：等腰三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和等腰三角形三線合一的性質(zhì)解答．【解答】解：，，，是中點(diǎn)，平分，，所以，結(jié)論不一定正確的是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3．（2020-2021成都八年級(jí)（下）期末·7）（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝48°，以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交CB于點(diǎn)T，連接AT，則∠CAT的度數(shù)是（）A．64° B．24° C．21° D．16°【分析】根據(jù)作圖得出△BTA是等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：由題意可得，BT＝AB，∴△BTA是等腰三角形，∵∠CAB＝90°，∠C＝48°，∴∠B＝90°﹣48°＝42°，∴∠BTA＝＝69°，∴∠CAT＝∠BTA﹣∠C＝69°﹣48°＝21°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的兩底角相等解答．4．（2020-2021雙流區(qū)八年級(jí)（下）期末·10）（3分）如圖，在中，是上一點(diǎn)，，、分別是、的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線【分析】連接．由，是的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得．【解答】解：如圖，連接．，是的中點(diǎn)，．在中，，是的中點(diǎn)，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．5．（2020-2021成都七中嘉祥外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)（下）期末·12）（4分）等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是18cm，頂角是120°．【分析】由已知條件，根據(jù)直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得：腰長(zhǎng)是底邊上的高的2倍，可得答案．【解答】解：∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足為D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰長(zhǎng)是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：18；120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解答．6．（2020-2021青羊區(qū)八年級(jí)（下）期末·14）（4分）如圖，在中，，，．折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于，交于點(diǎn)，則4．【考點(diǎn)】勾股定理；翻折變換（折疊問題）【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力；幾何直觀【分析】由是的中點(diǎn)，求出，再由折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，，在中，，求出即可求．【解答】解：是的中點(diǎn)，，，折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，設(shè)，則，，，在中，，，，故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形的翻折，熟練應(yīng)用勾股定理，掌握?qǐng)D形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2020-2021武侯區(qū)八年級(jí)（下）期末·13）（4分）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，．再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：，，，由作圖知，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理，證得是解題的關(guān)鍵．8．（2020-2021金牛區(qū)八年級(jí)（下）期末·25）（4分）如圖，在中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則．【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，作，可得是等邊三角形，是等腰直角三角形，設(shè)，表示出兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而分別表示出和的長(zhǎng)即可．【解答】解：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，作于，，，，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，在中，，，，，設(shè)，則，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，作構(gòu)造出等邊是解題的關(guān)鍵．9．（2020-2021青羊區(qū)八年級(jí)（下）期末·24）（4分）如圖，與都是等邊三角形，連接、．，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，線段的長(zhǎng)為或．．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【專題】圖形的全等；推理能力【分析】可以將不動(dòng)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在線段上或當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別通過構(gòu)造直角三角形，將轉(zhuǎn)化為來解決問題．【解答】解：可以將不動(dòng)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在線段上，如圖與都是等邊三角形，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖同理可知：，，過點(diǎn)作于，則，在中，由勾股定理得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，可以通過動(dòng)靜互換將復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化來解決問題．10．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·25）（4分）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，的兩邊，分別交，與點(diǎn)，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④的周長(zhǎng)最小值為．其中正確的是①④（填序號(hào)）．【考點(diǎn)】三角形綜合題【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理填空題；推理能力；運(yùn)算能力【分析】連接、，利用等邊三角形的性質(zhì)得，再證明，于是可判斷，所以，，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用得到四邊形的面積，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作，則，計(jì)算出，利用隨的變化而變化和四邊形的面積為定值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于的周長(zhǎng)，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小，計(jì)算出此時(shí)的長(zhǎng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：如圖，連接，，作，于點(diǎn)，，是等邊三角形，，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)是等邊的內(nèi)心和外心，，、分別是、的角平分線，，，，，，，在和中，，，，，故①正確；，四邊形的面積，故③錯(cuò)誤；作于點(diǎn)，如圖，，，，，，，，即隨的變化而變化，而四邊形的面積為定值，；故②錯(cuò)誤；，的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最小，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，周長(zhǎng)的最小值，故④正確．其中正確的是①④．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于綜合題，是中考填空題的壓軸題，本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·18）（8分）已知：如圖，點(diǎn)是的邊上的中點(diǎn)，于，于，且．求證：是等腰三角形．【考點(diǎn)】：全等三角形的判定與性質(zhì)；：等腰三角形的判定【專題】14：證明題【分析】根據(jù)點(diǎn)是的邊上的中點(diǎn)，于，于，且．利用求證，可得，即可證明是等腰三角形．【解答】證明：點(diǎn)是的邊上的中點(diǎn)，，于，于，和為直角三角形，在和中，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握．難度不大，屬于基礎(chǔ)題．五、三角形綜合1．（2020-2021青羊區(qū)八年級(jí)（下）期末·20）（10分）如圖，已知是等邊三角形，，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、．（1）求證：；（2）求出點(diǎn)到所在直線的距離；（3）當(dāng)時(shí)，求的值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題【專題】幾何變換；推理能力【分析】（1）根據(jù)證明得出即可；（2）由（1）全等知：，且，通過求出的值；（3）作于，分點(diǎn)在延長(zhǎng)線上還是在線段上，通過解三角形分別求解．【解答】解：（1）是等邊三角形，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在和中，，，，，，，（2），，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，過點(diǎn)作所在的直線于點(diǎn)，，，，．（3）過點(diǎn)作所在的直線于點(diǎn)，由（2）可知，，在中，，，，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，分類討論是正確解題的關(guān)鍵．2．（2020-2021青羊區(qū)八年級(jí)（下）期末·28）（12分）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)．連接，過作交點(diǎn)于，連接．（1）如圖1，與相交于點(diǎn)①求證：；②當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【專題】方程思想；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀【分析】（1）①由題可得是等腰直角三角形，當(dāng)是邊中點(diǎn)時(shí)，可以得到，，由，可得，接著證明即可；②由①可得，所以為等腰直角三角形，所以，由于，，所以，所以，故過作于，則，在直角中，利用勾股定理，求出和的長(zhǎng)度，同理，在中，求出的長(zhǎng)度，得到的長(zhǎng)度，即可解決；（2）由，，得，利用勾股定理，得到的長(zhǎng)度，過作于，求出和的長(zhǎng)度，由于，延長(zhǎng)至，是，可以證明，設(shè)，在直角中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【解答】證明：（1）①，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，在與中，，，，即；解：（1）②由①可得，，，，，又，，，，，，，，過作于，如圖1，，且，，，，同理，，，；（2）如圖2，過作于，，，，，，同理，，，延長(zhǎng)至，使，連接，可設(shè)，，，，又，，，，設(shè)，則，在中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，方程思想求線段，特別要注意（3）中二倍角的輔助線的構(gòu)造，是解決問題的通法．

3．（2020-2021雙流區(qū)八年級(jí)（下）期末·27）（10分）在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．連接，交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，求證：點(diǎn)為線段中點(diǎn)；（3）若△從圖1的位置繞點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線與直線相交構(gòu)成的4個(gè)角中最小角為時(shí)，求的值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題【專題】幾何綜合題；推理能力【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)作于，于．可得四邊形是矩形，求出，，可得結(jié)論．（2）如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，于．想辦法證明，，推出可得結(jié)論．（3）分兩種情形：①如圖3中，當(dāng)與的交點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，②如圖4中，當(dāng)與的交點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【解答】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)作于，于．，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，．（2）證明：如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，于．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，即點(diǎn)為線段中點(diǎn)．（3）解：①如圖3中，當(dāng)與的交點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，在和中，，，，，．②如圖4中，當(dāng)與的交點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)到，同法可證，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，對(duì)于初二學(xué)生來說題目有一定難度．4．（2020-2021溫江區(qū)八年級(jí)（下）期末·28）（12分）已知兩個(gè)等腰，有公共頂點(diǎn)，，連接，是的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求證：；（2）如圖1，若，，求，的長(zhǎng)；（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理【專題】壓軸題【分析】（1）證法一：如答圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明為的中位線即可；證法二：如答圖所示，延長(zhǎng)交于，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，根據(jù)中點(diǎn)定義可得，然后利用“角邊角”證明和全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后求出，從而得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的