一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用-不等式證明與導(dǎo)數(shù)（教師版）

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(六)不等式證明與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果．題型：一、單變量不等式的證明：（一）構(gòu)造函數(shù)法證明不等式：（Ⅰ）作差法構(gòu)造函數(shù)證明不等式：1．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時，證明：當(dāng)時，恒成立。【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，即可.解:（1）定義域為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證2．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，其中.(1)求的值和的方程；(2)證明：當(dāng)時，.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2），求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可.解:（1）由已知因為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，所以，解得，又所以切線方程為，即；（2）令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，所以，即.3.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）極大值為，沒有極小值；（2）證明見詳解.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)在時恒成立.解:（1），,當(dāng)時,；當(dāng)時,當(dāng)變化時,的變化情況如下表：單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此,當(dāng)時,有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數(shù),由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.又故在存在唯一零點(diǎn).設(shè)為,則當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減又，所以，當(dāng)時,.故.思維升華:待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．（Ⅱ）拆分法構(gòu)造函數(shù)證明不等式：1.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為0.(1)求的值；(2)求證：當(dāng)時，.解:(1)，由題意，可得，所以.(2)證明：由(1)得，要證當(dāng)時，，只需證當(dāng)時，，即.令，，令，得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，.因為，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即.故當(dāng)時，，即當(dāng)時，.2．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解解:（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，故；當(dāng)時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.思維升華:待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時對復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．（二）最值法證明不等式：1.已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.解:（1），，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.即．（2）設(shè)，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，，．2.已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明.解:(1)函數(shù)的定義域為，∵，∴當(dāng)時，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得，由，得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)證明:證明，只需證明，由(1)知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴.令，則，∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)，時，.思維升華:若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)。本例中同時含與，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．（三）放縮法證明不等式：1.已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時，.(1)解：當(dāng)時，，，，又，∴切點(diǎn)為．∴切線方程為，即.(2)證明∵，∴，∴.方法一：令，∴，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即.方法二.令，∴.當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”．同理可證，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”．由(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)，由(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)，∴，即，即(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)，即.思維升華：對于函數(shù)中含有和與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，可以考慮先對和進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：①，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．②，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．2.已知函數(shù)(1)求的最大值；(2)求證：【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）由（1）可得，即可得到，再根據(jù)不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列求和公式以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.解:（1）因為定義域為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時，取得最大值，即.（2）證明：當(dāng)，時，不等式左邊，不等式右邊，因此只需證明：，由（1）知，在時，取得最大值，∴在恒成立，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又，，所以，，，，，∴以上各式相加得：，∴得證.3．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.解:（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.二、雙變量不等式的證明：(一)利用雙變量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為單變量1．已知函數(shù)．（1）若，求方程的解；（2）若有兩個零點(diǎn)且有兩個極值點(diǎn)，記兩個極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．解:（1）當(dāng)時，由方程得，設(shè)，則由得，由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故方程的解為.（2）令，得，設(shè)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時，當(dāng)時，若有兩個零點(diǎn)，則，故，，令，得，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時，當(dāng)時，若有兩個極值點(diǎn)，則，綜上，.不妨令，因為且，由與圖象得，由為的兩根得，兩式分別乘并整理得，所以，要證，即證，即證，由于，所以，只需證，即證，（），令，（），當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，得證.2．設(shè)函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為，為的零點(diǎn)，求證：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)得，對分類討論，求出和的解，得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）分和兩種情況討論，時，易得零點(diǎn)為0，直接比較即可，時，，再由，可得，再結(jié)合基本不等式即可證明.解:（1），當(dāng)時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得或，所以時，或，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，所以時，或，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）可知時，存在兩個極值點(diǎn)，由為的零點(diǎn)，則，則，故，若，由（1）可知，則；若，則，故,化簡得即，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上所述，恒成立．（二）構(gòu)造函數(shù)法：1．已知函數(shù)．（1）討論的極值點(diǎn)個數(shù)；（2）若有兩個極值點(diǎn)，且，當(dāng)時，證明：．解:（1）當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．（2）由（1）中知，則是方程的兩根，不妨令，則，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，大致圖像如圖所示，由圖像可知當(dāng)時，，，下先證（*）由，兩邊取對數(shù)得，作差得，（*）等價于證明，令，，故在上單調(diào)遞增，從而，即證得，所以，再證明，令，故在上單調(diào)遞減，則，所以，再令，，則在上單調(diào)遞增，故，即證得．2．已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.解:（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）由題知,一個零點(diǎn)小于1,一個零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握。3．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若正數(shù)滿足，證明：.解:（1）的定義域是，.令，解得；令，解得或.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)增.（2）證明：因為，所以.設(shè)，定義域為，則，當(dāng)時，.單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.因此，所以對任意的恒成立.令，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，即，解得，即.思維升華：證明雙變量函數(shù)不等式的常見思路：(1)將雙變量中的一個看作變量，另一個看作常數(shù)，構(gòu)造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式．(2)整體換元．對于齊次式往往可將雙變量整體換元，化為一元不等式．（三）放縮法：1.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有3個零點(diǎn)，其中．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．解:（1）當(dāng)時，，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）（?。?，則除1外還有兩個零點(diǎn)，，令，當(dāng)時，在恒成立，則，所以在