2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)通關(guān)練第三章三角函數(shù)解三角形與平面向量考點(diǎn)測試25平面向量的概念及線性運(yùn)算含解析蘇教版

PAGE1-考點(diǎn)測試25平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算高考概覽高考在本考點(diǎn)的?？碱}型為選擇題和填空題，分值5分，中、低等難度考綱研讀1.了解向量的實(shí)際背景2．理解平面對(duì)量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義3．理解向量的幾何表示4．駕馭向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義5．駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義一、基礎(chǔ)小題1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析由零向量和相反向量的性質(zhì)，知①②③④⑤均正確．2．如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))答案D解析由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯(cuò)誤．3．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析由圖可知2a＋b＝c，若向量λa＋b與c共線，則λ4．給出下列命題：①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；④若非零向量a，b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．其中敘述錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析對(duì)于②：當(dāng)a＝0時(shí)，不成立；對(duì)于③：當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，不成立；對(duì)于④：當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＋b的方向是隨意的，它可以與a，b的方向都不相同．故選C.5．在?ABCD中，E為AC上一點(diǎn)，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，記eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(4,3)a＋eq\f(1,3)b D．－eq\f(4,3)a＋eq\f(1,3)b答案B解析如圖，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.故選B.6．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，則a＋2b與2a－bA．肯定共線B．肯定不共線C．當(dāng)且僅當(dāng)e1與e2共線時(shí)共線D．當(dāng)且僅當(dāng)e1＝e2時(shí)共線答案C解析由a＋2b＝5e1，2a－b＝5e2可知，當(dāng)且僅當(dāng)e1與e27．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，肯定是共線向量；②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)；②錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0；③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)a與b可以是隨意向量．所以錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D.8．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)答案B解析由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).9．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.10．已知G是△ABC的重心，若eq\o(GC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，x，y∈R，則x＋y＝()A．－1 B．1C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案C解析由題意，畫圖如右：由重心的定義，可知，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴x＋y＝－eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故選C.11．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1，故選D.12．已知在四邊形ABCD中，O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c，則四邊形ABCD的形態(tài)為()A．梯形 B．正方形C．平行四邊形 D．菱形答案C解析因?yàn)閑q\o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝c－b，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b，所以eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD是平行四邊形．故選C.二、高考小題13．(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析如圖，在△ABC中，依據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.14．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.15．(2024·北京高考)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________；y＝________.答案eq\f(1,2)－eq\f(1,6)解析如圖在△ABC中，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).三、模擬小題16．(2024·河北衡水中學(xué)一模)如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點(diǎn)E，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由題意得，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.17．(2024·廈門模擬)如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b答案D解析連接CD.由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.故選D.18．(2024·遼寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)考)P是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為()A．2 B．3C．4 D．8答案A解析因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以3eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(CB,\s\up6(→))，且方向相同，所以eq\f(S△ABC,S△PAB)＝eq\f(BC,AP)＝eq\f(|eq\o(CB,\s\up6(→))|,|eq\o(PA,\s\up6(→))|)＝3，所以S△PAB＝eq\f(S△ABC,3)＝2.19．(2024·安陽高三摸底考試)已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部答案C解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，故點(diǎn)P在線段AC上．20．(2024·安徽合肥市高三其次次質(zhì)檢)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案B解析解法一：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以B，D，C三點(diǎn)共線，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選B.解法二：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選B.解法三：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選B.21．(2024·云南大理高三模擬)如圖，A，B分別是射線OM，ON上的點(diǎn)，給出下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→)).若這些向量均以O(shè)為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有()A．①② B．②④C．①③ D．③⑤答案B解析在ON上取點(diǎn)C，使得OC＝2OB，以O(shè)A，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，其終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，解除A，C；取OA上一點(diǎn)E，作AE＝eq\f(1,4)OA，作EF∥OB，交AB于點(diǎn)F，則EF＝eq\f(1,4)OB，由于EF<eq\f(1,3)OB，所以eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))的終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，解除D，故選B.22．(2024·陜西渭南高三模擬)給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命題的序號(hào)是________．答案③解析①是錯(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不肯定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．②是錯(cuò)誤的，|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b的方向不肯定相同或相反．③是正確的，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④是錯(cuò)誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．23．(2024·浙江嘉興高三質(zhì)量檢測)已知A1，A2，A3為平面上三個(gè)不共線的定點(diǎn)，平面上點(diǎn)M滿意eq\o(A1M,\s\up6(→))＝λ(eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A1A3,\s\up6(→)))(λ是實(shí)數(shù))，且eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(MA2,\s\up6(→))＋eq\o(MA3,\s\up6(→))是單位向量，則這樣的點(diǎn)M有________個(gè)．答案2解析由題意得，eq\o(MA1,\s\up6(→))＝－λ(eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A1A3,\s\up6(→)))，eq\o(MA2,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A2,\s\up6(→))，eq\o(MA3,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A3,\s\up6(→))，所以eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(MA2,\s\up6(→))＋eq\o(MA3,\s\up6(→))＝(1－3λ)(eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A1A3,\s\up6(→)))，設(shè)D為A2A3的中點(diǎn)，則(1－3λ)(eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A1A3,\s\up6(→)))為與eq\o(A1D,\s\up6(→))共起點(diǎn)且共線的一個(gè)向量，明顯直線A1D與以A1為圓心的單位圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故這樣的點(diǎn)M有2個(gè)，即符合題意的點(diǎn)M有2個(gè)．一、高考大題本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．二、模擬大題1．(2024·山東德州高三模擬)如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).(1)用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))；(2)證明A，M，C三點(diǎn)共線．解(1)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b＋eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－eq\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)a＋b，又E為AD的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b，因?yàn)镋F是梯形的中位線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(a＋eq\f(1,2)a))＝eq\f(3,4)a.又M，N是EF的三等分點(diǎn)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)a＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.(2)證明：由(1)知eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＝eq\o(AM,\s\up6(→))，又eq\o(MC,\s\up6(→))與eq\o(AM,\s\up6(→))有公共點(diǎn)M，所以A，