陜西省咸陽(yáng)市武功縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次模擬考試試題理含解析

PAGEPAGE18陜西省咸陽(yáng)市武功縣2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次模擬考試試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試題分第I卷和第II卷兩部分，第I卷為選擇題，用2B鉛筆將答案涂在答題卡上.第II卷為非選擇題，用0.5mm黑色簽字筆將答案答在答題紙上，考試結(jié)束后，只收答題紙.2.答第I卷、第II卷時(shí)，先將答題紙上有關(guān)項(xiàng)目填寫清晰.3.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可解出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，，，．故選：．【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次不等式的解法，交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)，最終確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查通過復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)后推斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為若,，則()A.45 B.54 C.72 D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可求【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為等差數(shù)列，所以即，所以，故選B.【點(diǎn)睛】一般地，假如為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.4.已知向量，，則是向量與向量垂直的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由可得向量與向量垂直；反之，由向量與向量垂直，不肯定得到．然后結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．【詳解】解：向量，，若，則，，此時(shí)，向量與向量垂直；若向量與向量垂直，則，即，解得或．是向量與向量垂直的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，考查充分必要條件的判定方法，屬于基礎(chǔ)題．5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A.y=x2 B. C.y=2|x| D.y=cosx【答案】B【解析】【分析】A.依據(jù)奇偶性的定義推斷奇偶性，依據(jù)的圖象推斷單調(diào)性.B.依據(jù)奇偶性的定義推斷奇偶性，依據(jù)的圖象推斷單調(diào)性.C.依據(jù)奇偶性的定義推斷奇偶性，依據(jù)的圖象推斷單調(diào)性.D.依據(jù)奇偶性的定義推斷奇偶性，依據(jù)的圖象推斷單調(diào)性.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)樵冢?，+∞)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)?，?0，+∞)上單調(diào)遞減，故B正確.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)樵?0，+∞)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，又因?yàn)樵?0，+∞)上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選;D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性和基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的獨(dú)創(chuàng)之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖所示的是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將右下角黑色三角形進(jìn)行移動(dòng)，可得黑色部分面積等于一個(gè)等腰直角三角形加一個(gè)直角梯形的面積之和，求解出面積再依據(jù)幾何概型公式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為則①處面積和右下角黑色區(qū)域面積相同故黑色部分可拆分成一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角梯形等腰直角三角形面積為：直角梯形面積為：黑色部分面積為：則所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積類問題，屬于基礎(chǔ)題.7.定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：，將函數(shù)化為再向左平移（）個(gè)單位即為:又為偶函數(shù),由三角函數(shù)圖象的性質(zhì)可得,即時(shí)函數(shù)值為最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考點(diǎn)：對(duì)定義的理解實(shí)力,三角函數(shù)恒等變性,三角函數(shù)圖象及性質(zhì).8.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的中點(diǎn)為，故解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化問題、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等等，解決問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立出數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.9.已知直線平面，直線平面，若，則下列結(jié)論正確的是A.或 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)A中與位置是平行或在平面內(nèi)，選項(xiàng)B中與可能共面或異面，選項(xiàng)C中與的位置不確定，選項(xiàng)D中與的位置關(guān)系不確定．【詳解】對(duì)于A，直線平面，，則或，A正確；對(duì)于B，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線平面，直線平面，且，則或與相交或或，∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線平面，直線平面，且，則或與相交或與異面，∴D錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了空間平面與平面關(guān)系的判定及直線與直線關(guān)系的確定問題，也考查了幾何符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條與其漸近線垂直的直線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.依據(jù)題意有：，即離心率.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種狀況：①干脆求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采納離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解;④依據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)肯定義求解．11.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知函數(shù)的對(duì)稱性及特殊點(diǎn)進(jìn)行推斷即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除B，當(dāng)時(shí)，，解除A；當(dāng)時(shí)，，解除D．故應(yīng)選C．【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象.12.已知為定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，記，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：依據(jù)的周期性和單調(diào)性進(jìn)行推斷．詳解：當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)，

且當(dāng)]時(shí)，，

∵，∴的周期為2．

故選D．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及利用單調(diào)性比較大小，是基礎(chǔ)題.第II卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則_________.【答案】【解析】由題意可得：點(diǎn)睛：熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特殊是要留意公式中的符號(hào)問題；留意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時(shí)簡(jiǎn)化解題過程的關(guān)鍵所在．14.正方體的全面積是6.它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是________【答案】【解析】【分析】通過正方體的表面積求出棱長(zhǎng)，然后求出正方體的外接球的半徑，即可求解表面積．【詳解】因?yàn)檎襟w的全面積為6，所以正方體的棱長(zhǎng)為：1，正方體的對(duì)角線為：．因?yàn)檎襟w的頂點(diǎn)都在球面上，所以正方體的對(duì)角線就是外接球的直徑，所以外接球的半徑為：．外接球的表面積為：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力．15.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則其中三位數(shù)的個(gè)數(shù)有__________個(gè).【答案】225【解析】【分析】解不等式，結(jié)合，即可得出答案.【詳解】由，解得由于，則該數(shù)列中三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列簡(jiǎn)潔的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.已知點(diǎn)在拋物線上，則P點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為________.【答案】3【解析】【分析】利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的性質(zhì)即可得出．【詳解】點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，共70分解答須寫出文字說(shuō)明、證明過程和演算步驟）（一）必考題（共60分）17.在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，且滿意.(1)求角A的大小；（2）若,的面積為,求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)法一：由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，化簡(jiǎn)可得cosA，結(jié)合范圍,由特殊角的三角函數(shù)值即可得解A的值;

法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，結(jié)合范圍,由特殊角的三角函數(shù)值即可得解A的值．

(2)利用三角形面積公式可求bc的值，進(jìn)而利用余弦定理可求,聯(lián)馬上可得解b，c的值．【詳解】（1）由及正弦定理，得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）△ABC的面積，故.而，故，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦、余弦定理以及三角函數(shù)的恒等變換，考查了三角形的面積公式，嫻熟駕馭公式是關(guān)鍵，考查了運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.18.某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，中學(xué)學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采納分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“中學(xué)學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出的值；試估計(jì)該校全部學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；

（2）從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用表示其中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）,870人（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得的值；由分層抽樣，求得初中生有60名，中學(xué)有40名，分別求得初中學(xué)生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；

（2）分別求得，初中學(xué)生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，寫出的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得，，解得；由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，中學(xué)生有40名.因?yàn)槌踔猩?，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，所以全部的初中生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生約有人，同理，中學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，學(xué)生人數(shù)約有人.所以該校全部學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約有450+420=870人.（2）初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，樣本人數(shù)為人.同理，中學(xué)生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生樣本人數(shù)為人.故X的可能取值為1，2，3.則，，.123所以的分布列為：所以.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，分布列和期望求法，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.19.如圖，在直三棱柱中，，，，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，，兩兩垂直，建立如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，證出兩條直線相互垂直．（2）求出兩個(gè)面的法向量，求兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，即可得到答案．【詳解】直三棱柱，底面三邊長(zhǎng)，，，，，兩兩垂直．如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則（1），，，故。（2）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由得：令，則，則．故，．所求二面角的余弦值?！军c(diǎn)睛】本題考查線面垂直、二面角大小的向量求解，考查空間想象實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力．20.設(shè)橢圓過點(diǎn)(0,4)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率的直線被橢圓C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，4），可求b，利用離心率為，求出a，即可得到橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線為y=（x﹣3），代入橢圓C方程，整理，利用韋達(dá)定理，確定線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）將點(diǎn)（0，4）代入橢圓C的方程得=1，∴b=4，由e==，得1﹣=，∴a=5，∴橢圓C方程為+=1．（2）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線為y=（x﹣3），設(shè)直線與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），將直線方程y=（x﹣3）代入橢圓C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為﹣，∴所截線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．21.已知函數(shù)，，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)隨意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】試題分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值等基礎(chǔ)學(xué)問及分類探討思想，也考查了學(xué)生分析問題解決問題的實(shí)力及計(jì)算實(shí)力.第一問先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)求得實(shí)數(shù)a的值；其次問對(duì)隨意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價(jià)于對(duì)隨意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max，利用導(dǎo)數(shù)分別推斷函數(shù)f(x)、g(x)的單調(diào)性并求其在定義域范圍內(nèi)的最值，推斷單調(diào)性時(shí)可對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行分類探討，則可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．試題解析：(1)∵h(yuǎn)(x)＝2x＋＋lnx，其定義域?yàn)?0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝時(shí)，x＝1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)，∴a＝.(2)對(duì)隨意的x1，x2∈[1，e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價(jià)于對(duì)隨意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x)min≥g(x)max.當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g′(x)＝1＋＞0.∴函數(shù)g(x)＝x＋lnx在[1，e]上是增函數(shù)，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈[1，e]，a＞0.①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時(shí)，f′(x)＝＞0，∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，e]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝1＋a2.由1＋a2≥e＋1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合題意．②當(dāng)1≤a≤e時(shí)，若1≤x≤a，則f′(x)＝＜0，若a＜x≤e，則f′(x)＝＞0.∴函數(shù)f(x)＝x＋在[1，a)上是減函數(shù)，在(a，e]上是增函數(shù)．∴f(x)min＝f(a)＝2a.由2a≥e＋1，得a≥.又1≤a≤e，∴≤a≤e.③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時(shí)f′(x)＝