導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第02講 分離參數(shù)之全分離半分離換元分離（含答案及解析）

第02講分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．例2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．例3．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【同步練習(xí)】1．設(shè)、，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，若總存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．設(shè)．（1）若（e），求時(shí)的值；（2）若，時(shí)，求的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，不等式對恒成立，求的取值范圍4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．5．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若在，上恒成立，求的取值范圍．8．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，對，任意恒成立，求正整數(shù)的最大值．9．已知函數(shù)，，若曲線和曲線都過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有相同的切線．（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若對于任意，都有恒成立，求的取值范圍．10．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．求的最大值．

第02講分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，因?yàn)?，可得在上遞增，即在上遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，①當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；②當(dāng)時(shí)，可得恒成立，設(shè)，則，可設(shè)，可得，設(shè)，，由，可得恒成立，可得在遞增，在遞增，所以，即恒成立，即在遞增，所以，再令，可得，當(dāng)時(shí)，，在遞增；時(shí)，，在遞減，所以（2），所以，綜上可得的取值范圍是，．例2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題意得，時(shí)，恒成立，即恒成立，所以，令，，由重要不等式可知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（1），所以，即，所以的范圍為．例3．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，由恒成立可得恒成立，令，，則，令，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（2），所以，故的取值范圍為．例4．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），，令，，時(shí)，，即，在遞增，時(shí)，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）時(shí)，顯然成立，時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，則，令，，則，故（1），故在遞減，而，故．【同步練習(xí)】1．設(shè)、，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，若總存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），（1）．曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，（1）．（1），（1）．聯(lián)立解得：，．（2）時(shí)，，，，可得：．，令，，，，，，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，．．實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．設(shè)．（1）若（e），求時(shí)的值；（2）若，時(shí)，求的取值范圍．【解析】解：（1）（e），，即，．由得，即，或，即，或．（2）時(shí)，，時(shí)，有，即．設(shè)，則．由得，．因?yàn)殛P(guān)于的二次函數(shù)在，上單調(diào)遞增，的最小值在處取得，這個(gè)最小值為3，．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，不等式對恒成立，求的取值范圍【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），不等式對恒成立即為對恒成立，設(shè)，則，令，解得；令，解得，（1），，取，則，即，，設(shè)，由，（1），方程必有解，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值2，，即實(shí)數(shù)的取值范圍，．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）依題意，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，則，在上單調(diào)遞減，且，故存在，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．5．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，不等式式恒成立等價(jià)于在恒成立，即只需，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，從而，所以，所以，故的取值范圍為，．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，可得的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有極大值（1），無極小值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中恒成立，可得對，恒成立，令，可得，即有，可得，設(shè)，，，可得在遞增，遞減，可得的最大值為（1），則，解得．7．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若在，上恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，又，（1），由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，符合題意，當(dāng)，令得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以，設(shè)（a），則（a），當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，所以（a）（1），故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．（2）對，恒成立，即對，恒成立，記，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，因此在，單調(diào)遞減，又，故，所以；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，所以在，單調(diào)遞增，且，故．當(dāng)時(shí)，，，取，則，，故，當(dāng)，取，則，，綜上，的取值范圍為，．8．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，對，任意恒成立，求正整數(shù)的最大值．【解析】解：（1）因?yàn)椋?，令，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當(dāng)，時(shí)，變形為．令，令所以在單調(diào)遞增，又（2），（3），（4），所以存在唯一，使得，即，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，因?yàn)?，所以?．已知函數(shù)，，若曲線和曲線都過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有相同的切線．（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若對于任意，都有恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）由題意知，，，，而，，故，，，，從而，，，；（Ⅱ）由知，，，由恒成立得恒成立，設(shè)，則，由得，由得，即當(dāng)時(shí)，取得極小值，同時(shí)也是最小值，此時(shí)，則．10．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則解得．當(dāng)變化時(shí)，，變化如下表：0減極小值增所以，的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：．（2）由于，所以．故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于①，令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），（2），所以在存在唯一的零點(diǎn)．故在存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在的最小值為（a）．又由（a），可得，所以（a）．由于①式等價(jià)于（a），故整數(shù)的最大值為2．11．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．求的最大值．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定