導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第11講 證明不等式之分析法（含答案及解析）

第11講證明不等式之分析法【典型例題】例1．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。唬áⅲ?．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：．（參考數(shù)值：例3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．例4．已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個非零零點(diǎn)為，，證明：．為自然對數(shù)的底數(shù)）．例5．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：在且時，不等式恒成立．例6．函數(shù)為實(shí)常數(shù)）在處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）證明當(dāng)時，．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，證明：．2．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若，證明：．3．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）證明：．4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，，證明：．5．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．7．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，正數(shù)，滿足，證明：．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明：當(dāng)時，

第11講證明不等式之分析法【典型例題】例1．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．【解析】證明：（Ⅰ），恒成立，在上單調(diào)遞增，，（2），又，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．（Ⅱ），，，，令，，，一方面，，，，在單調(diào)遞增，，，，另一方面，，，當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，（1），，（1），，在單調(diào)遞減，，，綜上，，．要證明，只需證，由得只需證，，只需證，只需證，即證，，，，．例2．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：．（參考數(shù)值：【解析】證明：（Ⅰ），在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，（a），所以存在，使得，故，，在上單調(diào)遞減；，，在，上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時，，故由零點(diǎn)存在定理，在，上有唯一零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：在，上單調(diào)遞增，且，，故要證：，只要證（a），即證：在時恒成立，設(shè)（a），故（a），（a），由（a），所以（a）在遞減，在遞增，（1），，，所以存在，使得，所以（a）在遞減，，遞增，所以（a），因?yàn)椋?），故只需證明，由，所以，，由二次函數(shù)的單調(diào)性，得．綜上，得證．例3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．【解析】（Ⅰ）解：函數(shù)，則，①當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)無零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時，由，得，若，即，此時在上單調(diào)遞增，不符合題意；若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，使得，而當(dāng)時，時，故，使得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，，使得，符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（Ⅱ）證明：，所以，即，由（Ⅰ）知且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只要證明：，即，，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，即（1），所以成立；綜上所述，成立．例4．已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的兩個非零零點(diǎn)為，，證明：．為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1），．恒成立，．令，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．時，函數(shù)取得極小值且為最小值，（1），．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（2）證明：函數(shù)，化為：，，，可得時函數(shù)取得極大值，（e）．函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，，不妨設(shè)，由，，可得：，，，證明，即證明，令，即證明：．令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），成立，因此成立．例5．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：在且時，不等式恒成立．【解析】解：（1）的定義域?yàn)榍?，求?dǎo)得：，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以（1），即，所以在，上單調(diào)遞增．（2）證明：在時，有，則，①在時，有，因此成立．②在時，設(shè)，則，令，在時，，（1），，，因此成立，由上述①②討論可知在且時，恒成立．例6．函數(shù)為實(shí)常數(shù)）在處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）證明當(dāng)時，．【解析】解：（1），，，若函數(shù)在處的切線與直線平行，即切線的斜率是0，則（1），則；（2）由（1）知，的定義域?yàn)?，，令，解得．?dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（3）證明：當(dāng)時，，即為．由（2）可得在遞減，可得（1），即有；設(shè)，，，當(dāng)時，，可得遞增，即有（1），即有，則原不等式成立．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，證明：．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，①若，則，在上遞增，不合題意；②若，，令，得，在上遞減，在上遞增，，若，即時，，在上遞增，不合題意；若，即時，，又，則，在上有兩個變號零點(diǎn)，有兩個極值點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時，，則在上遞減，且，存在唯一的，使得，當(dāng)時，，，當(dāng)，時，，，是唯一極值點(diǎn)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）證明：由（1）可知，，，，，，，由（1）可知，函數(shù)在，上遞減，，，即，，即，．2．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若，證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，，記，，?dāng)時，，當(dāng)時，，的極小值也就是最小值為（2）．，即，所以在上單調(diào)遞增；（2），，，．要證明，只要證明，即證．因而只要證明即可．當(dāng)時，，而，成立．當(dāng)時，設(shè)，，記，，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增．（1），即，所以在上單調(diào)遞增．（1），即所以當(dāng)時，成立．綜上可知若，．3．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時，的定義域?yàn)椋?dāng)?shù)?，設(shè)，則，令，則當(dāng)時；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2），，在單調(diào)遞增；（2）證明：的定義域?yàn)?，，，，，要證明，只需證明，（?。┊?dāng)時，，，所以成立，（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，則，，，即在上單調(diào)遞增，（1），即，在上單調(diào)遞增，（1），即，綜上可知，時，．4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，，證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時，，，令，解得，，，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明：（2），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），，（2），，，使得，要證，即證，，，又且在上單調(diào)遞增，需證，即證，，即證，，令，，，，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時，，得證，．5．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，或；；當(dāng)時，；當(dāng)時，或；．綜上，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)時，由，只需證明，令，．設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得唯一的極小值，也是最小值，的最小值是成立．故成立．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時，，且（1），又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：因?yàn)椋?，要證，只需證當(dāng)時，即可，，易知在上單調(diào)遞增，又，所以，，且，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，，所以，即得證．7．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，正數(shù)，滿足，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域，，令，△，①當(dāng)時，△，，在上恒成立，則單調(diào)遞增，②當(dāng)或時，△，令可得，，當(dāng)時，，在上恒成立，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，若，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上，時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞增，又（1），且，要證，只要證，只要證，即證，即，令，，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則（1），所以，從而．8．已知函數(shù)．（1