導數(shù)壓軸專題突破-第31講 原函數(shù)與導函數(shù)的混合還原問題（含答案及解析）

第31講原函數(shù)與導函數(shù)的混合還原問題【典型例題】例1．，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，例2．，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，例3．定義在上的函數(shù)滿足：，其中為的導函數(shù)，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，例4．已知定義在上的函數(shù)滿足，且（1），則不等式（3）的解集為A． B． C． D．，例5．已知定義在上的函數(shù)滿足在上是減函數(shù)，且，有，則以下大小關系一定正確的是A． B． C． D．例6．設函數(shù)滿足，則時，滿足A．既無最大值也無最小值 B．有最大值，無最小值 C．無最大值，有最小值 D．既有最大值也有最小值例7．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為．若，且，則下列結(jié)論正確的是A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值例8．已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，，則不等式的解集是．例9．設函數(shù)在上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當，時，．若，則實數(shù)的取值范圍是．例10．已知定義域為的偶函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，，均滿足：．若，則不等式的解集是．例11．若是定義在，，上的可導函數(shù)，且，對恒成立，當時，有如下結(jié)論：①（a）（b），②（a）（b），③（a）（b），④（a）（b），其中一定成立的是．【同步練習】一．選擇題1．已知是定義在上的減函數(shù)，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是A．對于任意， B．對于任意， C．當且僅當， D．當且僅當，2．已知是定義在上的增函數(shù)，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是A．對于任意， B．對于任意， C．當且僅當， D．當且僅當，3．定義在上的函數(shù)滿足，且對恒成立，其中為的導函數(shù)，則A． B． C． D．4．已知定義在上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）5．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為’，滿足．當時，’．當時，’，且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．則的取值范圍為A．， B． C．， D．，6．已知定義在上的函數(shù)，滿足（1）；（2）（其中是的導函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），則的范圍為A．， B．， C． D．7．已知定義在上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）8．設函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集A． B． C． D．9．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，（1）（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意實數(shù)，都有，則不等式的解集為A． B． C． D．10．設函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是，若，，則不等式的解集是A． B． C． D．11．設函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，且，則，，則不等式的解集是A． B． C． D．12．已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是A． B． C． D．13．設函數(shù)在上存在導數(shù)，在上，且，有，則以下大小關系一定不正確的是A． B． C． D．14．設函數(shù)，若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，對任意實數(shù)滿足，則不等式的解集是A． B． C． D．15．設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對任意的實數(shù)都有，當時，．若，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，16．設，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，滿足，且，則不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，17．已知是定義在上的函數(shù)，為的導函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是A．恒成立 B．恒成立 C．（1） D．當時，；當時，18．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，．若對任意，都有，則使得成立的的取值范圍為A． B． C． D．19．已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列不等式中一定成立的是A．（1）（e） B．（1）（e） C．（1）（e） D．（1）（e）20．定義在上的函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立，則A． B． C． D．21．已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足：且（1），（2）．則函數(shù)A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值 C．既有極小值又有極大值 D．既無極小值又無極大值22．定義在上的函數(shù)滿足，且，則A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值23．設定義在上的函數(shù)滿足，，則A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值二．多選題24．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有A． B． C． D．25．定義在上的函數(shù)滿足，（1），則下列說法正確的是A．在處取得極小值，極小值為 B．只有一個零點 C．若在上恒成立，則 D．（1）26．已知偶函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式中成立的有A． B． C． D．27．已知函數(shù)滿足，（e）．則當時，下列說法中正確的是A． B．只有一個零點 C．有兩個零點 D．有一個極大值三．填空題28．設函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集是．29．定義在上的函數(shù)滿足：，，是的導函數(shù)，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為．30．已知定義域為的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，若，則不等式的解集為

第31講原函數(shù)與導函數(shù)的混合還原問題【典型例題】例1．，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：設，因為當時，，所以當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，又因為，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以函數(shù)的大致圖象如下：所以等式的解集為，，故選：．例2．，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：設函數(shù)，，函數(shù)上的奇函數(shù)，當時，，且，，，在上為減函數(shù)，且，當時，，此時，；函數(shù)上的奇函數(shù)，當時，，此時，；綜上，不等式的解集是，，．故選：．例3．定義在上的函數(shù)滿足：，其中為的導函數(shù)，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：根據(jù)題意，設，，其導數(shù)，又由，恒成立，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有（2）（1），即，變形可得；再設，，則導數(shù)，又由，恒成立，則有，則函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)，則有（1）（2），則有，變形可得；綜合可得：，則的取值范圍為，；故選：．例4．已知定義在上的函數(shù)滿足，且（1），則不等式（3）的解集為A． B． C． D．，【解析】解：由題意，即，兩邊積分可知：，，由（1），代入解得：，，求導，由，令，求導，令，解得：，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，取最大值，最大值為0，即恒成立，，單調(diào)遞減，由（3），則，即，故不等式的解集，故選：．例5．已知定義在上的函數(shù)滿足在上是減函數(shù)，且，有，則以下大小關系一定正確的是A． B． C． D．【解析】解：設，則在上是減函數(shù)，設，則在上也是減函數(shù)，，有，，有，即，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，則在上也是減函數(shù)．則，即，即，即，即成立，故選：．例6．設函數(shù)滿足，則時，滿足A．既無最大值也無最小值 B．有最大值，無最小值 C．無最大值，有最小值 D．既有最大值也有最小值【解析】解：因為函數(shù)滿足，則，令，則，且，因為，所以，令，則，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，所以（2），故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則無極大值和最大值，也無極小值和最小值．故選：．例7．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為．若，且，則下列結(jié)論正確的是A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．有極大值 D．有極小值【解析】解：，，化為：，，令，，．，化為：，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選：．例8．已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，，則不等式的解集是．【解析】解：令，則，因此在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，令，則，因此，解得．故答案為：．例9．設函數(shù)在上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當，時，．若，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：，，令，函數(shù)為奇函數(shù)．，時，，故函數(shù)在，上是減函數(shù)，故函數(shù)在上也減函數(shù)，由，可得在上是減函數(shù)，，等價于，即，，解得，故答案為：，．例10．已知定義域為的偶函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，，均滿足：．若，則不等式的解集是．【解析】解：由于是定義域為的偶函數(shù)，所以也為偶函數(shù)；又知，所以在，上為增函數(shù)，由不等式可知，，解之得．故答案為：．例11．若是定義在，，上的可導函數(shù)，且，對恒成立，當時，有如下結(jié)論：①（a）（b），②（a）（b），③（a）（b），④（a）（b），其中一定成立的是．【解析】解：令，則，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．，（a）（b），，可得（a）（b），則①對，②錯；由于的單調(diào)性不好確定，可得③④錯．故答案為：①．【同步練習】一．選擇題1．已知是定義在上的減函數(shù)，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是A．對于任意， B．對于任意， C．當且僅當， D．當且僅當，【解析】解：，是定義在上的減函數(shù)，，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而時，，則時，，當時，，故，又是定義在上的減函數(shù)，時，也成立，對任意成立，故選：．2．已知是定義在上的增函數(shù)，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是A．對于任意， B．對于任意， C．當且僅當， D．當且僅當，【解析】解：是定義在上的增函數(shù)，，其導函數(shù)滿足，．于是不等式化為：．令，（1），則．在上單調(diào)遞增，時，（1），．時，（1），．由．（1），解得（1）．綜上可得：，．故選：．3．定義在上的函數(shù)滿足，且對恒成立，其中為的導函數(shù)，則A． B． C． D．【解析】解：令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，．令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：．4．已知定義在上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）【解析】解：（1），故（1）（1），，，設，，由于，，恒成立，故遞減，故，（2），故，故，故（2），故選：．5．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為’，滿足．當時，’．當時，’，且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．則的取值范圍為A．， B． C．， D．，【解析】解：根據(jù)題意，設，，，即，（1）（3），由函數(shù)得，，由于當時，’，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1）（3）（4），即，變形可得；由得，由于當時，’，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1）（4），即，變形可得；綜上可得，．故選：．6．已知定義在上的函數(shù)，滿足（1）；（2）（其中是的導函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），則的范圍為A．， B．， C． D．【解析】解：設，則在上單調(diào)遞增，所以（1）（2），即；令，則在上單調(diào)遞減，所以（1）（2），即綜上，且．故選：．7．已知定義在上的函數(shù)和滿足，且，則下列不等式成立的是A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）【解析】解：，，，，，（2），，設，，單調(diào)遞減，，，，（2），故選：．8．設函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集A． B． C． D．【解析】解：構(gòu)造函數(shù)，；，；；在上單調(diào)遞增；，；由不等式得：；；，且；；原不等式的解集為．故選：．9．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，（1）（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意實數(shù)，都有，則不等式的解集為A． B． C． D．【解析】解：令，則，故在遞增，而（1），故不等式，即（1），故，故選：．10．設函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)是，若，，則不等式的解集是A． B． C． D．【解析】解：令，則，，，即在上單調(diào)遞減，，可等價于，即，，不等式的解集為．故選：．11．設函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，且，則，，則不等式的解集是A． B． C． D．【解析】解：令，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，時，，，，又，故選：．12．已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是A． B． C． D．【解析】解：設，則，任意的滿足，，令，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，化簡可得，，，故選：．13．設函數(shù)在上存在導數(shù)，在上，且，有，則以下大小關系一定不正確的是A． B． C． D．【解析】解：令，，，即，函數(shù)為奇函數(shù)．在上，在上，故函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)在上也是減函數(shù)，由，可得在上是減函數(shù)，即；即；即有，所以不成立，故選：．14．設函數(shù)，若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，對任意實數(shù)滿足，則不等式的解集是A． B． C． D．【解析】解：由題意可得函數(shù)為上的奇函數(shù)，，，，奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，解得故選：．15．設函數(shù)在上存在導函數(shù)，對任意的實數(shù)都有，當時，．若，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】解：設，則，，是偶函數(shù)，當時，，而，則，在上是增函數(shù)，，，即，，即，故選：．16．設，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，滿足，且，則不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：令，則，因此函數(shù)在上是奇函數(shù)．①當時，，在時單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．，，．②當時，函數(shù)在上是奇函數(shù)，可知：在上單調(diào)遞增，且（3），，的解集為．不等式的解集是，，．故選：．17．已知是定義在上的函數(shù)，為的導函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是A．恒成立 B．恒成立 C．（1） D．當時，；當時，【解析】解：由題意設，則，，在上為增函數(shù)，當時，（1），即當時，（1），即，得，當時，（1），即，得，（1）（1），即（1），綜上恒成立，故選：．18．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，．若對任意，都有，則使得成立的的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：構(gòu)造函數(shù)：，．對任意，都有，，函數(shù)在單調(diào)遞減，由化為：，．使得成立的的取值范圍為．故選：．19．已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列不等式中一定成立的是A．（1）（e） B．（1）（e） C．（1）（e） D．（1）（e）【解析】解：由，，，得，令，則．故在，遞減；（e）（1），即（e）（1）．故選：．20．定義在上的函數(shù)，是它的導函數(shù)，且恒有成立，則A． B． C． D．【解析】解：，，，由，得．即構(gòu)造函數(shù)，則，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，，，故選：．21．已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足：且（1），（2）．則函數(shù)A．有極小值，無極大值 B．有極大值，無極小值 C．既有極小值又有極大值 D．既無極小值又無極大值【解析】解：，在上是增函數(shù)，，，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，又（1），（2），故在上先負值，后正值；故函數(shù)有極小值，無極大值，故選：．22．定義在上的函數(shù)滿足，且，則A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【解析】解：由題意，將代入，推出，①設，則，又由已知得，記，則．所以．顯然；時，，遞增．結(jié)合①知，，為的最小值，即，所以，因為，則，（當且僅當時，取等號），所以既沒有最大值，也沒有最小值．故選：．23．設定義在上的函數(shù)滿足，，則A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，也無極小值【解析】解：，，，而，，，由，解得，，，在單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值，故選：．二．多選題24．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有A． B． C． D．【解析】解：設，則，因為定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，所以，所以，故在單調(diào)遞減，由，可得，即，即，同理，相加可得，故正確；由在單調(diào)遞減，可得，即，所以，故正確；因為，所以（1），即（1），即，故正確；取，符合題意，則，故錯誤．故選：．25．定義在上的函數(shù)滿足，（1），則下列說法正確的是A．在處取得極小值，極小值為 B．只有一個零點 C．若在上恒成立，則 D．（1）【解析】解：對，，且，可得：可得：故為常數(shù)（1）可得：（1）求得：故：整理可得：當，即解得：，此時單調(diào)遞增，當，即，解得：當，即解得：，此時單調(diào)遞減取得極大值，故錯誤；對，，，畫出草圖：如圖根據(jù)圖象可知：只有一