2023年北京市初三二模數學試題匯編：圓（下）章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三二模數學匯編圓（下）章節(jié)綜合一、單選題1．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔心觸礁.如圖所示的網格是正方形網格，點是網格線交點，當船航行到點的位置時，此時與兩個燈塔間的角度（的大?。┮欢o觸礁危險.那么，對于四個位置，船處于___________時，也一定無觸礁危險.（）

A．位置 B．位置 C．位置 D．位置二、解答題2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，已知點，．點P為平面內一點（不與點A，點B重合），若是以線段為斜邊的直角三角形，則稱點P為線段的直點．

(1)若，①在點，，這三個點中，點________是線段的直點；②點P為線段的直點，點，求的取值范圍；(2)點D在直線上，若點D的橫坐標滿足，點P為線段的直點，且，直接寫出r的取值范圍．3．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，C為上一點，，直線與直線相交于點H，平分．

(1)求證：是的切線；(2)與的交點為F，連接并延長與相交于點D，連接．若F為中點，求證：．4．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點C是上一點，平分交于點D，過點D作交的延長線于點E．(1)求證：直線是的切線；(2)延長與直線交于點F，若，，求的長．5．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，，分別與相切于，兩點，是的直徑．

(1)求證：(2)連接交于點，若，，求的長．6．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知：如圖，點和．

求作：直線，使得與相切于點．作法：（1）連接，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點；（2）作直線，交于點；（3）以點為圓心，以長為半徑作，與相交，其中一個交點為點；（4）作直線．直線即為所求作．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：由作法可知，點為線段的中點．連接．∵為的直徑，∴_________（_________）（填推理的依據）．∴．∵點在上，∵是的切線（_________）（填推理的依據）．7．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，對于點，點和直線，點關于的對稱點，點是直線上一點，將線段繞點逆時針旋轉得到，如果線段與直線有交點，稱點是點關于直線和點的“雙垂點”.

(1)若，點中是點關于軸和點的“雙垂點”的是___________；(2)若點，點是直線上的點，點是點關于軸和點的“雙垂點”，求點的坐標；(3)點在以為圓心，1為半徑的圓上，直線，若圓上存在點是點關于直線和點的“雙垂點”，直接寫出的取值范圍.8．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，為外一點，，是的切線，，為切點，點在上，連接，，．

(1)求證：；(2)連接，若，的半徑為，，求的長．9．（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，為上一點，過點作的切線，交的延長線于點，為的中點，連結并延長交于點，連結．(1)求證：；(2)若，，求的長．10．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，對于圖形M給出如下定義；將M上的一點變換為點，M上所有的點按上述變換后得到的點組成的圖形記為N，稱N為M的變換圖形．(1)①點的變換點的坐標為______；②直線的變換圖形上任意一點的橫坐標為______；(2)求直線的變換圖形與y軸公共點的坐標；(3)已知⊙O的半徑為1，若的變換圖形與直線有公共點，直接寫出k的取值范圍．11．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，有圖形W和點P，我們規(guī)定：若圖形W上存在點M、N（點M和N可以重合），滿足，其中點是點P關于x軸的對稱點，則稱點P是圖形W的“對稱平衡點”．

(1)如圖1所示，已知，點，點．①在點中，是線段的“對稱平衡點”的是___________；②線段上是否存在線段的“對稱平衡點”？若存在，請求出符合要求的“對稱平衡點”的橫坐標的范圍，若不存在，請說明理由；(2)如圖2，以點為圓心，1為半徑作．坐標系內的點C滿足，再以點C為圓心，1為半徑作，若上存在的“對稱平衡點”，直接寫出C點縱坐標的取值范圍．12．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑與弦相交于點，且，點在的延長線上，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，求半徑的長．13．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，已知點P，直線l與圖形G．連接點P與圖形G上任意一點Q，取的中點M，點M關于直線l的對稱點為N，所有的對稱點組成的圖形W稱為圖形G關于點P及直線l的“對應圖形”．已知點．(1)對于直線，若直線關于點A及直線l的“對應圖形”與直線的交點在x軸的上方，求a的取值范圍；(2)已知點，，，直線，的圓心，半徑為2．若存在關于點D及直線l的“對應圖形”與的邊有交點，直接寫出t的取值范圍．14．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，A，B，C三點在上，直徑平分，過點D作交弦于點E，在的延長線上取一點F，使得．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．15．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，給定圓C和點P，若過點P最多可以作出k條不同的直線，且這些直線被圓C所截得的線段長度為正整數，則稱點P關于圓C的特征值為k．已知圓O的半徑為2，(1)若點M的坐標為，則經過點M的直線被圓O截得的弦長的最小值為___________，點M關于圓O的特征值為___________；(2)直線分別與x，y軸交于點A，B，若線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，求b的取值范圍；(3)點T是x軸正半軸上一點，圓T的半徑為1，點R，S分別在圓O與圓T上，點R關于圓T的特征值記為r，點S關于圓O的特征值記為s．當點T在x軸正軸上運動時，若存在點R，S，使得，直接寫出點T的橫坐標t的取值范圍．16．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點，連接交于點是上的一點，且，連接．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．17．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，是直徑，是上一點，過點作直線，使．(1)求證：是的切線；(2)點是弧中點，連接并延長，分別交于點，若，，求線段的長．

參考答案1．B【分析】先利用格點找出的外接圓的圓心，再判斷哪個點在的外接圓上即可．【詳解】解：如圖，

由網格可知，點O是和垂直平分線的交點，即點O是的外接圓的圓心，，點M在的外接圓上，，船處于位置B時，也一定無觸礁危險，故選B．【點睛】本題考查圓周角定理，三角形的外心，勾股定理與網格問題等，解題的關鍵有兩個，一是找出的外接圓的圓心，二是掌握同弧所對的圓周角相等．2．(1)①；②(2)【分析】（1）①根據“直點”的定義即可解決問題；②求出的最大值和最小值即可得結論；（2）以O為圓心作圓，求出半徑的最小值與最大值，可得結論．【詳解】（1）①如圖；

∵，∴點．∵點P為線段的直點，∴點P在上．∴點，，這三個點中，為線段的直點，故答案為：；②情況1：連接交于點P，此時最短，連接，∵，∴，∴，∴．∵，∴．情況2：延長交于點，此時最長．∵，∴．∴CP的取值范圍是，故答案為：．（2）∵點P為線段的直點，∴點P在以為直徑的上，如圖，

當時，，∴在中，，∵,∴；過點作軸于點G，過點作軸于點H，∴四邊形是矩形，為等腰直角三角形，∴∵∴當時，，即∴在中，，∴r取值范圍是．【點睛】本題考查了圓的有關知識，一次函數的性質，“直點”的定義等知識，解題關鍵是理解題意，熟練掌握圓的相關性質、勾股定理等知識，靈活運用數形結合思想和分類討論思想思考問題．3．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，求出可得，然后得出即可；（2）如圖，連接，證明，可得，然后根據圓周角定理求出，再由直角三角形兩銳角互余求出即可．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；

（2）證明：如圖，連接，∵平分，∴，∴，∵F為中點，∴，∴，∴，∴，由（1）知，即，∴，∴．

【點睛】本題考查了切線的判定，平行線的判定，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理等知識，作出合適的輔助線，靈活運用相關性質定理是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，證，由已知，得出，即可得出結論；（2）連接交于點H，證明四邊形為矩形，得出，再證明，求出的長即可得出結論．【詳解】（1）連接．

∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵．∴，∴，∴．又∵點D在上，∴直線是的切線．（2）連接交于點H，如圖．∵為直徑，∴，∴．又∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴．又∵=，∴．∵四邊形為矩形，∴，∴．∵四邊形為矩形，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與性質、角平分線定義、垂徑定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、矩形的判定與性質、三角函數定義等知識；熟練掌握切線的判定和垂徑定理是解題的關鍵．5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據切線長定理和切線的性質可得，，，根據等腰三角形三線合一性質可得，可得，，得到，從而得證；（2）根據余弦，正弦的定義及勾股定理可得，從而有，，代入計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點．∵、為的切線，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴．

（2）解：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查切線長定理，切線的性質，等腰三角形三線合一性質，直徑所對的圓周角是直角，解直角三角形，勾股定理．正確的添加輔助線是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)；直徑所對的圓周角是直角；切線的判定定理【分析】（1）根據題意作圖即可；（2）證明得到，則由切線的判定定理可得是的切線．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：由作法可知，點為線段的中點．連接．∵為的直徑，∴（直徑所對的圓周角是直角）．∴．∵點在上，∵是的切線（切線的判定定理）．故答案為：；直徑所對的圓周角是直角；切線的判定定理．

【點睛】本題主要考查了切線的判定定理，圓周角定理，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．7．(1)(2)(3)【分析】（1）根據新定義進行判斷即可求解；（2）根據題意得出點是直線上的點，則點關于軸的對稱點在直線上，點在直線上，且，別作軸，軸，交軸于點，與交于點，證明，設得出代入直線，求得，即可求得；（3）根據新定義可得的軌跡與直線垂直，在上找到一點，得點落在上，則當的軌跡所在直線與相切時，取得最大值，根據題意畫出圖形，求得的最大值，同理可得的最小值.【詳解】（1）解：如圖所示，

故答案為：．（2）解：根據題意，點是直線上的點，則點關于軸的對稱點在直線上，由題意可得，點在直線上，且，如圖所示，作軸于點，分別作軸，軸，交軸于點，與交于點，

∴四邊形為矩形，∵∴又∵∴∴∴四邊形為正方形，設∴∵∴將點代入直線中，解得：∴∴（3）解：由（1）可得，點的軌跡為垂直于直線垂直的一條直線，當時，如圖所示，在上找到一點，得點落在上，則當的軌跡所在直線與相切時，取得最大值，

∵，關于直線對稱，∴如圖所示，當剛好在直線上時，，依題意，是等腰直角三角形，∵直線與直線垂直，且過點∴直線的解析式為∵∴，如圖所示，當時，

同理可得，綜上所述，．【點睛】本題考查了幾何新定義，理解新定義中點軌跡是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)【分析】（1）根據切線的性質得出，則，根據等腰三角形的性質，三角形內角和定理得出，即可得證；（2）延長交于點，過作于點，根據垂徑定理勾股定理求得，證明四邊形是矩形，進而可得，根據切線長定理得出，進而設設，則，在中，，建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的切線，∴，∵，則，∴，又∵，∴；（2）解：如圖所示，延長交于點，過作于點，

∴，∵在中，，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，是的切線，∴，設，則在中，∴解得：，即．【點睛】本題考查了切線的性質，切線長定理，矩形的性質與判定，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)【分析】（1）根據切線的性質和圓周角定理求得，利用等角的余角相等即可證明；（2）利用正切的性質求得，的長，再根據直角三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的切線，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，中，∵F是的中點，，∴．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，正切函數的定義，直角三角形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．10．(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定義操作即可得出答案；②設直線的圖像上任意一點坐標為，然后按定義操作即可得出答案；（2）設直線的圖像上任意一點坐標為，求出該點的變換點坐標，根據橫縱坐標之間的關系求出直線的變換圖形的解析式即可得出答案；（3）設⊙O上點的坐標為，可得，然后求出其變換點到原點的距離為，可得的變換圖形是以原點為圓心，半徑為的圓，再根據直線恒過點，求出直線與的變換圖形相切時的k值即可．【詳解】（1）解：①按定義操作：，，∴點的變換點的坐標為，故答案為：；②設直線的圖像上任意一點坐標為，按定義操作：，∴直線的變換圖形上任意一點的橫坐標為，故答案為：；（2）解：設直線的圖像上任意一點坐標為，則該點的變換點坐標為，令，得：，∴，當時，，∴直線的變換圖形與y軸公共點的坐標為；（3）解：設⊙O上點的坐標為，∵⊙O的半徑為1，∴點到原點的距離為1，∴，∵⊙O上的點的變換點坐標為，∴其變換點到原點的距離為：，∴的變換圖形是以原點為圓心，半徑為的圓，又∵直線，∴直線恒過點，如圖，點，直線與y軸交于點C，當直線與的變換圖形相切于點B時，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此時直線過點，∴，解得：，同理，當直線與的變換圖形相切于x軸的下方時，可得，∴若的變換圖形與直線有公共點，k的取值范圍為且．

【點睛】本題考查了新定義，一次函數的應用，圓的基本概念，切線的性質，兩點間的距離公式，勾股定理等知識，正確理解變換圖形的定義，能夠準確表示出變換點的坐標是解題的關鍵．11．(1)①，；②不存在，理由見解析(2)【分析】（1）①根據對稱平衡點的定義進行判斷即可；②不存在，根據對稱平衡點的定義進行討論可得結論；（2）畫出圖形進行判斷即可．【詳解】（1）①如圖所示，點，，則；，則，

∴線段的“對稱平衡點”的是，；故答案為：，；②不存在設P為線段上任意一點，則它與線段上點的距離最小值為0，最大值為和中的較大值；顯然點P關于x軸的對稱點為，它到線段上任意一點的距離即若是線段上的任意兩點，，不存在∴線段上不存在線段的“對稱平衡點”；（2）如圖，由②可知線段上不存在的“對稱平衡點”，上存在的“對稱平衡點”，

∵∴【點睛】本題考查了對稱平衡點．兩圓的位置關系，點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會取特殊點特殊位置解決問題．12．(1)見詳解(2)4【分析】（1）連接，由題意易得，則有，然后可得，則可得，進而問題可求證；（2）由題意可設，則，則有，，然后可列方程進行求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵，是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：由題意可設，則，∴，，∴在中，，解得：，∴，即的半徑為4．【點睛】本題主要考查切線的判定、垂徑定理及三角函數，熟練掌握切線的判定及三角函數是解題的關鍵．13．(1)(2)或【分析】（1）根據題意可得，，根據新定義可得，點與直線上的任意一點所成的線段的中點，即為直線，設直線關于的對稱直線與軸的交點為，直線關于點A及直線l的“對應圖形”與直線的交點在x軸的上方，則只需要點在點左側，據此可得，即可求解．（2）根據題意，先畫出圖形，由的圓心，半徑為，關于點及直線的“對應圖形”，，根據新定義求得中點坐標，再關于對稱，根據直線與圓的位置關系，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，直線，當時，，當時，，則，，則點與直線上的任意一點所成的線段的中點，即為直線，∴，設直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，設直線關于的對稱直線與軸的交點為，直線關于點A及直線l的“對應圖形”與直線的交點在x軸的上方，則只需要點在點左側，因此，∴又∵∴，即

（2）的圓心，半徑為，關于點及直線的“對應圖形”，，則是以為圓心，半徑為1，作關于的對稱的圓，則此圓是以為圓心的圓，半徑為1，

∵點，，，∴直線的解析式為，當時，，直線的解析式為，當時，，∵與的邊有交點，當在的左側，與相切時，到的距離為，，解得：，當在的右側，與相切時，到的距離為，解得：，當在的左側，與相切時，到的距離為；解得：，當在的右側，與相切時，到的距離為；解得：，結合圖形可知：或．【點睛】本題考查了幾何新定義，一次函數的性質，直線與圓的位置關系，熟練掌握新定義，中點坐標公式以及軸對稱的性質是解題的關鍵．14．(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，由是的直徑，得，所以，又因為，，所以°，即即可由切線的判定定理得出結論．（2）連接，則，由平分，，則，由勾股定理可求得，根據平行線的性質與解平分線定義得出，所以，則由勾股定理可得，再，得，即，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，

∵平分，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，，∴°，∴∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：連接，

∵是的直徑，∴，∵平分，，∴，∵，∴，∵∴∵，∴，∴，∴∴，又，，∴∴即∴【點睛】本題考查角平分線的性質，圓周角定理的推論，切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，本題屬圓的綜合題目，熟練掌握相關定理與性質是解題的關鍵．15．(1)，3(2)b的取值范圍是或；(3)【分析】（1）設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，利用垂徑定理得到，由勾股定理可得當最大時，最小，即此時最小，求出，再由，得到當點H與點M重合時，有最大值，即可求出的最小值為，則被圓O截得的弦長取值范圍為，再由被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，可得點M關于圓O的特征值為3；（2）根據題意得，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，分當時和當時，兩種情況討論即可求解；（3）由于同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，則點Q關于圓O的特征值不可能為0，由此可得，則或；經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，則當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意，由此求解即可．【詳解】（1）解：設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，∴，在中，由勾股定理得，∴當最大時，最小，即此時最小，∵點M的坐標為，∴，又∵，∴當點H與點M重合時，有最大值，∴此時有最小值，∴的最小值為∵過點M的直線被圓O截得的弦長的最大值為4（直徑），∴被圓O截得的弦長取值范圍為，∴被圓O截得的弦長為正整數的只有是3或4，∵被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，∴點M關于圓O的特征值為3，故答案為：，3；

（2）解：設點G是圓O的特征值為4的點，由（1）可知經過一點G且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3的直線有2條，∵特征值要保證為4，∴經過點G且弦長為2的直線有且只有1條，∴經過點G的直線被圓O截得的弦長的最小值為2，∵，∴由（1）可知，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，

∵直線分別與x，y軸交于點A，B，∴，，∴，∴當時，∵線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，∴線段與以O為圓心，為半徑的圓有交點，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相切時，將切點設為H，連接OH，則，∴，∴，將以O為圓心，為半徑的圓與y軸正半軸的交點記為，則，當線段與以O為圓心，為半徑的圓相交，且過點時，可得，∴；同理可求當時，；綜上，b的取值范圍是或；（3）：∵同一平面內